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极限的四则运算


二、讲解新课: 1. 对于函数极限有如下的运算法则: 如果 lim f ( x) ? A, lim g ( x) ? B ,那么 lim[ f ( x) ? g ( x)] ? A ? B ;
x ? xo x ? xo x ? xo

x ? xo

lim[ f ( x) ? g ( x)] ? A ? B ;

x ? xo

lim

f ( x) A ? ( B ? 0) g ( x) B

王新敞
奎屯

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也就是说, 如果两个函数都有极限, 那么这两个函数的和、差、 积、商组成的函数极限, 分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商(作为除数的函数的极限不能为 0). 说明:当 C 是常数,n 是正整数时:
x ? xo

lim[Cf ( x)] ? C lim f ( x) , lim[ f ( x)]n ? [ lim f ( x)]n
x ? xo

x ? xo

x ? xo

这些法则对于 x ? ? 的情况仍然适用.
x ? xo k lim x k ? xo (k ? N * ),

lim

2.推广:上面法则可以推广到有限 多个数列的情况 如,若 ?a n ..
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1 ? 0(k ? N * ) x ?? x k

?,?bn ?,?cn ?有极限,则

lim(a n ? bn ? c n ) ? lim a n ? lim bn ? lim c n
n ?? n ?? n ?? n ??

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三、讲解范例: 例 1 求 lim( x ? 3 x )
2 x?2

解: lim( x ? 3x) ? lim x ? lim 3x ? 4 ? 6 ? 10
2 2 x ?2 x ?2 x ?2

2x 2 ? x ? 1 例 2 求 lim 3 . x ?1 x ? 2 x 2 ? 1

(2 x 2 ? x ? 1) lim 2 x 2 ? lim x ? lim1 2 x 2 ? x ? 1 lim x ?1 x ?1 解: lim 3 ? x ?1 3 ? x ?1 x ?1 x ? 2 x 2 ? 1 lim( x ? 2 x 2 ? 1) lim x 3 ? lim 2 x 2 ? lim1
x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

?

2 ?12 ? 1 ? 1 ?2 13 ? 2 ?12 ? 1

2x 2 ? x ? 1 这个题目可以把 x=1 代入函数的解析式 3 中,就可以了.所以求某些函数在 x ? 2x 2 ? 1
某一点 x=x0 处的极限值时,只要把 x=x0 代入函数的解析式中,就得到极限值.这种方法叫代 入法. 例 2 求 lim

x2 ?1 . x ?1 2 x 2 ? x ? 1

分析:这个题目如果用代入法做,则分子、分母都为 0,所以不能求解.将分子分母因式 分解,共有 x-1 这个因子.因为 x 无限趋近于 1,不包含 x=1 即 x≠1,所以可约去公因式, 化简再求极限.

lim( x ? 1) x2 ?1 ( x ? 1)( x ? 1) x ?1 x ?1 解: lim ? lim ? lim ? x ?1 2 x 2 ? x ? 1 x ?1 ( x ? 1)(2 x ? 1) x ?1 2 x ? 1 lim(2 x ? 1)
x ?1

?

1?1 2 ? 2 ?1 ? 1 3

当用代入法时,分子、分母都为 0,可对分子、分母因式分解,约去公因式来求极限. 就是先要对原来的函数进行恒等变形.称因式分解法.

2x3 ? x 2 ? 1 例 3 求 lim x ?1 x ?1

x3 ? x 2 ? 1) lim 2 x3 ? lim x 2 ? lim1 2 2 x3 ? x 2 ? 1 lim(2 x ?1 x ?1 x ?1 解: lim ? ? x?1 ? ?1 x ?1 x ?1 lim( x ? 1) lim x ? lim1 2
x ?1 x ?1 x ?1

例 4 求 lim

x ? 16 x ?4 x ? 4 分析:当 x ? 4 时,分母的极限是 0 ,不能直接运用上面的极限运用法则 . 注意函数 x 2 ? 16 y? 在定义域 x ? 4 内,可以将分子、分母约去公因式 x ? 4 后变成 x ? 4 ,由此即 x?4
2

可求出函数的极限. 解: lim
x ?4

x 2 ? 16 ( x ? 4)( x ? 4) ? lim ? lim( x ? 4) ? lim x ? lim 4 ? 4 ? 4 ? 8 x ? 4 x ?4 x ?4 x ?4 x?4 x?4

例 5 求 lim

3x 2 ? x ? 3 x ?? x2 ?1

分析:当 x ? ? 时,分子、分母都没有极限,不能直接运用上面的商的极限运算法则. 如果分子、分母都除以 x ,所得到的分子、分母都有极限,就可以用商的极限运用法则计 算
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2

1 3 1 3 1 3 3 ? ? 2 lim(3 ? ? 2 ) lim3 ? lim ? lim 2 3x 2 ? x ? 3 x ?? x ?? x ?? x ?? x x ? x x ? x x ?3 解: lim ? lim x ?? x ?? 1 1 1 x2 ? 1 1? 2 lim(1 ? 2 ) lim1 ? lim 2 x ?? x ?? x ?? x x x
例 6 求 lim

2x 2 ? x ? 4 x ?? 3 x 3 ? x 2 ? 1
3

分析:同例 4 一样,不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以 x ,就可以运用 法则计算了
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2 1 4 2 1 4 2 1 4 ? 2 ? 3 lim( ? 2 ? 3 ) lim ? lim 2 ? lim 3 2 x2 ? x ? 4 x ?? x ?? x ?? x ?? x x x ? x x x ?0 解: lim 3 2 ? lim x x x ? x ?? 3x ? x ? 1 x ?? 1 1 1 1 1 1 3? ? 3 lim(3 ? ? 3 ) lim3 ? lim ? lim 3 x ?? x ?? x ?? x x ?? x x x x x

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例 7 求下列极限. (1) lim 四、练习: 1.求下列极限: (1)

( x ? 1)( x ? 2) ; n ? ? ( 2 x ? 1)( x ? 1)

(2) lim

4x 2 ? 4x ? 1 n ?? x 3 ? 2 x 2 ? 1

lim (3x2-2x+1) (代入法.)
x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

解: lim (3x2-2x+1)= lim 3x2- lim 2x+ lim 1=3×12-2×1+1=2.
x ?1

(2) lim

x2 ? 4 3x ? 1 ( x ? 3)(2 x ? 1) . (代入法)(3) lim . (因式分解法.)(4) lim 2 (分 x ?? x ? 12 x ? 20 x ?2 x ? 2 x ??1 ( x ? 5)( x ? 6)

x2 ? 8 ? 2 2 子、分母同除 x 的最高次幂.)(5) lim . (分子有理化.) x ?4 x?4
五、小结 :有限个函数的和(或积)的极限等于这些函数的和(或积) ;两个(或几个) 函数的极限至少有一个不存在时,他们的和、差、积、商的极限不一定不存在. 在求几个函 数的和(或积)的极限时,一般要化简,再求极限 .求函数的极限要掌握几种基本的方法. ①代入法;②因式分解法;③分子、分母同除 x 的最高次幂;④分子有理化法.
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2x x2 ? 5 六、课后作业:1.(1) lim (2 x ? 3x ? 4) ;(2) lim 2 ;(3) lim 2 ; x ??1 x ?1 x ? x ? 1 x?2 x ? 3
3

(4) lim(
x ?0

x 2 ? 3x ? 1 x2 ? 3 3x 3 ? x 2 ? 1) ;(5) lim 4 lim ; ( 6 ) ; x ?0 x 5 ? 3 x 4 ? 2 x 2 x? 3 x ? x 2 ? 1 x?4
x?2 x ?1 x 3 ? 3x 2 ? 2 x ( x ? m) 2 ? m 2 lim lim lim ; ( 8 ) ; ( 9 ) ; ( 10 ) ; x ? ?1 x 2 ? 1 x ??2 x ?0 x2 ? 4 x x2 ? x ? 6 1 1 x2 ?1 ? 2 ) ;(12) lim 2 x ?? 2 x ? 2 x ? 1 x x

( 7) lim
x?2

(11) lim ( 2 ?
x ??

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答案:⑴-1 ⑵9 ⑶2/3 ⑷3/4 ⑸0 ⑹-1/2 ⑺1/4 ⑻-1/2 ⑼ -2/5 ⑽2m ⑾2 ⑿ 1/2

1 ?1 2 1 1 3 n 1. ( 1 ) lim(7 ? ); ( 2 ) . lim( 2 ? 5) ; ( 3 ) lim ( ? 4) ; (4). lim ; (5). n ?? n ?? n n ?? n n n?? 1 n ?1 n
lim

2 1 ? 4n 2 1? 2 ? 3 ??? n n ?1 7 ? 5n lim lim( ? ); lim ; (6). ; (7). ; ( 8 ) n ?? n?? n 2 ? 9 n ?? 6n ? 11 2n 2 1? n2 n ?? n
1?
; (10).已知 lim a n ? 2, 求 lim
n ??

1 1 1 ? ??? n 2 4 2 (9) lim n ?? 1 1 1 1? ? ??? n 3 9 3

n ? an n ?? n ? a n

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答案:⑴7 ⑵-5 ⑶0 ⑷-1 ⑸1/4 ⑹5/6 ⑺0 ⑻-4 ⑼4/3 ⑽1.


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