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探求以空间图形为背景的轨迹问题


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2 0 0 4 年  第 9 期  数学通报 

探 求以空间图形为背景的轨迹问题 
王  勇   ( 湖北 省襄樊 市 第一中 学 4 4 1 0 0 0 )  
近几年的高考数学试题 , 设置了一些数学学  科内的综合题, 它们的新颖性、 综合性, 值得我们  重

视. 在知识网络交汇点处设计试题是高考考试 

A . 2 了 4 5 ,  ̄  
C. 2   T c  


.  

命题改革的一个方向, 以空间图形为背景的轨迹  问题正是在这种背景下“ 闪亮登场” . 由于这类题  目 涵盖的知识点多, 数学思想和方法考查充分, 学  生求解起来颇感困难, 考试时经常弃而不答 , 令人  惋惜 !   探求以空间图形为背景的轨迹问题 , 要善于   把立体几何问题转化到平面上, 再联合运用平面   几何、 立体几何、 空间向量、 解析几何等知识去求  解, 实现立体几何到解析几何的过渡. 下面精选七  道典型例题并予以分析解答, 旨在探索题型规律,   揭示解题方法 .   例1  已 知平面口 / / 平面卢 , 直线 z   c口 , 点P   ∈z , 平面a ,  间的距离为8 , 则在 内到点P的距离  为1 0 且到直线 Z 的距离为 9 的点的轨迹是(   )   A . 一个圆  B . 两条直线  C . 四个点  D . 两个点  解析  如图 1 , 设点 P在  平面 卢上的射影是 0, 则O P   是平 面 a ,   的公 垂线 段 , O P  


D. 4   T c  

全面的考查动点 P的不同位置, 进而探求轨迹, 最  后再计算曲线的长度.  
所以 P点轨迹是 以A为圆心 ,   2 , / 3 为半径的 

:  





段圆弧P l   P 2 . 当 P点在面A l C l 内时, P点轨迹 

是以 A l 为 圆心的弧 P 2   P 3 , 其 半径 I   A l P   I =  

、 / 厂  

_ 2 :  . 如图2 , 由 对 称 性 可 知,  

闭曲线 P l   P 2 P 3   P 4   P 5   P 6 . 其中P 5 P 6 =P 3 P 4 =P l P 2  
所在圆的半径为 / 1 . 1, P   2 、 P 3= , P   4 、 P 5=P ,   l 、  P 6 所在 


圆 的 半 径 为 譬 . 所 以 曲 线 的 总 长 度 为 3 × (  ×  

8 .  

詈 ) + 3 × ( 等 × 号 ) = 警 兀 , 故 应 选 B .  
如  ’ 在正方体
A Bl B   


在 卢内到点P的距离等  于1 0 的点到点 0的距离等于  6 , 故点的集合是以 0 为圆心,   以6 为半径的圆.  
图1  

c 

A。 B  I   C I     D。- D   -A BC D    ̄ A 1   1  

÷ — —  l  

在卢 内到直线z 的距离等于 9 的点的集合是  两条平行直线 m, n , 它们到点 0的距离都等于  =  : ̄ / r 1 7< 6 , 所以直线 m ,  , 与这个圆均 
相交, 共有 四个交点, 因此所求点的轨迹是四个  点, 故应选 C .   例2 已知正方体 A B C D   A l B l C l D l 的棱长为 1 , 在正 D l   方体的表面上与点 A距离为 


所 篓 , 在 C   , 曲 的 线 距 的 离 形 相 状 等 为 , ( 则   动 点 )  . 线 P    L / / q L 1  

‘   一  
.  

解析  本题主要考查抛物线的定义 , 线面垂 

直关系及点到直线 的距离等概念, 情景新, 角度 
好, 有创意 .  

2 丁 , 3的点的集合形成



条曲   D 
图2  

因为 C 1  1 上 面A B 1 , 所以 船 l 即为点 P到直  线  C   的距离 , 于是 问题转化为在平面 A B , 内,  

线 , 则 该 曲 线 的 长 度 为 

点 P到定点 . 的距离与点 P到定直线A B的距离 

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2 0 0 4 年  第9 期  数学通报 
相等, 根据抛物线的定义, 动点 P的轨迹应为过  B B   的中点的抛物线, 又点 A   显然在此抛物线上,  
故应选 C .  

则   :  (   + 茄)  
:  

( 一 O M+ 一 M A+ 一 O N+ 一 N B ) {(   +   +   +   ) .  
.  

例4 已知正方 体A B C D— A 】 B 】 C 】 D 】 的棱长为  
1  

因为   :一   , 所以   :  (   + 商)   所以   .   :   (   + 商) .  
:  — —2   ’ …  ’ .   … +  。 2  … 商 .   ’ …  

1 , 点  在棱 仙 上, 且A M ={, 点P 是平面 A B C D  
内的动点, 且点P到直线A   D   的距离与点P到点  的距离的平方差为 1 , 则 P点的轨迹为(   ) .   A . 抛物线  c . 直线  B . 双曲线  D . 以上都不对 



0 .  

解析  如图4 , 过点 P 作  P F   J _ A D交 A D于 F , 因为平  面A C   j _ 平面 A D 1 , 则P F   j _  

即 P点必在 M N的垂直平分面上.  

因 为  .   : { ( I   I z + I   商 
故 一   O P   . ?   一 O P   : = {( ÷(   A N 2   一   M N 2 + 仙  A  一 一   A J 7 、 , 2 ) : =  
÷( 4   A B   一 M N 2 ) = ÷( 4   n   一 b   ) ,  
图4  

平面 A D 1 , 过点 F作 F E   J _   A 1 D 1 交A 1 D 1 于E , 连结 P E ,   由三 垂 线 定 理 可 知 : P E   J _   A 1 D 】 , 则P E就是P点到A 】 D 】  

即I   I   : { ( n 2 — 6   ) .  
所以P 点在以0 为圆心, 以  ^ / / n   一b   为半  
的一个圆.  

的距 离.由 已 知 条 件 知 P E  一 p M2: 1 ,在  R t A   P   中, P   一p F 2:   :A A  : 1 , 所以 

p E 2 一  
选 A .  

故 P点的轨迹是 M N 的垂直平分面 内   :P 酽 一p F 2 , 即P M :P F . 故 P点的   径的圆上 ,

轨迹是以   为集点, 以A D为准线的抛物线, 故应 
例5   如图5 , 在正 四棱  锥 S— A B C D中, E 为B C的中   点, 点 P在侧面 △S C D 内及  其边界上运动, 且总保持 P E  

点评  求空间动点的轨迹, 按立体几何的传  统方法几乎无从着手, 空间向量不仅巧妙地解决  了这一难题, 而且给人以启迪.   例7   设异面直线 n , b 成6 0  ̄ 角, 它们的公垂  线段为 E F , 且I   l - 2 , 线段 A B的长为4 , 两端点 
C 

J _ A C , 求动点 P的轨迹.   解析  分别 取 D C , C S   的中点 F , G , 连结  , F G ,   G E . 又因为 E为 B C的中点 ,  
图5  

A, B分别在 n , b 上移动, 求A B的中点 P的轨迹.   解析  由立几知识, A B的中点P在过  的  中点 0且与 n , b 平行的平面a内, 于是将空间问  
题转化为平面问题 .  

则 衄  寺S B , 由 于A C   J _ 肋, A C   J _ s 0 , 肋 n  

取  的中点 0 , 过 0作  n   ∥n , b   ∥b , 则n   , b   确定   S O = 0, 则A C   J _ 平面 S B D, 故A C   J _S B , A C   J _   平面 口 ,   上口 , 则 A在 口内   G E . 而A C j _ E F , 所 以A C j _ 平面 E F G . 由已知 A C   的射影必在n   上, B在a内的   J _ 饱, 且 P E   n平面 E F G = E, 故P E   f l 平 面  射影必在 b   上, A B的中点 P   E F G . 又因为面 S C D   n面 E F G=F G , 故 P∈ F G ,   必在 A   B   上. 如图 7 所示.   即 P点的轨迹为线段 F G .   又 I   A B   l -4 , I   E F   l -2 ,   易得 I   A   l -2 √ 3 .   现求线 段 A   在移动  时, 其中点 P的轨迹.   以  A   O B   的平分线为  轴, 0为原点 , 建立直角坐标 
图6  
系. 如图 8 所示 .  
l  

图7  

例 6 一定长线段 A B的  两个端点, 沿互相垂直的两条  异面直线 z , m运动, 求它的 

中点的轨迹.   解析  如图 6 , 设M N为  Z , m 的公垂 线 , 连结 A N, 则  A M  J _ M N, N B   J _ M N. 分别记 



 

D 

,  

M N, A B的中点为0, P , A B =n , M N =b ,  

不妨令I   O A  I =m,   ( 下转第 2 4 页)  

图8  

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的时代去了吗? ! ”   本内容相对的稳定性, 并不是说平面几何就不需  清华大学萧树铁教授对新颁布的数学课程标  要改革. 事实上, 半个多世纪以来平面几何课本内   准( 实验稿) 提出意见, 他认为“ 这个标准似乎对  容一直在不断地改革. 笔者翻阅了 1 9 3 5年商务印 

人文方面的作用考虑不够. 请注意, 在我国 传统文   化中, 逻辑思维一直比较薄弱, 直到现在也还是如  此. 而数学( 尤其是欧氏几何) 在这方面的训练是  大有可为的. 在这 个标 准 中, 欧 氏几何几 乎消失  了. 就连逻辑两个字在百余页中 竟只出现过两次.   在‘ 分学段目标 ’ 中, 虽然也说 ‘ 初步了解数学对  社会进步和人类理性精神的促进作用’ , ‘ 体会证  明的必要性, 发展初步的演绎推理能力’ , 但在‘ 课  程实施建议’ 中, 几乎没有这方面的内容. 我想这  可能是指导思想的问题 . ” ⑨   四 川师大翁凯庆、 邓安邦先生指出: “ 从国际   数学教育正反两方面经验教训来看, 凡系统讲授  平面几何内容的国家, 如中、 俄、 日等国, 中学生的  数学水平较高, 反之则水平较低. ” ②   华东师范大学张奠宙教授更尖锐地指出: “ 美  国的 好学校都在高中开设论证严肃的平面几何,   ( M o n t h l y   o f   M 从》 最近一期专门刊登文章说明平  面几何教学的重要性. 中国的平面几何教学传统  值得重视发扬 , 过分削弱平面几何教学, 无异于教  育 自杀 . ” ⑦   数学家坦率诚恳的意见, 值得引起我们的重   视. 当然, 强调平面几何在培养学生逻辑推理能力   方面的突出作用, 并不是否定形象思维的作用, 问  题在于要正确处理形象思维与抽象思维的辩证关  系. 课程标准中运用了大量图形与直观, 这有助于  培养学生学习兴趣, 有助于对知识的理解, 但直观  不是最终的目的, 应该从直观进一步发展形象思  维, 培养学生的直觉能力, 再过渡到抽象思维、 理   性认识, 这样认识才完整. 另外 , 强调平面几何基 

书馆出版, 余介石、 张通谟编写的《 高级中学几何  学》 课本, 其中平几部分的内容包括: 九点圆( N i n e   p o i n t s   c i r c l e ) , 西摩松线( S i m s o n   L i n e ) , 尤拉线 


( E u l e r   L i n e ) , 孟 氏定理 ( M e n e l a u s   t h e o r e m ) , 德氏定 

理( D e s a r g u e s   T h e o r e m ) , 巴普 斯 定 理 ( P a p p u s   T h e o r e m ) , 巴斯加定理( P a s c a l   T h e o r e m ) , 帅氏定理  ( C e v a   T h e o r e m ) , 奈 氏点 ( N a g e l   p o i n t ) ,麦 氏点  ( M i g u e l   P o i n t ) , 布氏点( B r o c a r d   p o i n t ) , 公度与不可  公度问题 , 多氏( P t o l e m y ) 定理及逆定理, 等周问  题, 阿氏圆( A ol p l o n i u s   C i r c l e ) , 等幂轴, 作图法讨  论等等. 这些知识在解放后的课本中均被逐步淘  汰. 对于这种删繁就简的改革, 广大数学教师并无  怨言, 大家是拥护的. 现在人们的顾虑是不要把平  面几何最基本的体系和内容打乱 , 伤筋动骨, 使其  失去平面几何的“ 原汁原味” , 这种顾虑应该说是  不无道理的.  
参 考文献 

1   谷超豪 , 李大潜 . 苏步青传. 中国现代数学家传( 第一卷 ) .   南京: 江苏教育出版社 , 1 9 9 4 , 8   2   翁凯庆, 邓安邦. 中 学平面几何课的地位作用与教学目的.  
数学通报, 2 0 0 O , 2  

3 刘振安 , 张允熠, 周怀衡传. 中国现代数学家传( 第五卷 ) .   南京: 江苏教育出版社, 2 O O 2 , 8   4  沙国祥. 数学美的 使者一访2 O O 2 年国际数学菲尔兹奖得主   洛朗 ? 佛阁. 初中生数学学习. 2 O O 2 . 1 0   5   李大潜. 在上海市中小学数学教育研讨会上的发言. 数学 
教学 , 2 O O 3 . 1  

6   张丹. 中国数学会中小学数学教育改革研讨会记 录. 数学 
通报 , 2 O 0 O , 1 1  

7   张奠宙. 美国 数学教育考察纪事. 数学教学 , 2 0 0 1 . 2  

圆 吾 + y 2 : 1 .  
点评  ( 1 ) 若把条件中“ 异面直线 n , b 所成  角为6 0  ̄ ” 改成“ 异面直线 n , b 所成角为9 0  ̄ ” , 则点  P的轨迹为 圆.   ( 2 ) 本题以立几为背景, 考察空间想象能力,   建立适当的坐标系求轨迹方程的能力.   述七例以空间直线与平面的位置关系为依  托, 研究平面解析几何的轨迹问题, 立意新颖、 构  思精妙、 极富思考性和挑战性 , 有利于培养学生综  合运用多学科知识的能力, 也有利于培养学生讨  论、 化归等数学意识及创新精神.  

{ 【   2   :   1   ( : m : — : n ; )   可 解 。   得 { 【   n :   霎 2 X 二 一   2 y .  
代入①, 消去 m , n , 可得  +, , 2 :1 ② 


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