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1.1.1任意角练习


第一章 三角函数 §1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角
课时目标 1.了解任意角的概念,能正确区分正角、负角与零角.2.理解象限角与终边相同的角的定义.掌 握终边相同的角的表示方法,并会判断角所在的象限.

1.角 (1)角的概念: 角可以看成平面内______________绕着____________从一个位置________到另一个位置

所成 的图形. (2)角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类: 类型 定义 图示 正角 负角 零角 按________________形成的角 按________________形成的角 一条射线________________,称它形成了一个零角

2.象限角 角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是 ______________.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限. 3.终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合 S={β|β=________________},即任一与角 α 终边相同的角,都可以表示成角 α 与______________的和.

一、选择题 1.与 405° 角终边相同的角是( ) A.k· 360° -45° ,k∈Z B.k· 180° -45° ,k∈Z C.k· 360° +45° ,k∈Z D.k· 180° +45° ,k∈Z 2.若 α=45° +k· 180°(k∈Z),则 α 的终边在( ) A.第一或第三象限 B.第二或第三象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 3. 设 A={θ|θ 为锐角}, B={θ|θ 为小于 90° 的角}, C={θ|θ 为第一象限的角}, D={θ|θ 为小于 90° 的正角}, 则下列等式中成立的是( ) A.A=B B.B=C C.A=C D.A=D 4.若 α 是第四象限角,则 180° -α 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 k· 180° ? ? 45° ,k∈Z?, 5.集合 M=?x|x= 2 ± ? ? k· 180° ? ? 90° ,k∈Z?,则 M、P 之间的关系为( P=?x|x= 4 ± ) ? ? A.M=P C.M ? P B .M ? P D.M∩P=? α 6.已知 α 为第三象限角,则 所在的象限是( ) 2 A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限

二、填空题 7.若角 α 与 β 的终边相同,则 α-β 的终边落在________. 8.经过 10 分钟,分针转了________度. 9.如图所示,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是______________________________.

10.若 α=1 690° ,角 θ 与 α 终边相同,且-360° <θ<360° ,则 θ=________. 三、解答题 11.在 0° ~360° 范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角. (1)-150° ;(2)650° ;(3)-950° 15′.

12.如图所示,写出终边落在阴影部分的角的集合.

能力提升 13.如图所示,写出终边落在直线 y= 3x 上的角的集合(用 0° 到 360° 间的角表示).

α 14.设 α 是第二象限角,问 是第几象限角? 3

1.对角的理解,初中阶段是以“静止”的眼光看,高中阶段应用“运动”的观点下定义,理解这一概念 时,要注意“旋转方向”决定角的“正负”,“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”. 2.关于终边相同角的认识 一般地,所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合 S={β|β=α+k· 360° ,k∈Z},即任一 与角 α 终边相同的角,都可以表示成角 α 与整数个周角的和. 注意:(1)α 为任意角. (2)k· 360° 与 α 之间是“+”号,k· 360° -α 可理解为 k· 360° +(-α). (3)相等的角,终边一定相同;终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差 360° 的整数 倍. (4)k∈Z 这一条件不能少.

第一章 三角函数 §1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角 答案
知识梳理 1.(1)一条射线 端点 旋转 (2)逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有作任何旋转 2.第几象限角 3.α+k· 360° ,k∈Z 整数个周角 作业设计 1.C 2.A 3.D [锐角 θ 满足 0°<θ<90°;而 B 中 θ<90°,可以为负角;C 中 θ 满足 k· 360°<θ<k· 360°+90°,k∈Z; D 中满足 0°<θ<90°,故 A=D.] 4.C [特殊值法,给 α 赋一特殊值-60° , 则 180° -α=240° , 故 180° -α 在第三象限.] 5.B [对集合 M 来说,x=(2k± 1)45°,即 45°的奇数倍;对集合 P 来说,x=(k± 2)45°,即 45°的倍数.] 6.D [由 k· 360° +180° <α<k· 360° +270° ,k∈Z, k α k 得 · 360° +90° < < · 360° +135° ,k∈Z. 2 2 2 α 当 k 为偶数时, 为第二象限角; 2 α 当 k 为奇数时, 为第四象限角.] 2 7.x 轴的正半轴

8.-60 9.{α|k· 360° -45° ≤α≤k· 360° +120° ,k∈Z} 10.-110° 或 250° 解析 ∵α=1 690° =4×360° +250° ,∴θ=k· 360° +250° ,k∈Z.∵-360° <θ<360° , ∴k=-1 或 0. ∴θ=-110° 或 250° . 11.解 (1)因为-150° =-360° +210° ,所以在 0° ~360° 范围内,与-150° 角终边相同的角是 210° 角,它 是第三象限角. (2)因为 650° =360° +290° ,所以在 0° ~360° 范围内,与 650° 角终边相同的角是 290° 角,它是第四象限角. (3)因为-950° 15′=-3×360° +129° 45′,所以在 0° ~360° 范围内,与-950° 15′角终边相同的角是 129° 45′角,它是第二象限角. 12.解 设终边落在阴影部分的角为 α,角 α 的集合由两部分组成. ①{α|k· 360° +30° ≤α<k· 360° +105° ,k∈Z}. ②{α|k· 360° +210° ≤α<k· 360° +285° ,k∈Z}. ∴角 α 的集合应当是集合①与②的并集: {α|k· 360° +30° ≤α<k· 360° +105° ,k∈Z} ∪{α|k· 360° +210° ≤α<k· 360° +285° ,k∈Z}={α|2k· 180° +30° ≤α<2k· 180° +105° ,k∈Z} ∪{α|(2k+1)180° +30° ≤α<(2k+1)180° +105° ,k∈Z} ={α|2k· 180° +30° ≤α<2k· 180° +105° 或(2k+1)· 180° +30° ≤α<(2k+1)180° +105° ,k∈Z} ={α|k· 180° +30° ≤α<k· 180° +105° ,k∈Z}. 13.解 终边落在 y= 3x (x≥0)上的角的集合是 S1={α|α=60° +k· 360° ,k∈Z},终边落在 y= 3x (x≤0) 上的角的集合是 S2={α|α=240° +k· 360° , k∈Z}, 于是终边在 y= 3x 上角的集合是 S={α|α =60° +k· 360° ,k∈Z}∪{α|α=240° +k· 360° ,k∈Z}={α|α=60° +2k· 180° , k∈Z}∪{α|α=60° +(2k+1)· 180° ,k∈Z}={α|α=60° +n· 180° ,n∈Z}. 14.解 当 α 为第二象限角时, 90° +k· 360° <α<180° +k· 360° ,k∈Z, k α k ∴30° + · 360° < <60° + · 360° ,k∈Z. 3 3 3 α α 当 k=3n 时,30° +n· 360° < <60° +n· 360° ,此时 为第一象限角; 3 3 α α 当 k=3n+1 时,150° +n· 360° < <180° +n· 360° ,此时 为第二象限角; 3 3 α α α 当 k=3n+2 时,270° +n· 360° < <300° +n· 360° ,此时 为第四象限角.综上可知 是第一、二、四象限角. 3 3 3


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