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江苏省无锡江阴市2013-2014学年高二下学期期中考试数学(理)试题


2013-2014 学年度第二学期高二期中考试 数学试卷(理科) 命题单位:山观高级中学
时间 120 分钟,满分 160 分。

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)
1. 复数

2 的共轭复数为 1? i





2.有

4 件不同的产品排成一排,其中 A、B 两件产品排在一起的不同排法有_▲___种. 3.若 ( x2 ? 4) ? ( x2 ? 3x ? 2)i 是纯虚数,则实数 x 的值是__ ▲___ .
3 4 4. 若 An ,则 n 的值为 ? 6Cn





5. 98 被 5 除所得的余数是_______▲______. 6. 用反证法证明某命题时,对结论“自然数 a, b, c 中至多有 2 个偶数”的正确假设为“假设自然数

a, b, c 中



” .

7. 已知复数 z ? x ? yi?x, y ? R, x ? 0?且 z ? 2 ? 3 ,则

y 的范围为______▲_______. x

8 . 5 名男性驴友到某旅游风景区游玩,晚上入住一家宾馆,宾馆有 3 间客房可选,一间客房为 3 人间, 其余为 2 人间,则 5 人入住两间客房的不同方法有 ▲ 种(用数字作答).

9.已知 △ ABC 的周长为 l ,面积为 S ,则 △ ABC 的内切圆半径为 r ?

2s .将此结论类比到空间, l
▲ .

已知四面体 ABCD 的表面积为 S ,体积为 V ,则四面体 ABCD 的内切球的半径 R =

10.航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验,要求 2 艘攻击型核潜艇一前一后,2 艘驱逐 舰和 2 艘护卫舰分列左、右,同侧不能都是同种舰艇,则舰艇分配方案的方法数为__▲______.(用 数字作答) 11. 用 数 学 归 纳 法 证 明 : (n ? 1) ? (n ? 2) ?

? ( n ? n) ?

n(3n ? 1) (n ? N * ) 的 第 二 步 中 , 当 2
.

n ? k ? 1 时等式左边与 n ? k 时的等式左边的差等于 ▲
x

12.设 m ? R ,若函数 y ? e ? 2mx( x ? R) 有大于零的极值点,则 m 的取值范围是__▲______.

1

13. 观察下列等式:

1 2 + =1 ; 3 3 7 8 10 11 + + + = 12 ; 3 3 3 3 16 17 19 20 22 23 + + + + + = 39 ; 3 3 3 3 3 3
?? 则当 m ? n 且 m, n ? N 时,

3m ? 1 3m ? 2 3m ? 4 3m ? 5 3n ? 2 3n ? 1 + + + +?+ + = __ ▲ ______( 最后结果用 m, n 表 3 3 3 3 3 3
示).
1006 1007 14.已知 C2013 ? C2013 ? Cn2 , (2x ? 3)n ? a0 ? a1 ( x ?1) ? a2 ( x ?1)2 ? n

? an ( x ?1)n ,

x ? R n ? N ,则

a1 a2 ? ? 2 22

?

an 的值为__ ▲___ 2n

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤)
15. (本小题满分 14 分) ⑴用综合法证明: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca, ? a, b, c ? R ? ;
2 2 2

⑵用反证法证明: 若 a, b, c 均为实数, 且a ? x ? 2y ?
2

?
2

,b ? y ? 2 z ?
2

?
3

,c ? z ? 2 x ?
2

?
6



求证 a, b, c 中至少有一个大于 0.

16. (本小题满分 14 分)已知复数 z1 ? 位) .

3 ? (a 2 ? 3)i , z2 ? 2 ? (3a ? 1)i ( a ? R , i 是虚数单 a?2

(1)若复数 z1 ? z2 在复平面上对应点落在第一象限,求实数 a 的取值范围; (2)若虚数 z1 是实系数一元二次方程 x ? 6 x ? m ? 0 的根,求实数 m 值.
2

2

17. (本小题满分 14 分)由数字 1、 2、 3、 4、 5、 6 组成无重复数字的数中,求: (1)六位偶数的个数; ( 2)求三个偶数互不相邻的六位数的个数; ( 3)求恰有两个偶数相邻的六位数的个数; (4)奇数字从左到右,从小到大依次排列的六位数的个数.

18.(本小题满分 16 分)已知在 ( x ?

3

2 n ) 的展开式中,第 5 项的系数与第 3 项的系数之 x

比是 56:3. (1)求展开式中的所有有理项; (2)求展开式中系数绝对值最大的项.
2 3 n (3)求 n ? 9cn 的值. ? 81cn ? ... ? 9 n?1 cn

3

19. (本小题满分 16 分)已知 f ( n) ? 1 ?

1 1 1 ? ? 23 33 43

?

3 1 1 * , g ( n) ? ? 2 , n ? N . 3 2 2n n

(1)当 n ? 1, 2 , 3 时,试比较 f ( n) 与 g (n) 的大小关系; (2)猜想 f ( n) 与 g (n) 的大小关系,并给出证明.

1 20. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? a( x ? ) ? 2ln x (a ? R) . x (1)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间;
a (3)设函数 g ( x) ? ? .若至少存在一个 x0 ? [1,e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取值范围. x

4

5

2013-2014 学年第二学期高二期中考试 数学试卷(理科)参考答案
一、填空题 1、 1 ? i ; 2、12; 3、2; 4、7; 5、1; 6、三个数都是偶数; 7、 ? ? 3, 3 ? ; 8、20; 9、

?

?

r?

3v ; s

10、32;11、3k+2;12、 m ? ? 二、解答题

1 ,13、 n2 ? m2 ;14、-1. 2

15. (1)a 2 ? b 2 ? 2ab b ? c ? 2bc
2 2

① ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1分

② ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1分 ③ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1分

c 2 ? a 2 ? 2ac

① ? ② ? ③得2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 2 ? ab ? bc ? ac ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5分 即a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ac ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6分 当且仅当a ? b ? c时,取“ ? ” ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7分

? 2 ? 假设a, b, c都不大于0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9分 则a ? b ? c ? 0 ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10分 2 2 2 又a ? b ? c ? ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? ? z ? 1? ? ? ? 3 ? 0------------------12分 与 ?1? 式矛盾,故假设错误
从而a, b, c中至少有一个大于0--------------------------14分
16. 【 解 析 】 (1)由条件得, z1 ? z2 ? (

3 ? 2) ? (a 2 ? 3a ? 4)i …(2 分) a?2

? 3 ?2 ?0 ? 因为 z1 ? z2 在复平面上对应点落在第一象限,故有 ? a ? 2 ????(4 分) 2 ?a ? 3a ? 4 ? 0 ? 1 ? ??2 ? a ? ? ∴ 2 解得 ?2 ? a ? ?1 ? ? ?a ? 4或a ? ?1
2

????(6 分)

(2)因为虚数 z1 是实系数一元二次方程 x ? 6 x ? m ? 0 的根

6

所以 z1 ? z1 ?

6 ? 6 ,即 a ? ?1 , a?2

????(10 分) ????(11 分)

把 a ? ?1 代入,则 z1 ? 3 ? 2i , z1 ? 3 ? 2i , 所以 m ? z1 z1 ? 13 ????(14 分)

17【 解 析 】 (1)偶数的个位数字必须是偶数。因而先排个位
1 5 满足条件的六位偶数共有 A3 A5 =360 个;

?????3 分

( 2)先排奇数,然后有三个空,再插空排三个偶数
3 3 满足条件的三个偶数互不相邻的六位数有 2 A3 A3 =72 个;

?????6 分

( 3)用捆绑法。先从三个偶数中选出两个捆绑在一起看作一个偶数,然后排奇数, 再从四个空里选两个空插这两个元素。满足条件的恰有两个偶数相邻的六位
2 3 2 2 数共有 C3 A3 A4 A2 =432 个;

????10 分

3 (4)满足条件的奇数字从左到右从小到大依次排列的六位数共有 A6 =120 个 ?????15 分

注:表达式列对,答案算错扣 1 分
4 2 18. 【 解 析 】 (1)由 Cn (?2)4 : Cn (?2)2 ? 56: 3 解得 n=10??????(2 分)
5r 5? 2 r (? 3 )r ? (?2)r Cn x 6 x

因为通项: Tr ?1 ? C10 ( x )
r

10? r

??????(3 分)

当 5﹣

为整数,r 可取 0,6
5

????????????(4 分) ??????(6 分)

展开式是常数项,于是有理项为 T1=x 和 T7=13400 (2)设第 r+1 项系数绝对值最大,则 ? 注:等号不写扣(1 分)

r r r ?1 r ?1 ? ?C10 2 ? C10 2 ??????(8 分) r r r ?1 r ?1 C 2 ? C 2 ? 10 ? 10

解得

,于是 r 只能为 7

??????(10 分)

所以系数绝对值最大的项为 (3) 10 ? 9C10 ? 81C10 ? ... ? 9
2 3 10?1 10 C10

??????(11 分)

7

?

1 2 3 10 9C10 ? 92 C10 ? 93 C10 ? ... ? 910 C10 9 0 1 2 3 10 C10 ? 9C10 ? 92 C10 ? 93 C10 ? ... ? 910 C10 ?1 9

?

????????13 分

?

(1 ? 9)10 ? 1 1010 ? 1 ? ?????.16 分 9 9

19. 【 解 析 】 (1) 当 n ? 1 时, f (1) ? 1 , g (1) ? 1 ,所以 f (1) ? g (1) ;???1 分

9 11 , g (2) ? ,所以 f (2) ? g (2) ;???2 分 8 8 251 312 当 n ? 3 时, f (3) ? , g (3) ? ,所以 f (3) ? g (3) .???4 分 216 216
当 n ? 2 时, f (2) ?
(2) 由(1) ,猜想

f (n) ? g (n) ,下面用数学归纳法给出证明:???6 分

①当 n ? 1, 2,3 时,不等式显然成立.???7 分 ②假设当 n ? k (k ? 3) 时不等式成 立,即 1 ?

1 1 1 ? ? 23 33 43

?

1 3 1 ? ? 2 ,...9 分 3 k 2 2k

那么,当 n ? k ? 1 时, f (k ? 1) ? f (k ) ?

1 3 1 1 ,???11 分 ? ? 2? 3 (k ? 1) 2 2k (k ? 1)3

因为

1 1 1 k ?3 1 ?3k ? 1 ?( 2 ? )? ? 2 ? ? 0 ,?14 分 2 3 3 2(k ? 1) 2k (k ? 1) 2(k ? 1) 2k 2(k ? 1)3 k 2 3 1 ? ? g (k ? 1) .??????15 分 2 2(k ? 1) 2
*

所以 f (k ? 1) ?

由①、②可知,对一切 n ? N ,都有 f (n) ? g (n) 成立.??????16 分 20.【解析】函数的定义域为 ? 0, ?? ? , f ?( x) ? a(1 ?

1 2 ax2 ? 2x ? a .???1 分 ) ? ? x2 x x2

1 (1)当 a ? 2 时,函数 f ( x) ? 2( x ? ) ? 2ln x , f (1) ? 0 , f ?(1) ? 2 . x 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 0 ? 2( x ? 1) , 即 2 x ? y ? 2 ? 0 .?????????4 分
(2)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ?? ) .

8

1.当 a ? 0 时, h( x) ? ax2 ? 2x ? a ? 0 在 (0, ?? ) 上恒成立, 则 f ?( x) ? 0 在 (0, ?? ) 上恒成立,此时 f ( x ) 在 (0, ?? ) 上单调递减. ?????5 分
2 2.当 a ? 0 时, ? ? 4 ? 4a ,

(ⅰ)若 0 ? a ? 1 , 由 f ?( x) ? 0 ,即 h( x ) ? 0 ,得 x ?

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 或x? ; ??????6 分 a a

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 由 f ?( x) ? 0 ,即 h( x) ? 0 ,得 .?????????7 分 ?x? a a
所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ) 和( , ??) , a a

单调递减区间为 (

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , ) . ??????????????9 分 a a

h( x) ? 0 在 (0, ?? ) 上恒成立, (ⅱ) 若a ?1, 则 f ?( x) ? 0 在 (0, ?? ) 上恒成立, 此时 f ( x ) 在 (0, ?? )

上单调递增. ????????????????????????10 分 (Ⅲ) )因为存在一个 x0 ? [1,e] 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , 则 ax0 ? 2ln x0 ,等价于 a ? 令 F ( x) ?

2 ln x0 .???????????????????12 分 x0

2 ln x ,等价于“当 x ? ?1,e? 时, a ? F ? x ?min ”. x 2(1 ? ln x) 对 F ( x) 求导,得 F ?( x ) ? .?????????????????13 分 x2
因为当 x ? [1, e] 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在 [1, e] 上单调递增. 所以 F ( x)min ? F (1) ? 0 ,因此 a ? 0 . ????????????????16 分 另解:设 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ax ? 2ln x ,定义域为 ? 0, ?? ? ,

F? ? x? ? a ?

2 ax ? 2 ? . x x

9

依题意,至少存在一个 x0 ? [1,e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, 等价于当 x ? ?1,e? 时, F ? x ?max ? 0 . ???????????????11 分 (1)当 a ? 0 时,

F ? ? x ? ? 0 在 ?1,e? 恒成立,所以 F ? x ? 在 ?1,e? 单调递减,只要 F ? x ?max ? F ?1? ? a ? 0 ,
则不满足题意.?? 12 分 (2)当 a ? 0 时,令 F ? ? x ? ? 0 得 x ? (ⅰ)当 0 ?

2 . a

2 ? 1 ,即 a ? 2 时, a

在 ?1,e? 上 F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1,e? 上单调递增, 所以 F ? x ?max ? F ? e? ? ae ? 2 ,由 ae ? 2 ? 0 得, a ? (ⅱ)当

2 ,所以 a ? 2 .???13 分 e

2 2 ? e ,即 0 ? a ? 时, a e

在 ?1,e? 上 F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1,e? 单调递减,

2 .??????14 分 e 2 2 2 2 (ⅲ)当 1 ? ? e ,即 ? a ? 2 时, 在 [1, ) 上 F ? ? x ? ? 0 ,在 ( , e] 上 F ? ? x ? ? 0 , a a a e 2 2 所以 F ? x ? 在 [1, ) 单调递减,在 ( , e] 单调递增, a a 2 F ? x ?max ? 0 ,等价于 F ?1? ? 0 或 F ? e ? ? 0 ,解得 a ? 0 ,所以, ? a ? 2 .???????15 e
所以 F ? x ?max ? F ?1? ? a ,由 a ? 0 得 0 ? a ? 分 综上所述,实数 a 的取值范围为 (0, ??) .???????????????16 分

10


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