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河南省实验中学2014—2015高二上学期月考


河南省实验中学 2014—2015 学年上学期月考 高二数学试卷
(时间:120 分钟,满分 150 分)
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.在 ?ABC 中, a ? (A)

3, b ? 1, B ?

?
6

r />
, 则A ?
(C)





?
3

(B)

?
6



5? 6

2? 3

(D)

?
3



2? 3
( )

2. 已知 ?ABC 中, sin 2 B ? sin 2 C ? sin 2 A ? ? sin B sin C ,则 A= (A) 60? (B) 90? (C) 150? (D) 120?

3.若等比数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 3n ? r ,则 r = (A)0 (B)-1 (C)1 (D)3 4.等比数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 48, S 2 n ? 60,则 S 3n ? (A)63 (B)64 (C)66 (D)75









5.已知 a , b, c 成等比数列, m 是 a 与 b 的等差中项, n 是 b 与 c 的等差中项,则

a c ? ? m n 1 2 6.在 ?ABC 中,若 tan A tan B ? 1 ,则 ?ABC 是
(A)1 (B)2 (C) (A)锐角三角形 (C)钝角三角形 7.数列 1, (A) (D)





1 4
( )

(B)直角三角形 (D)无法确定 ( )

1 1 1 , ,? , ? 的前 n 项和为 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3??? n
(B)

n n ?1

2n n ?1

(C)

4n n ?1

(D)

n 2( n ? 1)
( )

8.若 ?ABC 为钝角三角形,三边长分别为 2,3, x ,则 x 的取值范围是 (A) (1,

5)

(B) ( 13,5 )

(C) ( 5 , 13 )

(D) (1, 5 ) ? ( 13,5) ( )

9.已知等差数列 ?a n ?前 n 项和为 S n , S 4 ? 40 , S n ? 210, S n ?4 ? 130,则 n = (A)12 (B)14 (C)16 (D)18

10.设 ?a n ?为等差数列, a 3 ? a 9 ,公差 d ? 0 ,则使前 n 项和 S n 取得最大值时正整数 n =

( (A)4 或 5 (B)5 或 6 (C)6 或 7 (D)8 或 9 ( 11.若锐角 ?ABC 中, C ? 2 B ,则 (A) ?0,2 ? (B)



?

3 ,2

?

c 的取值范围是 b
(C)



?

2, 3

?

(D)

?

2 ,2

?

12.?a n ?为等差数列,公差为 d , S n 为其前 n 项和, S 6 ? S 7 ? S 5 ,则下列结论中不正确的是 ( ) (B) S11 ? 0 (C) S12 ? 0 (D) S13 ? 0

(A) d ? 0

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分). 13. ?ABC 中,已知 sin A ?

5 4 , cos B ? ,则 cos C ? 13 5




14.设等差数列 ?a n ?前 n 项和为 S n ,若 S 9 ? 72 ,则 a 2 ? a 4 ? a 9 ? 15.已知数列 ?a n ?前 n 项和为 S n , a1 ? 1, a n ?1 ? 3S n ,则 a n ? __________.

16 . 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 恒 不 为 零 的 函 数 , 且 对 任 意 的 实 数 x, y , 都 有

f ( x) ? f ( y ) ? f ( x ? y ) ,若 a1 ?
围为_______.

1 , an ? f (n)(n ? N * ) ,则数列 ?a n ?的前项和 S n 的取值范 2

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 10 分) 甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60? 方向的 B 处,两船相距 a 海里,乙船正向北行 驶,若甲船是乙船速度的 3 倍,问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船?此时 乙船行驶多少海里? 18. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ?的前 n 项和 sn ? 10n ? n 2 , bn ? a n 求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn 。

19.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, cos? A ? C ? ? 2 cos 2

B 5 ? ,三边 a, b, c 成等比数列,求 B 。 2 2

20. (本小题满分 12 分) 设 ?an ? 是公比不为 1 的等比数列,其前项和为 S n ,且 a5 , a3 , a4 成等差数列。 (1)求数列 ?an ? 的公比; (2)证明:对任意 k ? N * , S k ? 2 , S k , S k ?1 成等差数列。

21. (本小题满分 12 分) 已知圆内接四边形 ABCD, AB ? 2, BC ? 6, CD ? DA ? 4, 求四边形 ABCD 的面积。

22.(本小题满分 12 分) 在数列 ?a n ?中, a1 ? 1, a n ?1 ? (1 ? (1)设 bn ?

1 n ?1 )a n ? n n 2

an , 求数列 ?bn ?的通项公式; n

(2)求数列 ?a n ?的前 n 项和 S n 。

数学参考答案
一.DDBA 二.13. ? BABD BBCC 15

33 ; 14 . 24; 65

?1( n ? 1) ; ? n ?2 ?3 ? 4 ( n ? 2)

16

?1 ? , 1? ? ?2 ?

三.17.解:设甲船沿直线与乙船同时到 C 点,设乙船速度为 v ,则甲船速度为 3v ,到达 C 处用时为 t ,由题意得 BC ? vt , AC ? 3vt , ?ABC ? 120? ,在 ? ABC 中,由余弦定 理得, AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos120? ,即 2v t ? avt ? a ? 0, 解得 vt ? a
2 2 2

a ? (舍) ,在 ? ABC 中, AB ? BC ? a,??BAC ? ?ACB ? 30 2 答:甲船应取北偏东 30? 的方向去追乙,此时乙船行驶 a 海里。
或 vt= ? 18.解: n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 10n ? n 2 ? 10( n ? 1) ? ( n ? 1) 2 ? 11 ? 2n ,

?

?

n ? 1 时, a1 ? S1 ? 9 也适合上式

? a n ? 11 ? 2n( n ? N * )
n ? 5 时, a n ? 0, bn ? a n , Tn ? S n ? 10n ? n 2 , n ? 5 时, a n ? 0, bn ? ?a n ,

Tn ? ( a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ) ? ( a6 ? a7 ? ? a n )
= 2 S 5 ? S n ? n 2 ? 10n ? 50

?10n ? n 2 (1 ? n ? 5) ? Tn ? ? 2 ?n ? 10n ? 50( n ? 5)
19.解:由已知得:

cos( A ? C ) ? cos B ? ? sin A sin C ? 3 , 4

3 , 2

cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ?

3 , 2

又? a , b, c 成等比数列, ? b 2 ? ac , 又由正弦定理得 sin 2 B ? sin A ? sin C ,

? sin 2 B ?

3 3 3 , sin B ? , (? 舍去) , 4 2 2

? B ? 60? 或 120? ,
但若 B ? 120? 则 b ? a , b ? c, b ? ac 这与已知 b 2 ? ac 矛盾,
2

? B ? 60?
20.解: (1)设数列 ?an ? 的公比为 q (q ? 0, q ? 1) ,由 a5 , a3 , a4 成等差数列,得 2a3 ? a5 ? a4 , 即 2a1q 2 ? a1q 4 ? a1q 3 ,由 q ? 0, a1 ? 0 得 q +q ? 2 ? 0 ,解得 q1 ? ?2, q2 ? 1 (舍去) ,
2

所以 q ? ?2 ; (2)证明略。 21.解:连接 BD ,则四边形 ABCD 的面积

S ? S ?ABD ? S ?CBD =

1 1 AB ? AD sin A ? BC ? CD sin C 2 2

? A ? C ? 180? ,? sin A ? sin C

?S ?

1 ( AB ? AD ? BC ? CD ) sin A ? 16 sin A 2

由余弦定理在 ?ABD 中, BD 2 ? 2 2 ? 4 2 ? 2 ? 2 ? 4 cos A ? 20 ? 16 cos A 在 ?CDB 中, BD ? 52 ? 48 cos C ,
2

? 20 ? 16 cos A ? 52 ? 48 cos C ,

又 cos C ? ? cos A ,

20 ? 16 cos A ? 52 ? 48 cos A ,
S ? 16 sin A ? 8 3

1 ? cos A ? ? , 2

? A ? 120?

a n ?1 a n 1 ? ? n , n ?1 n 2 1 1 1 1 即 bn ?1 ? bn ? n ,? b2 ? b1 ? , b3 ? b2 ? 2 , ? bn ? bn ?1 ? n ?1 ( n ? 2) , 2 2 2 2 1 1 1 1 ? bn ? b1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? 2 ? n ?1 ( n ? 2) , 2 2 2 2 1 又 b1 ? 1 ,? 所求数列 ?bn ?的通项公式为 bn ? 2 ? n ?1 ; 2 1 n (2)由(1)知 a n ? n ( 2 ? n ?1 ) ? 2n ? n ?1 , 2 2 1 1 1 ? S n ? 2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ? (1 ? 2 ? ? 3 ? 2 ? ? ? n ? n ?1 ) 2 2 2 1 1 1 ? n( n ? 1) ? (1 ? 2 ? ? 3 ? 2 ? ? ? n ? n ?1 ) 2 2 2 1 1 1 令 Tn ? 1 ? 2 ? ? 3 ? 2 ? ? ? n ? n ?1 ① 2 2 2 1 1 1 1 1 则 Tn ? 1 ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? n ② 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ①-②得 Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? n , 2 2 2 2 2 2 1 Tn ? 4 ? ( n ? 2) ? n ?1 , 2 n?2 ? S n ? n(n ? 1) ? n ?1 ? 4 2
22.解: (1)由已知得 b1 ? a1 ? 1, 且


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