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北师大版数学必修四课件:2.6平面向量数量积的坐标表示


数量积的坐标运算 数量积的坐标运算同共线向量坐标运算间的 关系 a ? ? x , y ? , b ? ? x , y ? 1 1 2 2 r r 利用数量积的坐标运算及向量共线的坐标运算,将平面几 何中的平行垂直关系代数化,大大简化了运算量,降低了 思维难度. 进行向量的坐标运算时务必分清向量间的关 系! r r 1 1 【例1】(2010·安徽高

考)设向量 a ? ?1,0 ?, b ? ( , ), 2 2 则下列结论中正确的是( r r (A) a ? b ) r r 2 (B) a gb ? , r r与 (C) a b 垂直 ?b r r (D) a P b 2 r 【审题指导】本题涉及到向量的长度、数量积的坐标运算, 向量平行、垂直的坐标判定方法等知识点,解答本题可利 用向量的坐标运算逐项验证. r r 1 1 【规范解答】选C.∵向量 a ? ?1,0 ?, b ? ( , ), 2 2 r r 1 1 2 ? a ? 12 ? 0 ? 1, b ? ( )2 ? ( )2 ? , 2 2 2 r r ? a ? b ,故A错误;由 r r 1 1 1 1 1 2 a gb ? (1,0)g( , ) ? 1? ? 0 ? ? ? , 2 2 2 2 2 2 r r r 1 1 1 1 1 1 1 1 故B错误;由 (a ? b)gb ? ( , ? )g( , ) ? ? ? ( ? ) ? ? 0, 2 2 2 2 2 2 2 2 r r r 故C正确;由 1 0 所以 (a ? , 故D错误. ? b) ? b, 1 2 1 2 【例】如图,以原点和A(5,2)为顶点作等腰直角△OAB,使 ∠B =90°,求点B和向量 AB 的坐标. uu u r 【规范解答】设B点坐标(x,y),则 uuu r uuu r OB ? ? x, y ?, AB ? uuu r uuu r Q OB ? AB, ? x ? 5, y ? 2 ?. ∴x(x-5)+y(y-2)=0即:x2+y2-5x-2y=0. 又∵ OB ? AB , ∴x2+y2=(x-5)2+(y-2)2,即:10x+4y=29. uuu r uuu r 2 2 由 ?x ? y ? 5x ? 2y ? 0 , ? ?10x ? 4y ? 29 3 ? 7 ? x ? x ? ? 2 2 得 ? ? 1 2 或 ? . , ? ? ?y ? 7 ?y ? ? 3 2 1 ? 2 ? ? 2 ? ∴B点坐标 ( 7 , ? 3 ) 或 3 7 ( , ) 2 2 2 2 uuu r 3 7 7 3 AB ? (? , ? ) 或 ( ? , ). 2 2 2 2 向量的夹角 1.利用数量积的坐标运算求两向量夹角 (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的 数量积. r (2)利用 a ? x 2 ? y 2 计算出这两个向量的模. (3)由公式 cos ? ? x1x 2 ? y1 y 2 x ?y g x ?y 2 1 2 1 2 2 2 2 直接求出cos θ 的值. (4)在0≤θ ≤π 内,由cos θ 的值求角θ . 2.直线所成的角与直线方向向量所成角的关系 u rr 当 m, n 分别为直线l1,l2(l1与l2不重合)的方向向量, ur r θ 为 m 与 n 的夹角,α 为l1与l2所成的角. (1)当θ =0°或180°时,l1∥l2,此时α

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