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高一数学练习(不等式(1))含答案2012.4.13


高一数学练习(不等式(1) )
1.已知 x 、 y ? R+,且 x ? y ≤ 4 ,则下列不等式中成立的是( A.

班级_____________ 姓名_____________ )

1 1 1 + ≥1 ≥1 C. xy ≥ 2 D. xy x y a?b 1 2.若 a ? b ? 1 , p ? lg a lg b

, Q ? (lg a ? lg b) , R ? lg ,则下列不等式成立的是( ) 2 2 A. R ? P ? Q B. P ? Q ? R C. Q ? P ? R D. P ? R ? Q 3.若 a 、 b ? (0,+ ? ) ,则下列不等式中不成立的是( ) 2 2 1 1 1 1 a ?b ≥2 ≥ 2 2 B. (a ? b)( ? )≥ 4 C. A. a ? b ? ≥ a ? b D. a ? a?4 a b ab ab 1 1 4.设 f ( x) ? x ? ) (2 ? x ? 3), g ( x) ? log 1 ( x 2 ? )( x ? R), 则 f ( x) 与 g ( x) 的大小为( x?2 16 2 A. f ( x ) ? g ( x ) B. f ( x ) ? g ( x ) C. f ( x ) ? g ( x ) D.不确定
B. 5.互不相等的正数 a、b、c、d 成等比数列,则有( A. )

1 1 ≤ x? y 4

a?d a?d a?d a?d ? bc ? bc ≥ bc ≤ bc B. C. D. 2 2 2 2 6.设 a、b、c ? R+,且 ab ? bc ? ac ? 1 ,则下列不等式中不正确的是( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 A. a ? b ? c ≥ 2 B. (a ? b ? c) ≥ 3 C. ? ? ≥ 2 3 D. abc( ? ? )? 3 a b c a b c b d 7.已知 a、b、c、d、m、n ? R+, P ? am ? cn · ) ? , Q ? ab ? cd ,则有( m n A. P ≤ Q B. P ≥ Q C. P ? Q D. P ? Q 8.已知 x ? y ? z ,且 x ? y ? z ? 0 ,则下列不等式一定成立的是( ) A. xy ? yz B. xz ? yz C. xy ? xz D. x | y |? z | y | 1 9 9.已知 x 、 y ? R+, ? ? 1 ,则 x+y 的最小值是 . x y

b2 ? 1,则 a 1 ? b2 的最大值是 . 2 a b 11.已知 a、b 为正常数, 0 ? x ? 1 ,则 ? 的最小值是 . x 1? x 12.若实数 x、y 满足 x2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,当 x ? y ? c ≥ 0 恒成立,则 c 的取值范围是
10.已知 a、 b ? R+,且 a ?
2

. .

13.若 x ? 0, y ? 0 ,若 x ?
+
2 2

y ≤ a x ? y 恒成立,则 a 的最小值是
.

14.若 a、b ? R ,且 a ? b ? 10 ,则 a ? b 的最大值是 15.设 x ? 6 ,则函数 y ?
2

x ? 6x ?1 的最小值是 . x?6 16.若 a、b ? R+且 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是 . 17.设 0 ? x ? 1, a ? 0 且 a ≠ 1 ,比较 | log a (1 ? x) | 与 | log a (1 ? x) | 的大小.

18.已知 a ? b ? c ,不等式

1 1 k ? ≥ 恒成立,求证: k ≤ 4 . a ?b b?c a ?c

B sin C ? 3sinA, 19 .已知 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 3sin B ? 3sin C ? 2 sin
2 2 2

a ? 3 ,求 AB ? AC 的最大值.

20.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且满足 cos 的面积; (Ⅱ)若 b+c=6,求 a 的值.

A 2 5 , AB AC =3.(Ⅰ)求△ABC ? 2 5

.w.k.s.5.u.c.o.m 21. 已知 a、 b∈R , a+b=1, 求证: (1)(1 ? )(1 ? )≥9 ; (2) ; ( a ? )(b ? )≥


1 a

1 b

1 a

1 b

25 1 17 ? . ; (3) ab ? 4 ab 4

22.渔场中鱼群的最大养殖量为 m 吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留 出空闲量, 已知鱼群的年增长量 y 吨与实际养殖 x 吨和空闲率的乘积成正比, 比例系数为 k (k ? 0) ( . 空 y 闲率=(最大养殖量-实际养殖量)/最大养殖量) (1)写出 与 x 的关系式,并指出这个函数的定义 域; (2)求鱼群的年增长量的最大值; (3)当鱼群的年增长量达到最大值时,求 k 的取值范围.

高一数学练习 (不等式 (1) ) 答案
1.已知 x 、 y ? R+,且 x ? y ≤ 4 ,则下列不等式中成立的是( A.

班级___________ 姓名_____________ )

1 1 1 1 1 ≤ ≥1 B. + ≥ 1 C. xy ≥ 2 D. xy x? y 4 x y 4 1 1 ≤ x ? y≤4 ? ? ?1 解: 0 ? 1 1 x y ? x y 1 a?b 2.若 a ? b ? 1 , P ? lg a lg b , Q ? (lg a ? lg b) , R ? lg ,则下列不等式成立的是( ) 2 2 A. R ? P ? Q B. P ? Q ? R C. Q ? P ? R D. P ? R ? Q lg a ? lg b 1 a?b ? lg ab ? lg ab ? lg 解: lg a lg b ? ,即 P ? Q ? R 2 2 2 3.若 a 、 b ? (0,+ ? ) ,则下列不等式中不成立的是( ) 2 2 1 1 1 1 a ?b ≥2 A. a ? b ? ≥ 2 2 B. (a ? b)( ? )≥ 4 C. ≥ a ? b D. a ? a?4 a b ab ab 1 1 =(a ? 4) ? - 4 ≥ 2 ? 4 ? ?2 ,∴D 错 解: a ? a?4 a?4 1 1 4.设 f ( x) ? x ? ) (2 ? x ? 3), g ( x) ? log 1 ( x 2 ? )( x ? R), 则 f ( x) 与 g ( x) 的大小为( x?2 16 2 A. f ( x ) ? g ( x ) B. f ( x ) ? g ( x ) C. f ( x ) ? g ( x ) D.不确定 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 , g ( x) ? log 1 ( x 2 ? ) ? log 1 解: f ( x) ? ( x ? 2) ? ? 4 ,∴ f ( x) ? g ( x) x?2 16 2 2 16
5.互不相等的正数 a、b、c、d 成等比数列,则有( A. ) D.

a?d a?d ? bc ≥ bc C. 2 2 解:∵a、b、c、d 成等比数列,∴ ad ? bc a?d ? ad ? bc 又∵a、b、c、d 互不相等,∴ 2 6.设 a、b、c ? R+,且 ab ? bc ? ac ? 1 ,则下列不等式中不正确的是( 1 1 1 2 2 2 2 A. a ? b ? c ≥ 2 B. (a ? b ? c) ≥ 3 C. ? ? ≥ 2 3 a b c 2 2 2 解: a ? b ? c ≥ ab ? bc ? ca = 1 ,故 A 不成立. b d 7.已知 a、b、c、d、m、n ? R+, P ? am ? cn ? ? , Q ? ab ? m n A. P ≤ Q B. P ≥ Q C. P ? Q
B. 解: P ?

a?d ? bc 2

a?d ≤ bc 2

) D. abc( ?

1 a

1 1 ? )? 3 b c


cd ,则有(
D. P ? Q

am ? cn ?

b d adm bcn ? ? ab ? cd ? ? m n n m

? ab ? cd ? 2 abcd ? ( ab ? cd ) 2 ? ab ? cd ? Q 8.已知 x ? y ? z ,且 x ? y ? z ? 0 ,则下列不等式一定成立的是( ) A. xy ? yz B. xz ? yz C. xy ? xz D. x | y |? z | y | 解:依题意, x ? 0 ? z ,∵ y ? z ,∴ xy ? xz 1 9 9.已知 x 、 y ? R+, ? ? 1 ,则 x+y 的最小值是 . x y

解: x ? y ? ( ?

1 x

9 y 9x y 9x )( x ? y) ? 10 ? ? ? 10 ? 2 ? ? 16 ,∴x+y 的最小值是 16. y x y x y
2

10.已知 a、 b ? R+,且 a ? 解: a ?
2

b2 ? 1,则 a 1 ? b2 的最大值是 2

.

b2 ? 1 ? 2a 2 ? b 2 ? 2 2 2 2 2a 2 ? 1 ? b 2 2 3 3 2 3 2 2 ∴ a 1? b ? ,∴ a 1 ? b2 的最大值是 ? 2a ? 1 ? b2 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 4 4 a b 11.已知 a、b 为正常数, 0 ? x ? 1 ,则 ? 的最小值是 . x 1? x a b a b a (1 ? x) bx ? [ x ? (1 ? x)]( ? ) ? a?b? ? ? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b ) 2 解: ? x 1? x x 1? x x 1? x a b ∴ ? 的最小值是 ( a ? b )2 x 1? x 12.若实数 x、y 满足 x2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,当 x ? y ? c ≥ 0 恒成立,则 c 的取值范围是 . 解:∵ x2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,令 x ? cos ? , y ? 1 ? sin ? ,即 y ? 1 ? sin ?
∴ x ? y ? 1 ? sin ? ? cos ? ? 1 ? 2 sin ? ? ?

? ?

又 x ? y ? c ≥ 0 ,∴ c ≥ ?( x ? y) ≥ - 1- 2 ? ∴ c 的取值范围是 [ 2 ?1, ??) 13.若 x ? 0, y ? 0 ,若 x ? 解:由 x ? ∵

?

?? ? ? ? 1 ? 2,1 ? 2 ? ? 4? ?

?

2 ?1

y ≤ a x ? y 恒成立,则 a 的最小值是
x? y x? y ≤a

.

y ≤ a x ? y ,得

x? y x? y x? y ≤ ? ? 2 ,∴ a ? 2 ,即 a 的最小值是 2 2 2 x? y 2 2 14.若 a、b ? R+,且 a ? b ? 10 ,则 a ? b 的最大值是 .
a?b a 2 ? b2 10 ? ? ? 5 ? a ? b ? 2 5 ,∴ a ? b 的最大值是 2 5 2 2 2 x2 ? 6 x ? 1 15.设 x ? 6 ,则函数 y ? 的最小值是 . x?6 x 2 ? 6 x ? 1 x( x ? 6) ? 1 1 1 ? ? x? ? ( x ? 6) ? ?6 ? 2?6 ? 8 解: y ? x?6 x?6 x?6 x?6 x2 ? 6 x ? 1 ∴当 x ? 6 ? 1 ,即 x ? 7 时, y ? 的最小值是 8 x?6 16.若 a、b ? R+且 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是 .
解: 解:∵ ab ? a ? b ? 3 ? 2 ab ? 3 ,∴

?

ab ? 3

??

ab ? 1 ? 0 ? ab ? 3 ? ab ? 9 ,∴ab 的取值范围是 [9, ??)

?

?

ab

?

2

? 2 ab ? 3 ?

17.设 0 ? x ? 1, a ? 0 且 a ≠ 1 ,比较 | log a (1 ? x) | 与 | log a (1 ? x) | 的大小. 解:当 0 ? a ? 1 时,又 0 ? x ? 1 ,则 loga (1 ? x) ? 0,loga (1 ? x) ? 0

| loga (1 ? x) | ? | loga (1 ? x) |? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? log a (1 ? x2 )
0 ? 1 ? x 2 ? 1 ?l o g 1x2 a (?

? )

? | l oa g ? (1 x ?) | a | lo ?g x (1 0

)|

当 a ? 1 时,又 0 ? x ? 1 ,则 log a (1 ? x) ? 0,loga (1 ? x) ? 0

| loga (1 ? x) | ? | loga (1 ? x) ? ? loga (?1x) ? loga (1 ? x) ? ? loga (1 ? x2 )
0 ? 1 ? x 2 ? 1 ?l o g 1x2 a (?
综上, | loga (1 ? x) |?| loga (1 ? x) |

? )

? ?l o g ? x2 0 a (1

? | loga (1 ? x) |?| loga (1 ? x) | ) ?, 0

1 1 k ? ≥ 恒成立,求证: k ≤ 4 . a ?b b?c a ?c 1 1 k ? ≥ 证明: 不等式 恒成立,且 a ? c ,即 a ? c ? 0 a ?b b?c a ?c
18.已知 a ? b ? c ,不等式

?k ≤ (


1 1 1 ? 1 ? ? )(a ? c) 恒成立,? k ≤ ?( ? )(a ? c) ? a ?b b?c ? a ?b b ?c ? min

a?b?c

?a ? b ? 0 , b ?c ? 0

∴(

1 1 1 1 1 ? )(a ? c) ? ?(a ? b) ? (b ? c)? ( ? ) ≥ 2 (a ? b) ? (b ? c) ? 2 ?4 a ?b b ?c a ?b b ?c (a ? b)(b ? c)
2 2 2

∴k ≤4

B sin C ? 3sinA, 19 .已知 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 3sin B ? 3sin C ? 2 sin

a ? 3 ,求 AB ? AC 的最大值.
解:∵ 3sin B ? 3sin C ? 2sin B sin C ? 3sin A ,
2 2 2

∴ 3b ? 3c ? 2bc ? 3a ? b ? c ? a ?
2 2 2 2 2 2

2 b2 ? c 2 ? a 2 1 bc ,∴ cos A ? ? 3 2bc 3 9 4

又 3b ? 3c ? 2bc ? 3a ? 9 ? 3 ? 2bc ? 2bc ? 4bc ,∴ bc ?
2 2 2

∴ AB ? AC ? bc ? cosA ?

1 1 9 3 3 bc ? ? ? ,∴ AB ? AC 的最大值为 3 3 4 4 4

20.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且满足 cos 的面积; (Ⅱ)若 b+c=6,求 a 的值. 解: (I)因为 cos

A 2 5 , AB AC =3.(Ⅰ)求△ABC ? 2 5

3 4 A 2 5 2 A ? 1 ? ,sin A ? , ,? cos A ? 2 cos ? 2 5 5 2 5 1 bc sin A ? 2 2

又由 AB ? AC ? 3 ,得 bc cos A ? 3, ? bc ? 5 ,? S?ABC ?

(II)对于 bc ? 5 ,又 b ? c ? 6 ,? b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 , 由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 20 ,? a ? 2 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2 2 2

21. 已知 a、 b∈R , a+b=1, 求证: (1)(1 ? )(1 ? )≥9 ; (2) ; ( a ? )(b ? )≥


1 a

1 b

1 a

1 b

25 1 17 ? . ; (3) ab ? 4 ab 4

证: (1)

a, b ? R? , a ? b ? 1 ,

1 1 a?b a?b b a b a b a ? (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? )(1 ? ) ? (2 ? )(2 ? ) ? 5 ? 2 ( ? ≥ ) 5? 4 ? ? 9 a b a b a b a b a b
(2) (分析法)欲证 (a ? )(b ? ) ≥

1 a

1 b

25 ,只要证: 4(ab)2 ? 4(a2 ? b2 ) ? 25ab ? 4 ≥ 0 4

2 2 2 即证: 4(ab) ? 4 ? ?(a ? b) ? 2ab ? ? ? ?25ab ? 4 ≥ 0 ,即证: 4(ab) ? 33ab ? 8 ≥ 0 ,

即证: ab ≤

1 或 ab ≥ 8 4 1 ?1 ? a ? b ≥ 2 ab 即 ab ≤ 成立,? 原不等式成立 4 1 ?1 ? a ? b ≥ 2 ab 即 ab ≤ , 4

? a, b? R , a ? b ?1

或:

a, b ? R? , a ? b ? 1
∵f(x)=x+

1 ? 1? 1 1 17 ? 4? ? . 在 ? o, ? 上递减,∴ ab ? x ? 4? ab 4 4

a b 1 1 1 a b 17 25 ? ? 2 ,∴ (a ? )(b ? ) ? (ab ? ) ? ( ? )≥ ? 2 ? b a a b ab b a 4 4 1 (当且仅当 a ? b ? 时取等号) 2
又 (3)

a, b ? R? , a ? b ? 1
1 1 17 ? 4? ? . ab 4 4

1 1 ? 1? ?1 ? a ? b ≥ 2 ab 即 ab ≤ ,有又 f(x)=x+ 在 ? o, ? 上递减, 4 x ? 4?

? ab ?

22.渔场中鱼群的最大养殖量为 m 吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留 出空闲量, 已知鱼群的年增长量 y 吨与实际养殖 x 吨和空闲率的乘积成正比, 比例系数为 k (k ? 0) ( . 空 闲率=(最大养殖量-实际养殖量)/最大养殖量) (1)写出 y 与 x 的关系式,并指出这个函数的定义 域; (2)求鱼群的年增长量的最大值; (3)当鱼群的年增长量达到最大值时,求 k 的取值范围. 解: (1) y ? kx (1 ?

x ) m

( 0? x ? m ) ;
2

x ? ?x ? m ? (1 ? m ) ? x x x km (2) y ? kx (1 ? ) ? km ? (1 ? ) ≤ km ? , ? ? m m m 2 4 ? ? ? ?
当且仅当

x x m km ? 1 ? 即 x ? ? (0, m) 时, ymax ? ; m m 2 4

(3)由

km m ? ? m ? k ? 2 ,又 k ? 0 4 2

?k ? ( 0 , 2 )


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