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选修2-2:1.3.2 函数的极值与导数


第一章 导数及其应用

1.3.2 函数的极值与导数

问题:如图表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t

变化的函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图象
h' ? a ? ? 0

h

h?(t ) ? 0
o

/>
单调递增

单调递减

h?(t ) ? 0

a

t

归纳: 函数 h(t ) 在点a 处h?(a ) ? 0,在t ? a 的附近,

h?(t ) ? 0 ; 当 t ? a时,函数h(t)单调递增,
当t ? a时,函数h(t)单调递减, h?(t ) ? 0 。

y
f ? ( x) ? 0

f ?(b) ? 0

y
f ? ( x) ? 0

f ? ( x) ? 0

y ? f ? x?

a o
f ?( a) ? 0
问题:

b

y ? f ? x?

x

(图一)

cd

e
o f
(图二)

g

h

x

(1)函数 y ? f ? x ?在点 a , b 的函数值与这些点附近的 函数值有什么关系? (2)函数 y ? f ? x ? 在点 a , b 的导数值是多少? (3)在点 a , b 附近,y ? f ? x ? 的导数的符号有什么规律?

y
f ? ( x) ? 0
极小值 f(a)

f ?(b) ? 0
极大值f(b)

y

f ? ( x) ? 0

f ? ( x) ? 0

y ? f ? x?

a o
f ?( a) ? 0

b

y ? f ? x?

x

(图一)

cd

e
o f
(图二)

g

h

x

点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. 点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称极值点,极大值和极小值统称为极值.

极值反映了函数在某一点附近的大小情况, 刻画的是函数的局部性质.

思考:极大值一定大于极小值吗?

例1:求函数
f ? x? ?

' 2 f x ? x ? 4 ? ? x ? 2?? x ? 2? ? ? ∴ 解:∵ 令 f ' ? x ? ? 0, 解得x=2,或x=-2. 下面分两种情况讨论: (1)当 f ' ? x ? ? 0 ,即x>2,或x<-2时;

1 3 x ? 4x ? 4 3

1 3 f ? x ? ? x ? 4 x ? 4 的极值. 3

2
?2

(2)当 f ? x ? ? 0 ,即-2 < x<2时。 f ' ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表: 当x变化时,
'

x
f ' ? x?

? ??, ?2?

f ? x ? 单调递增

?

?2 0
28 3

? ?2, 2?
?
单调递减

2

? 2, ???

0
? 4 3

?
单调递增

28 f ( ? 2) ? ∴当x=-2时, f(x)的极大值为 3 4 当x=2时, f(x)的极小值为 f ? 2 ? ? ? 3

随堂练习1
(1)如图是函数 y ? f ? x ? 的图象,试找出函数 y ? f ? x ? 的 极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点?
' (2)如果把函数图象改为导函数 y ? f ? x ? 的图象?

y
x3

' y y? ? ff ? x x?

a x1 o x2

x4 x5

x6

b

x

答: 1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点,其中x1,x5是函 数y=f(x)的极大值点,x3,x6函数y=f(x)的极小值点。 2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x) 的极大值点,x4是函数y=f(x)的极小值点。

思考:导数值为0 的点一定是函数的 极值点吗??

导数值为0的点不一定是函数的极值点.

归纳:求函数y=f(x)极值的方法是:
解方程 f ' ? x ? ? 0 ,当 f ' ? x0 ? ? 0 时:
' ' x f x ? 0 f (1)如果在 0 附近的左侧 ? ? ,右侧 ? x ? ? 0 ,

那么 f ? x0 ?是极大值;
' ' x f x ? 0 f (2)如果在 0 附近的左侧 ? ? ,右侧 ? x ? ? 0,

那么 f ? x0 ?是极小值

随堂练习2
下列结论中正确的是( B )。 A、导数为零的点一定是极值点。 B、如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么 f(x0)是极大值。 C、如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么 f(x0)是极大值。
f ? x ? ? x3

y

D、极大值一定大于极小值。

x

0

随堂练习3
3 求函数 f ? x ? ? 3x ? x 的极值

解:∵ f ? x ? ? 3x ? x 令 f ' ? x ? ? 3 ? 3x2 ? 0 ,得 x ? 1 ,或 x ? ?1. 下面分两种情况讨论: ' f (1)当 ? x ? ? 0 ,即 ?1 ? x ? 1 时; (2)当 f ' ? x ? ? 0 ,即 x ? 1 ,或 x ? ?1 时。 当 x 变化时,f ' ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表:
3

' 2 f x ? 3 ? 3 x ? ? ∴

? ??, ?1? f ' ? x? ?

1 ?1, ??? ? ?1,1? ? 0 ? f ? x? 单调递减 ?2 单调递增 2 单调递减

x

?1 0

? 2. ∴当 x ? ?1时,f ( x) 有极小值,并且极小值为 当 x ? 1 时, f ( x) 有极大值,并且极大值为 2.

3 2 思考:已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? 2x 在 x ? ?2, x ? 1处取得极值。

(1)求函数 f ? x ? 的解析式 (2)求函数 f ? x ?的单调区间
' 2 f x ? 3 ax ? 2bx ? 2 ? ? 解:(1) ∵ f ? x ?在 x ? ?2, x ? 1 取得极值, ∴ f ?(?2) ? 0, f ?(1) ? 0 即 ?12a ? 4b ? 2 ? 0 解得 a ? 1 , b ? 1 ? 3 2 ? 3a ? 2b ? 2 ? 0

1 3 1 2 ∴ f ? x ? ? x ? x ? 2x 3 2
∴ f ? x? 的单调增区间为

( 2) ∵

f ' ? x ? ? x2 ? x ? 2, 由 f ' ? x ? ? 0得 x ? 1或x ? ?2

? ??, ?2? ? ?1, ???

' f ? x ? ? 0 得 ?2 ? x ? 1 由 f ? x ? 的单调减区间为 (?2,1)

随堂练习4
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (2) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (3) f ( x) ? 3x ? x . 解: (1) 令f ?( x) ? 3x2 ? 27 ? 0, 解得 x1 ? 3, x2 ? ?3.列表:
3

x
f ' ? x?

(–∞, –3)

–3

(–3, 3) –

3 0

( 3 , + ∞)

+

0

+

f (x) 单调递增

54 单调递减

? 54 单调递增

所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .

随堂练习4
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (2) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (3) f ( x) ? 3x ? x . 解: 2 ? (2) 令f ( x) ? 12 ? 3x ? 0,解得 x1 ? 2, x2 ? ?2.
3

所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ; 当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .

(3) 令f ?( x) ? 3 ? 3x 2 ? 0, 解得 x1 ? 1, x2 ? ?1.
所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .

课堂小结:
今天我们学习函数的极值,并利用导数求函数的极值 一、方法: (1)确定函数的定义域 (2)求导数f'(x) (3)求方程f'(x) =0的全部解

(4)检查f'(x)在f'(x) =0的根左.右两边值的符号,如果左正右负
(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值或极小值 二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极 值,并能应用函数的极值解决函数的一些问题


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