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高中数学选修2-1同步练习 2.4.1抛物线及其标准方程(含答案)


2.4.1 抛物线及其标准方程
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1 2 1.抛物线 y=- x 的准线方程为( 4 1 A.x= 16 C.y=1
2

) B.x=1 D.y=2

解析: 抛物线的标准方程为 x =-4y, 准线方程为 y=1. 答案: C 2.设抛物线 y =8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是( A.4 C.8
2 2

)

B.6 D.12

解析: 抛物线 y =8x 的准线方程为 x=-2, 点 P 到准线的距离为 4+2=6,故点 P 到该抛物线焦点的距离为 6. 答案: B 3.抛物线 y =2px(p>0)上一点 M 到焦点的距离是 a?a> ?,则点 M 的横坐标是( ? 2?
2

? p?

)

A.a+ 2 C.a+p

p

B.a- 2 D.a-p

p

解析: 设抛物线上点 M(x0,y0),如图所示, 过 M 作 MN⊥l 于 N(l 是抛物线的准线 x=- ),连 MF.根据抛物线定义, 2

p

|MN|=|MF|=a, ∴x0+ =a, 2 ∴x0=a- ,所以选 B. 2 答案: B

p

p

4.以双曲线 - =1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( 16 9 A.y =16x C.y =8x 解析: 由双曲线方程 - =1, 16 9 可知其焦点在 x 轴上,由 a =16,得 a=4, ∴该双曲线右顶点的坐标是(4,0), ∴抛物线的焦点为 F(4,0). 设抛物线的标准方程为 y =2px(p>0), 则由 =4,得 p=8, 2 故所求抛物线的标准方程为 y =16x.故选 A. 答案: A 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
2 2 2 2 2

x2

y2

)

B.y =-16x D.y =-8x
2

2

x2

y2

p

5.若直线 ax-y+1=0 经过抛物线 y =4x 的焦点,则实数 a=________. 解析: 由题意知抛物线的焦点为(1,0) 代入直线方程得 a×1-0+1=0,∴a=-1. 答案: -1 6.已知点 P 在抛物线 y =4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最 小值时,点 P 的坐标为________. 解析: 如图,过点 Q 作 QA 垂直准线 l,垂足为 A,则 QA 与抛物线的交点即为 P 点.
2

2

?1 ? 易求 P? ,-1?. ?4 ? ?1 ? 答案: ? ,-1? ?4 ?
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.根据下列抛物线的方程,分别求出其焦点坐标和准线方程. (1)y =-4x;(2)2y -x=0. 解析: 方程
2 2

y2=-4x p=2

y2= x

p 的值

1 2 1 p= 4

焦点坐标 准线方程

(-1,0)

?1,0? ?8 ? ? ?
x=-

1 8 2 8.在抛物线 y=4x 上求一点,使这点到直线 y=4x-5 的距离最短.

x=1

解析: 设点 P(t,4t ),距离为 d, |4t-4t -5| 4t -4t+5 则 d= = . 17 17 1 当 t= 时,d 取得最小值, 2
2 2

2

?1 ? 此时 P? ,1?为所求的点.? ?2 ?
尖子生题库?☆☆☆ 9.(10 分)如图所示,P 为圆 M:(x-3) +y =1 上的动点,Q 为抛物线 y =x 上的动点,试求|PQ|的最 小值.
2 2 2

解析: 如右图所示,连结 PM,QM,QM 交圆 M 于 R,设点 Q 坐标为(x,y),

∵|PQ|+|PM|≥|QR|+|RM|, ∴|PQ|≥|QR|, ∴|PQ|min=|QR|min=|QM|min-1. ∵|QM|= ?x-3? +y = x -5x+9 =
2 2 2

?x-5?2+11≥ 11, ? 2? 4 2 ? ?

5 11 ∴当 x= 时,|PQ|min=|QM|min-1= -1, 2 2 即|PQ|的最小值为 11 -1. 2


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