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2015-2016学年高中数学 第3章 不等式章末过关检测卷 苏教版必修5


章末过关检测卷(三) 第3章 不 等 式

(测试时间:120 分钟 评价分值:150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求)

1.若 a<b<0,则下列不等式不能成立的是(B) 1 1 a b A. > B.2 >2

a b

>
C.|a|>|b|

a b ?1? ?1? D.? ? >? ? ?2? ?2? ab ab a b

1 1 1 1 解析:∵a<b<0,∴ab>0.∴a× <b× ,即 > .

x ?1? 由 y=|x|(x<0)为减函数和 y=? ? 为减函数知 C、D 成立,因此不能成立的是 B. ?2?
1 4 2.已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= + 的最小值是(C)

a b

A.

7 9 B.4 C. 2 2

D.5

1 4 1 ?1 4? 1? b 4a? 1? 解析: + = (a+b)? + ?= ?5+ + ?≥ ?5+2 a b 2 ?a b? 2? a b ? 2?

b 4a? 9 × ?= . a b? 2

? ? 1? 2 3.二次不等式 ax +bx+1>0 的解集为?x?-1<x< ?,则 ab 的值为(B) 3? ? ?

A.-6 B.6 C.-5 D.5 1 1 b 2 解析:由题意知 a<0,-1 与 是方程 ax +bx+1=0 的两根,所以-1+ =- ,(- 3 3 a 1 1 1)× = .解得 a=-3,b=-2,所以 ab=6. 3 a 4 .(2014·浙江卷 )已知函数 f(x)= x + ax + bx+ c,且 0 <f(- 1) =f(- 2) =f(- 3)≤3,则(C) A.c≤3 B.3<c≤6 C.6<c≤9 D.c>9
3 2

解析: 由 f(-1)=f(-2)=f(-3)可求得 a, b 的值, 代回不等关系得出 c 的取值范围.

1

?-1+a-b+c=-8+4a-2b+c, ? 由题意得? ? ?-1+a-b+c=-27+9a-3b+c, ?3a-b-7=0, ?a=6, ? ? 化简得? 解得? ?4a-b-13=0, ?b=11. ? ?

所以 f(-1)=c-6. 所以 0<c-6≤3.解得 6<c≤9,故选 C. 5.已知向量 a=(x+z,3),b=(2,y-z)且 a⊥b,若 x,y 满足不等式|x|+|y|≤1, 则 z 的取值范围为(D) A.[-2,2] C.[-3,2] B.[-2,3] D.[-3,3]

解析:由 a⊥b? a·b=0 即 2(x+z)+3(y-z)=0 亦即 z=2x+3y,由约束条件|x|+ |y|≤1, 画出平行域. 可知 z 在(0, -1)和(0, 1)时分别的最小值-3 和最大值 3, 故 z∈[- 3,3].

6.小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时速为 v,则(A) A.a<v< ab C. ab<v< B.v= ab D.v=

a+b
2

a+b
2

解析 :设甲、乙两地距离为 s,则小王往返共用时 + ,∴v=

s s a b

2s

s s + a b



2ab .∵0<a<b, a+b

∴ ab<

a+b
2



2ab 2ab 2 1 > =a.∴ < , a+b 2b a+b ab

2ab ab < = ab. a+b ab ∴a<v< ab. 7.对于 0<a<1,给出下列四个不等式:

? 1? ? 1? ? 1? (1+a) 1+a ①loga(1+a)<loga?1+ ?;②loga(1+a)>loga?1+ ?;③a <a?1+ ?;④a >a1 ?
a?

?

a?

?

a?

2

1 + .

a

其中错误的是(A) A.①与③ B.①与④ C.②与③ D.②与④ 1 解析:由 0<a<1,即 1+a<1+ ,

a

1 ? 1? 1+a ∴loga(1+a)>loga?1+ ?,a >a1+ .

?

a?

a

8.已知 x +(m-3)x+m=0 有一根大于 1,而另一根小于 1,那么实数 m 的取值范围为 (C) A.(-∞,1)∪(9,+∞) B.(1,9) C.(-∞,1) D.[1,+∞) 解析:∵函数 y=x +(m-3)x+m 的抛物线开口向上,数形结合知若一根大于 1,另一 根小于 1,只需 f(1)=2(m-1)<0 即 m<1. 9.已知 x>-1,y>-1,且(x+1)(y+1)=4,则 x+y 的最小值为(C) A.4 B.3 C.2 D.1 解析:∵x>-1,y>-1,∴x+1>0,y+1>0.
2

2

?x+1+y+1? ? (x+y+2) ≥4.∴(x+y)2+4(x+y)-12≥0.∴x ∴(x+1)(y+1)≤? ? 2 4 ? ?
+y≥2 或 x+y≤-6(舍去),并且仅当 x+1=y+1,即 x=y 时取“=”.∴(x+y)min=2. 10.某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一 箱原料需要耗费工时 10 小时可加工出 7 千 克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元.乙车间加 工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两 车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工, 每天甲、 乙车间耗费工时总和不得超过 480 小时, 甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为(B) A.甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 B.甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 C.甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 D.甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 解析:设甲车间加工 x 箱原料,乙车间加工 y 箱原料,甲、乙两车间每天总获利为 z 元.

2

2

3

10x+6y≤480, ? ? 依题意得?x+y≤70, ? ?x,y∈N*,

z=7×40x+4×50y=280x+200y,画出可行域(如 图的阴影部分),

? ?10x+6y=480, ? ?x=15, 联立? ?? ?x+y=70 ?y=55. ? ?

知 z 在 A 点取得最大值.故选 B. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上)

x+2y≤4, ? ? 11.设 x,y 满足约束条件?x-y≤1, 则目标函数 z=3x-y 的最大值为________. ? ?x+2≥0,
解析:由约束条件画出可行域(如图).

当直线为 3 x-y=0 移至直线 x+2y=4 与直线 x-y=1 的交点为(2,1)时 ,目标函数

z=3x-y 取得最大值等于 3×2-1=5.
4

答案:5 12.设 x,y∈R,若 4x +y +xy=1,则 2x+y 的最大值是________. 3 3?2x+y?2 2 2 2 解析:由 4x +y +xy=1 得(2x+y) =1+3xy=1+ (2x)y≤1+ ? ? ? (2x+y)2 2 2? 2 ? 8 ≤ , 5 2 10 2 10 2 10 ∴- ≤2x+y≤ ,故 2x+y 的最大值为 . 5 5 5 2 10 答案: 5 13.(2014·广东卷)不等式|x-1|+|x+2|≥5 的解集为________. 答案:{x|x≤-3 或 x≥2} 14.某市某种类型的出租车,规定 3 千米内起步价为 8 元(即行程不超过 3 千米,一律 收费 8 元),若超过 3 千米,除起步价外,超过部分再按 1.5 元/千米收费计价,若乘客与司 机约定按四舍五入以元计费不找零, 下车后乘客付了 16 元, 则乘车里程的范围是________. 17 解析:由 15.5≤8+1.5x<16.5 得 5≤x< , 3 26 ? 26? ∴8≤x+3< .∴乘车里程为?8, ?. 3? 3 ?
2 2

? 26? 答案:?8, ? 3? ?
三、解 答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答题应写出文字说明 、证明过程或推演步 骤) 15.(本小题满分 12 分) 解下列不等式: (1)3x +5x-2>0; (2)
2

x+1 <3. x
2

解析:(1)3x +5x-2=(3x-1)(x+2)>0, 1 ∴x> 或 x<-2. 3

?1 ? 即不等式的解集为(-∞,-2)∪? ,+∞?. 3 ? ?
? ? 1? 2x-1 ( 2)原不等可变形为 >0,∴原不等式的解集为?x?x<0或x> ?. 2? x ? ?

16.(本小题满分 12 分)不等式(m -2m-3)x -(m-3)x-1<0 对一切 x∈R 恒成立,求 实数 m 的取值范围.

2

2

5

解析:设 f(x)=(m -2m-3)x -(m-3)x-1, 若 m -2m-3=0,则 m=-1,或 m=3. 当 m=-1 时,不合题意;当 m=3 时,符合题意.
2

2

2

m2-2m-3≠0 时,有
? ?m -2m-3<0, ? 2 2 ?Δ =[-(m-3)] +4(m -2m-3)<0, ?
2

1 解得:- <m<3. 5

? 1 ? 综上可得,实数 m 的取值范 围是?- ,3?. ? 5 ?
17.(本小题满分 14 分)解关于 x 的不等式

x-a >0. x -x-2
2

解析:原不等式等 价于(x-a)(x+1)(x-2) >0, 当 a<-1 时,解集为(a,-1)∪(2,+∞), 当 a=-1 时,解集为(2,+∞), 当-1<a<2 时,解集为(-1,a)∪(2,+∞), 当 a=2 时,解集为(-1,2)∪(2,+∞), 当 a>2 时,解集为(-1,2)∪(a,+∞). 2 18.(本小题满分 14 分)设 f(x)= x . 4 +8 (1)求 f(x)的最大值; 21 2 (2)证明:对任意实数 a、b 恒有 f(a)<b -3b+ . 4 16·2 16 解析:(1)f(x)= 2x = ≤ 2 +8 8 x 2+ x 2 2 3 即 x= 时,等号成立. 2 ∴f(x)的最大值为 2 2. 21 ? 3? 2 2 (2)证明:∵b -3b+ =?b- ? +3, 2? 4 ? 3 21 2 ∴当 b= 时,b -3b+ 有最小值 3.由(1)知 f(a)有最大值 2 2,且 2 2<3, 2 4 21 2 ∴对任意实数 a,b 都有 f(a)<b -3b+ . 4 19.(本小题满分 14 分)制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可
6
x x+4

16

16 8 x = =2 2,当且仅当 2 = x时, 2 8 4 2 x 2· x 2

能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利 率分别为 100%和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%.投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万 元,才能使可能的盈利最大? 解析:设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目.由题意知

x+y≤10, ? ?0.3x+0.1y≤1.8, ?x≥0, ? ?y≥0,
目标函数 z=x+0.5y. 上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域.

作直线 l:x+0.5y=z,并作平行移动.当直线与可行域相交,且经过可行域上的 M 点, 此时与直线 x+0.5y=0 的距离最大, 这里 M 点是直线 x+y=10 和 0.3x+0.1y=1.8 的交点.
? ?x+y=10, 解方程组? ?0.3x+0.1y=1.8, ? ?x=4, ? ?y=6. ?

得?

此时 z=1×4+0.5×6=7(万元). ∴当 x=4,y=6 时,z 取得最大值. 故投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过 1.8 万元的 前提下,使可能的盈利最大. 1 1 1 20.(本小题满分 14 分)(1)设 x≥1,y≥1,证明:x+y+ ≤ + +xy;

xy x y

(2)设 1<a≤b≤c,证明:logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac.
7

证明:(1)由于 x≥1,y≥1, 1 1 1 2 ∴x+y+ ≤ + +xy?xy(x+y)+1≤y+x(+xy) ,此式的右边减去左边得

xy x y

y+x+(xy)2-[xy(x+y)+1]
=[(xy) -1]-[xy(x+y)-(x+y)] =(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1) =(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)·(y-1). ∵x≥1,y≥1,∴(xy-1)(x- 1)(y-1)≥0. 故所证不等式成立. 1 1 1 (2)令 logab=x,logbc=y,则 logca= ,logba= ,logcb= ,logac=xy.
2

xy

x

y

由 1<a≤b≤c 得 x=logab≥1,y=logbc≥1. 由(1)亦即得到所证的不等式成立.

8


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