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人教版数学必修四:2.4向量的数量积(1)(学生版)


课题:§2.4 向量的数量积(1) 总第____课时 班级_______________ 姓名_______________ 【学习目标】 1.理解平面向量数量积的概念,掌握两向量夹角的概念及其取值范围[0,π]; 2.掌握两向量共线及垂直的充要条件, 3.掌握向量数量积的性质. 【重点难点】 学习重点:平面向量数量的概念; 学习难点:向量数量积及其重要性质. 【学习过程】

一、自主学习与交流反馈: 物理课中,物体所做的功的计算方法: . W ?| F || s | cos? (其中 ? 是 F 与 s 的夹角) ? s 二、知识建构与应用: (一)向量数量积的概念和性质 1.向量的夹角定义: B 平面两非零向量 a 和 b 的夹角: b ? O 当且仅当两非零向量 a 、 b 同方向时 θ= 当且仅 , 反方向时,θ= ; a A a b ; 当 θ= ,称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥b . 2.向量数量积的定义: 已知两个非零向量 a 和 b ,它们的夹角为 ? ,则数量 | a | ? | b | ? cos? 叫做 a 与 b 的数 量积(或内积) ,记作 a ? b ,即 . 说明: ①两个向量的数量积是一个数量, 这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关; ②实数与向量的积与向量数量积的本质区别:两个向量的数量积是一个 实数与向量的积是一个 量; ③规定,零向量与任一向量的数量积是 3.数量积的性质: 设 a 、 b 都是非零向量, ? 是 a 与 b 的夹角,则 ① cos? ? . 量; a ?b ; | a || b | ②当 a 与 b 同向时, a ? b ?| a || b | ;当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? | a || b | ; 特别地: a ? a ?| a |2 或 | a |? ③ a ? b ? a ?b ? 0 ; 4.向量的数量积满足下列运算律: (1) a ? b ? b ? a (2) (?a) ? b ? a ? (?b ) ? ? (a ? b ) ? ?a ? b (3) (a ? b ) ? c ? a ? c ? bc 三、例题 例 1 已知向量 a 、 b 的夹角为 ? , a ? 2, b ? 3,分别在下列条件下求 a ? b : (1) ? ? 135? ; (2) a ∥ b ; (3) a ⊥ b . a?a ; 例 2 已知 a ? 1, b ? 2 ,向量 a 、 b 的夹角为 60 ? ,求: (1) (a ? b )2 ; (2) (a ? b )2 ; (3) (a ? b ) ? (a ? b ) . ? ? ? ? 例 3 已知向量 a 、b 的夹角为 60 ? , b ? 4 , (a ? 2b ) ? (a ? 3b ) ? ?72,求向量 a 的模. ? ? ? ? 例 4 已知平面内三个向量 a, b , c 的模均为 1,他们相互间的夹角为 120°, (1)求证: (a ? b ) ? c ; (2)若 ka ? b ? c ? 1(k ? R ) ,求 k 的值. 四、巩固练习 1.已知 a, b , c 是三个非零向量,下列结论正确的是__________(填序号). ①若 a ? b ?| a || b | , 则a ∥b ; ②若 a ? c ? b ? c , 则a ? b ; ③若 a ? b ? a ? b , 则a ?b . 2. 已知正三角形

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