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广西南宁市2017届高三上学期第一次摸底考试文数试题Word版含答案.doc


数学(文)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A ? ?x | ?2 ? x ? 3? , B ? ?x | ?1 ? x ? 4? ,则 A ? B ? ( A. ?x | ?1 ? x ? 3? C. ?0,1, 2? 2. 设 i 是虚数单位,如果复数 A. B. ?x | 0 ? x ? 2? D. ?0,1,2,3? )

a?i 的实部与虚部是互为相反数,那么实数 a 的值为( 2?i
D. ?3 ( ) D. ?2



1 1 B. ? C. 3 3 3 ? ? ? ? ? ? 3. 若 a ? ? 2,1? , b ? ? ?1,1? , 2a ? b ? a ? mb ,则 m ?

?

? ?

?

A. ?

1 2

B.

1 2

C. 2 )

4. 若 sin ? ? ? A. ?

1 ,则 cos ?? ? 2? ? ? ( 3
B.
3.2

4 2 9
1 3

4 2 9

C. ?

7 9

D.

7 9

?1? 5. 设 a ? 3 , b ? ? ? , c ? log0.7 3 ,则 a, b, c 的大小关系为( ?4?
A. c ? a ? b C. b ? a ? c B. c ? b ? a D. a ? b ? c



2 6. 在 ? ?4,3? 上随机取一个实数 m ,能使函数 f ? x ? ? x ? 2mx ? 2 ,在 R 上有零点的概率

为 A.



) B.

2 7

3 7


C.

4 7

D.

5 7

7. 下列有关命题的说法正确的是(

2 2 A.命题“若 x ? 4 ,则 x ? 2 ”的否命题为 “若 x ? 4 ,则 x ? 2 ”

B.命题“ ?x ? R, x ? 2x ?1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? 2x ?1 ? 0 ”
2 2

C.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为假命题 D.若“ p 或 q ”为真命题,则 p, q 至少有一个为真命题 8. 直线 y ? kx ? 3 被圆 ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 4 截得的弦长为 2 3 ,则直线的斜率为 (
2 2



A. 3

B. ? 3

C.

3 3

D. ?

3 3

9. 若某圆柱体的上部挖掉一个半球,下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正 (主)视图和侧(左)视图如图所示,则此时几何体的体积是 ( )

A. 2?

B.

4? 3

C. ? )

D.

? 2

10. 执行如图的程序框图,输出的 S 的值为 (

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

11. 给出定义:设 f ' ? x ? 是函数 y ? f ? x ? 的导函数, f "? x ? 是函数 f ' ? x ? 的导函数,若方 程 f "? x ? ? 0 有 实数 解 x0 , 则称 点 x0 f ? x0 ? 为 函 数 y ? f ? x? “ 拐 点” . 已 知 函数

?

?

f ? x ? ? 3x ? 4sin x ? cos x 的拐点是 M ? x0 f ? x0 ?? ,则点 M (
A.在直线 y ? ?3x 上 C. 在直线 y ? ?4 x 上 ) B.在直线 y ? 3x 上 D.在直线 y ? 4 x 上

12. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 且与 x 轴垂直的直 a 2 b2

线交椭圆于 A, B 两点,直线 AF2 与椭圆的另一个交点为 C ,若 AF2 ? 2F2C ,则椭圆的离 心率为( A. ) B.

???? ?

???? ?

5 5

3 3

C.

10 5

D.

3 3 10

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

?x ? y ? 0 ? 13. 若 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为 __________. ?y ? 0 ?
14. 函数 y ? 3sin x ? cos x 的图象可以由函数 y ? 2sin x 的图象至少向左平移 __________个单位得到. 15. 在 ?ABC 中, 三个内角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c , 已知 A ? 的面积为 2 3 ,则 a ? _________. 16. 正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4 ,底面边长为 2 ,则该球的体积为 _________. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1, an?1 ? 3Sn ? 1, n ? N ? . (1)求 a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式. 18. (本小题满分 12 分)某购物中心为了了解顾客使用新推出的某购物卡的顾客的年龄分 布情况,随机调查了 100 位到购物中心购物的顾客年龄,并整理后画出频率分布直方图如图 所示,年龄落在区间 ?55,65? , ?65,75? , ?75,85? 内的频率之比为 4 : 2 :1 . (1) 求顾客年龄值落在区间 ?75,85? 内的频率; (2) 拟利用分层抽样从年龄在 ?55,65? , ?65,75? 的顾客中选取 6 人召开一个座谈会,现从

?
3

, c ? 4, ?ABC

这 6 人中选出 2 人,求这两人在不同年龄组的概率.

19.

(本小题满分 12 分)如图,已知四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且

且平面 PAB ? 平面 ABCD ,已知点 M 是 PD ?DAB ? 60? , ?PAB 是边长为 a 的正三角形, 的中点. (1) 证明: PB ? 平面 AMC ; (2) 求三棱锥 P ? AMC 的体积.

20. (本小题满分 12 分)已知点 C 的坐标为 ?1,0? , A, B 是抛物线 y 2 ? x 上不同于原点 O 的 相异的两个动点,且 OA? OB ? 0 . (1)求证: 点 A, C , B 共线; (2)若 AQ ? ? QB ? ? ? R ? ,当 OQ?AB ? 0 时,求动点 Q 的轨迹方程. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? x ? x .
2

??? ? ??? ?

????

??? ?

???? ??? ?

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)证明当 a ? 2 时,关于 x 的不等式 f ? x ? ? ?

?a ? 2 ? 1? x ? ax ? 1 恒成立; ?2 ?

2 2 (3)若正实数 x1 , x2 满足 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 x1 ? x2 ? x1 x2 ? 0 ,证明 x1 ? x2 ?

?

?

5 ?1 . 2

请考生在 22、23 二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? t cos ? ? (t 是参数) ,以原点 O 为极 ? ? y ? 2 ? t sin ?

点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,C2 曲线的极坐标方程为 ? 2 ? 4 2 ? sin ? ? ? (1) 求曲线 C2 的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线; (2)若曲线 C1 与曲线 C2 交于 A, B 两点,求 AB 的最大值和最小值. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? x ? a . (1)若 a ? 1 ,解不等式 f ? x ? ? 2 x ? 2 ; (2)若 f ? x ? ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

? ?

??

?? 4. 4?

广西南宁市 2017 届高三上学期第一次摸底考试 数学(文)试题参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1-5. ACACB 6-10. BDDCD 11-12.BA

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. ?

1 2

14.

? 6

15. 2 3

16.

243 ? 16

三、解答题 17. 解 : ( 1 ) 由 题 意 ,

a1 ? 1, an?1 ? 3Sn ? 1

,





a1 ? 3a1 ?1 ? 4, a2 ? 3? a1 ? a2 ? ?1 ? 3?1 ? 4? ?1 ? 16 .
(2)由 an?1 ? 2Sn ? 1 ,则当 a ? 2 时, an ? 3Sn?1 ? 1 ,两式相减,得 an?1 ? 4an ? n ? 2? ,又 因为 a1 ? 1, a2 ? 4,

a1 ? 4 ,所以数列 ?an ? 是以首项为 1 ,公比为 4 等比数列,所以数列 ?an ? a2

n ?1 n? N? . 的通项公式是 an ? 4

?

?

18.解: (1)设区间 ?75,85? 内的频率为 x , 则 区间 ?55,65? , ?65,75? 内的频率分别为 4 x 和

2 x .依题意得 ? 0.004 ? 0.012 ? 0.019 ? 0.03? ?10 ? 4x ? 2x ? x ? 1 ,解得 x ? 0.05 ,所以区
间 ?75,85? 内的频率为 0.05 . (2)根据题意得,需从年龄在 ?55,65? , ?65,75? 中分别抽取 4 人和 2 人,设在 ?55,65? 的 4 人分别为 a, b, c, d ,在 ?65,75? 的 2 人分别为 m, n ,则所抽取的结果共有 15 种

? a, b? , ? a, c? , ? a, d ? , ? a, m? , ? a, n? , ?b, c ? , ?b, d ? , ?b, m? , ?b, n? , ?c, d ? , ?c, m? , ?c, n? , ? d, m? , ? d, n? , ?m, n? .设“这两人在不同年龄组”
为事件 A ,事件 A 包含的基本事件有 8 种: ? a, m? , ? a, n? , ?b, m? , ?b, n? , ? c, m? , ? c, n? , ? d , m? , ? d , n ? . 则 P ? A? ?

8 8 ,所以这两人在不同年龄组的概率为 . 15 15

OB ? OD 所以 OM ? PB . 19.解: (1) 连结 BD 交 AC 于 O , 连结 OM , 因为 ABCD 为菱形,

由直线 PB 不在平面 AMC 内, OM ? 平面 AMC ,所以 PB ? 平面 ACM .

所以 VP ? PAB ? VP ? ABCD ? VM ? ?

1 2 1 2 1 2 a ? a ? a . 8 16 16

2 2 2 2 20.解: (1)设 A t1 , t1 , B t2 , t2 , ? t1 ? t2 , t1 ? 0, t 2 ? 0 ? ,则 OA ? t1 , t1 , OB t2 , t2 ,

?

? ?

?

??? ?

?

?

??? ?

?

?

2 因为 OA? OB ? 0,?t12t2 ? t1t2 ? 0 ,又 t2 ? 0, t1 ? 0,?t1t2 ? ?1 ,因为

??? ? ??? ?

???? ??? ? 2 AC ? ?1 ? t12 , ?t1 ? , BC ? ?1 ? t2 , ?t2 ? ,
2 2 2 2 且 t1 1 ? t1 ? t2 1 ? t2 ? ? t1 ? t2 ? ? t1t1 ? t2t2 ? ? t1 ? t2 ??1 ? t1t2 ? ? 0 ,所以 AC ? BC ,又

?

?

?

?

??? ? ??? ?

AC, CB 都过点 C ,所以三点 A, B, C 共线.
(2)由题意知,点 Q 是直角三角形 AOB 斜边上的垂足,又定点 C 在直线 AB 上,

???? ??? ? ???? ??? ? ?CQO ? 90? ,所以设动点 Q ? x, y ? ,则 OQ ? ? x, y ? , CQ ? ? x ? 1, y ? ,又 OQ? CQ ? 0 ,所以

1? 1 ? x ? x ?1? ? y ? 0 ,即 ? x ? ? ? y 2 ? ? x ? 0? ,动点 Q 的轨迹方程为 2? 4 ?
2

2

1? 1 ? 2 ? x ? ? ? y ? ? x ? 0? . 2? 4 ?
21.解: (1) f ' ? x ? ?

2

1 ?2 x 2 ? x ? 1 ? 2x ?1 ? ? x ? 0 ? ,由 f ' ? x ? ? 0 ,得 2 x2 ? x ?1 ? 0 . x x

又 x ? 0 ,所以 x ? 1 , 所以 f ? x ? 的单调递减区间为 ?1, ?? ? , 函数 f ? x ? 的单增区间为 ? 0,1? . (2)令 g ? x ? ? f ? x ? ? ??

?? a ? 2 ? 1 ? 1? x ? ax ? 1? ? ln x ? ax 2 ? ?1 ? a ? x ? 1 ,所以 2 ?? 2 ? ?

?ax 2 ? ?1 ? a ? x ? 1 1 g ' ? x ? ? ? ax ? ?1 ? a ? ? ,因为 a ? 2 ,所以 x x

1? ? a ? x ? ? ? x ? 1? 1 a? ? 1? g '? x? ? ? ? ,令 g ' ? x ? ? 0 ,得 x ? ,所以当 x ? ? 0, ? , g ' ? x ? ? 0 ,当 x a ? a?

?1 ? ? 1? ?1 ? 在 x ? ? , ?? ? 是减函 x ? ? , ?? ? 时,g ' ? x ? ? 0 因此函数 g ? x ? 在 x ? ? 0, ? 是增函数, ?a ? ? a? ?a ?

1 ?1? ?1? 1 ?1? ?1? 数,故函数 g ? x ? 的最大值为 g ? ? ? ln ? ? ? a ? ? ? ? ?1 ? a ? ? ? ? ? 1 ? ? ln a , 2a ?a? ?a? 2 ?a? ?a?
令 h ?a? ? ?

2

1 ? 1 ? ? ? ln a ,因为 h ? 2 ? ? 4 ? ln 2 ? 0 ,又因为 h ? a ? 在 a ? ? 0, ??? 是减函数, ? 2a ?

所以当 a ? 2 时, h ? a ? ? 0 ,即对于任意正数 x 总有 g ? x ? ? 0 ,所以关于 x 的不等式

?a ? f ? x ? ? ? ? 1? x 2 ? ax ? 1 恒成立. ?2 ?
2 2 2 2 (3)由 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 x1 ? x2 ? x1 x2 ? 0 ,即 ln x1 ? x1 ? ln x2 ? x2 ? x1x2 ? 0 ,从

?

?



? x1 ? x2 ?
? '?t ? ?

2

? ? x1 ? x2 ? ? x1 ?x2 ? ln ? x1 ?x2 ? ,令 t ? x1 ?x2 ,则由 ? ?t ? ? t ? ln t 得,

t ?1 ,可知 ? ? t ? 在区间 ? 0,1? 上单调递减,在区间 ?1, ?? ? 上单调递增,所以 t
2

? ?t ? ? ? ?1? ? 1 ,所以 ? x1 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ,又 x1 ? x2 ? 0 ,因此 x1 ? x2 ?
立.

5 ?1 成 2

22.解: (1)对于曲线 C2 有 ? ? 4? sin ? ? 2? cos? ? 4 ,即 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 4 ,因此曲线
2 2 2

C2 的直角坐标方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 4 ,其表示一个以 ? 2, 2 ? 为圆心,半径为 2 的圆.
2 2

(2) 曲线 C2 是过点 P

?

3, 2 的直线,由

?

?

3 ? 2 ? ? 2 ? 2? ? 4 知点
2

?

2

?

3, 2 在曲线 C2 内,

?

所以当直 C1 线过圆心 ? 2, 2 ? 时, AB 的最大为 4 ,当 AB 为过点

?
?
2

3, 2 且与 PC1 垂直时,
? 2 ?3 ? 4 3 .

?

AB 最小 PC1 ?

3 ? 2 ? 2 ? 3 ,最小值为 d ? 2 4 ? 2 ? 3

?

23.解: (1) 当 a ? 1 时, f ? x ? ? 2 x ? 2 ,即 x ? 1 ? x ? 2 ,解得 x ?

1 . 2

(2)f ? x ? ? x ? 2 ? x ? a ? x ? 2 ? ? x ? a ? ? a ? 2 ,若 f ? x ? ? 2 恒成立, 只需 a ? 2 ? 2 ,

即 a ? 2 ? 2 或 a ? 2 ? ?2 ,解得 a ? 0 或 a ? ?4 .


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