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用Schur分拆方法证明不等式竞赛题


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6  

中 等 数 学 

用 S h r分 拆 方 法 证 明 不 等 式 竞 赛 题   cu
姚 勇   陈 胜 利 

( 中国科学 院成都计算机应用研究所 ,1 4 ) ( 60 1 0   福建省南安市五星 中学 , 24

) 3 31 6  

( 本讲 适合 高 中)  

(l 2 3。 +[t+t+t) 一 t+t+t)t (1 2 3。    

齐次对 称不等 式一直 是数学 竞赛 的一个 

( +t 。 ;tt+t ; t 3 +t 2l ; . 2 ) ] t 
注意到 (1 2 3。 t+t) +tt0 t+t+t) 一(2 3。 ;   >

热点 . 这类题的难度都很大, 证明的方法也是 
多种 多样 , 不好把 握 . 文 向大 家介绍 一种  很 本 方法— — shr cu 分拆 方法 .  

显然成立 , 故不等式①成立 .  
等号 成立条 件易得 ( ) 略 .  

这种方法是最近在对称不等式研究方面  取得 的新进 展 l ,   由本 文第 二 作 者 提 出 和发 
展 的 . 为 该方 法 受 到 著 名 的 Shr 等 式  因 cu 不 的启 发 , 故称 为 Shr 拆 方法 . cu 分 由于这种 方 

下面是 Shr cu 不等式的类似推广 , 它们  是 Shr cu 分拆方法的基础 , 自文[] 选 1.   定理 2 若  t0 Y , ≥0 k为非负  > , ≥0 z ,
实数 , 则 

法原本是以计算机作为基本运算手段 的, 运  算量颇大 , 是属于定理机器可读证 明研究 范  围, 因此 , 它并不适合介绍给竞赛选手在赛场  上使用 . 然而 , 这一方法的优美和初等, 使我 
们 想要去 改造 它 , 就形 成 了本 文 的原 始 写  这

( ∑ (   — ) z≥ ; 1  )  y( ) o ) (  —   ( ∑ (+ ) — ) — ) o 2 ) y z( y( z≥ ;       ( ∑ (  y z( y(— ) 0 3  ) + ) ) (  — ) z> .   t 
证 明 :1将欲证 不等式 变形 为  ()

作动机 . 通过改造, 这一方法将使竞赛选手甚  至普通学生也可以轻易地掌握和运用 .  
1 基本 理论 

(z ∑    y(— ) 0 x ) “(— ) z> . y    t 
由定理 1 可知 上式成立 .   ()() 上可证 . 2 、3仿  
2 三元 齐三次对 称不等 式  定 理 3 三 元 齐 三 次 对 称 多 项 式   

定 理 1 S lr  若 x≥0 Y≥0 z , (du ) , , ≥0 


为实 数 , 则 
L  ( —y ( .   a   ) —z ≥O  ) , ① 

当且 仅 当  =Y=z 或 =0 Y , =z的置换 时 ,  
式① 等号成 立 .  

_ Y z可以唯一的表示为  厂 ( ,)  , / , z =a 3 +培3 +c3 , ( Y,) g, 1 . g.  2 3

② 

式①称为 Shr cu 不等式 .  

其中吼 = ( y(— ) g。 ∑  — ) z,    
g ∑ (+ ) y(— )  = y z( ) z,  —    
g33 x z’ .   3  

符 号∑ 厂  Yz表示轮换求和(   (,,) 下
同) .  

证明: 由对称 性可假 定  ≥y , ≥z令 
=t  + t 2+ t , 3 Y= t 2+ t   = t   3, 3,

并且当 扎 Y z 0   、> 时, t
0 b C   ’ Y, ) 0  、 、 ≥( (  , z > . t

其 中 ,  t、3 t、:t 是非负 实数 .   将 其代 入式① 左端 并整理 得 

证明此定理并不难 , 留给有兴趣 的读者 
思考 .  

例 1 已知  、 、 是非负实数 , Yz 且满足 
收稿 日期 :06 1 7 修 回 日期 :O 7 9—2  2o —1 —1 20 —0 4

+Y+z . 明 : =1证  

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2O 07年第 1 期  2
O< x  ̄ y+ y z+  一 2   ≤  ?  

7  

因此, 原不等式得证 .   3 三元齐四次对称不等式 
定 理 4 三 元 齐 四 次 对 称 多 项 式    , , 可 以唯一 的表 示为  Y ) , ,) g。+64 + 4 +喀 4 , Y Z =a4 - l g。   。 2 3 .  4

( 2 届 I O  第 5 M ) 分析 : 由于原不等式并非齐次, 故先齐次  化, 即变形 为 
0   + + ) +Y+ 一2 y  ≤(     (  ) xz
~  

I   +Y+z  ( )

.  

其中,4= g。 5 ∑ ( — ) — ) '   y( z,     g2 ∑ xy  ( ,(一 ) 4= (+ ) ,    , ,  一 )   g  ∑ (一, 一 ) 4= ,   ,(   , )  
g .=xz +Y+ , 4 4 y(  )  

令 


,,   Y )

(y+ + ) +Y+ 一2 y  x     (  ) xz

=a3 +63 +q3 . g, g, g。  l 2 3

为了快速计算出待定系数 , 只需注意 
口: ( ,,)b: f 100 ,   C 厂( ,,) = 111 .  
于是 , 口= , 有 0 b=1 C . , =7 

并且当 、 ≥0 ,   时 

,  

口 b Cd 、 、、 ≥0=厂 Y  >0  ( ,) .  , 1  
先给出系数 口 b C d的简单确定方法 : 、 、、   口= 10 0 ,   1 1 0 ,   , , ) C= , , )  
d=   , 6= 口+! =   - 一 -
. 

证 明 : 意到  注
( + + ) xz       一2 y 


(y+ + )  +Y+ 一2 y  x     (  ) xz


:1证 明 : .  

例 3 设 口 b C是正实数 , 、、 且满足 ac b   ‘  

= g3 。 7 3 0. 2+ g3 >   1

则  一( +y + ) xz   z   +2y 
=  

丽 + _ +丽   . 一  l  【 导 【 十 十 _ ≥‘      
分析 : 直接去分母化为整式型不等式 , 将  会遇到高次多项式而面临更大 的困难 . 已 从   知 ac 1 b = 人手 , 看能不能先降低次数 .  

(  +Y+  一( +y + )   )   z  。

(  +Y+Z +2 y  - ) xz
7   1  

作代换 口: 1
. .

b:1





g3l+  g3 > 0. , 。 2I  

,。 : V 

z -  

原不等式 

例 2 设 口 bC 、 、 是正实 数, 且满足 ac b  
=1证 明 : .  

转化为 

y  南    y . +++ + + 2 z - ≥   
z -

( l )一 ÷( l ). a + ( l )—  ≤  -丢6 + c + 1
( 4 届 I O  第 l M )
证 明 : 口: , 令   b:上 , :三 . c  
y  Z -  

注意到  +Y  ≥3 +  

=, 3故只要证 

熹 + 未v2++. v   ++  xyz + +  c     ≥、    
这等价于证明 

于是 , 原不等式等价于 
xz  +Z )  +Y—Z ( y 一( - 一Y ( - Y+Z   ) ) - 一   1 . >0 0 

g 2   ( + ) ,(+ ) + )  = ( ) Y +,,   (   +  +   2, y
Z ,

2  )z Y 一 ( Y ) ) ? (  + ( + )    + +z( ,    + )

(  ) +   Y+ (  )
1   > 0.

计算出  
l ,) , ll ) 0 ll1 = . , 0 =l ,, = , ,,) 0 0   0    
式① 即 g. 0  3I . 1 >

简单计算得 
g( , ,) , ( , , ) , 10 0 =1 g 1 10 =2 

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中 等 数 学 

g 1 1 1 =0 g 一10 1 =0  ( , ,) , ( , ,) .

f 一1i1 =0  ( ,, ) . 从而 , 0 C 5 e= , =1 , 口= , =1 , 0 b 5 d=6 . 0 

由此将 g分拆 为 
3 g g4l+  g42+2  1 0?     百 , l+     943 0. , 2+ g4   > 1  

, , ,

故 f x y ) 5 5 +19.+6g, 0  ( , , =1g. 5 5 05I . 2 3 4 > 5 三元齐 六次对 称不等式 

证明 : . 略 
4 三 元齐五次 对称 不等式 

定 理 6 三 元 齐 六 次 对 称 多 项 式   


定 理 5 三 元 齐 五 次 对 称 多 项 式    ,  ) 以唯 一 的表 示为  y, 可 fx,  =q5 + 5 +g.  ,  . , (,,) g,  _ c5+d 4 5   , l , 2 3 + , 5

Y z可 以唯一 的表示 为  ,) =a6 +66 +c6 +喀6 +e6 + g. g. g. 1 2 3 , g.   4 5
mg66+ r .   , i 7, g6

f  ,  ) ( y,  

其中 g。 ∑ 3 — )   ,   : ( y( )    —   g =_ 2 + ) — )   ,   Y (   ( y( ) . 2 y      —   g, Y ( + ) — ) — )  =_ y  ( y(   , . 2       g x ∑ (— )   ,   y   y( ) z  —  
g .=xz x 5 5 y (y+y + )  z  ,

其中 g ∑ ( y(— )   =  — )   ,     g  ∑ (+ ) — ) — ) 。= . y   ( y(   ,      
g .=( 6  —y  y—   —    3 )(  )(  ) ,

g = (   y(— )   ∑  ) — )   , .   (     g  x ∑ xx y(   ,  =y (— ) . z  — )  
g =xz  (  ) —y ( 一 , 6 = y  (  八 —y    ) , 6 三 y+ ( 八  )  ,  
g .=( ), 6      7

并且当 、 、I0 ,   y > 时   
Ⅱ、 、 、 e 0 b C d、 I   ’ Y, I0  > (  ,  ) . >

下面是系数 口 b C d 的简单确定方  、、 、 、
法:  

并且 当  、 、10时 , Y >  
口 b C d、 、 r 0= ( y, I0  、 、 、 e m、/ , > I  ,  ) . >

口 ( ,,  }   :10c (  ,  ,)=  0 一
e =  
d=  

下面是系数 口 b C d e m、, 、 、 、 、 、 r的简单  /
确定方 法 :   首先 , 计算  1 ,) 110, 111, , 0 , ,,) ,,) 0      
得到 口= 100 ,  ( ,,)r= 111 .  (,,)d= 11 ,,  ,,) 0 /  

+, 号  

例 4 设 正实数 口 b C 足 口+b+C   、、满 =
1证 明 : .  

其次 , 算 f O 一11 ,( ,,), 方  计 ( , ,)f O 1ii得
程组 

l (   。   一 (       ≥1 0 口 +b +C ) 9 口 +b +C) .  

f(, ,) 4 4 + c , 厂0 一11 = a一 6 4 —d 
【 ( ,,)=2 2 f O 1ii a一 b一2 +d  c .

(05 中国西部 数学奥林 匹克 ) 20 ,  

证明: 原不等式等价于( 了区别于系数  为
字母 , 以下 变量用  、 、   y )
,,   y )

将 口、 d代人方 程组解 得 b C  、. 最后 , 计算 f( ,,)f( ,,)得  一1 11 , 一1 1i,
方程组 
f 一1l1 = a一 b 4 如 一 m+r    ,, 4 8 + d+ ) 8 / , ,

=1 ( +y + ) +Y+  一 0     (  )   9  +y + )  +y+   (     一(  )
≥ 0.  

【 ( ,, = a+lc 6 6 + m—r  厂 一11i 2 6 一 d一   8 ) / , .

将 口 b C d r代 人方程 组解得 e m. 、 、 、 、, / 、  

简单计算得 
f 1O 0 =of 1 10 = 0  ( , , ) ,( ,, ) 3 , 1 1 1 =0f 1i0 =1 ( +i, , , ) , ( ,,) 5 1 ) 


上面系数 口 b C d e m、 、 、 、 、 、 n的确定方  法, 只涉及到一些简单 的求值和解两个二元 
次方 程组 , 算量 并不太 大 . 前面次 数小  计 与

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2O O7年第 1 期  2

9  


于6 的不等式相 比, 齐六次对称不等式在数 

学竞赛中出现最多, 难度也最大.   例 5 设  、 、 是 正实数 . 明 : Yz 证  

簪 

,  
①  

故欲证原不等式 , 只须证 

c 【 + +     南 南 南
(96伊朗数学奥林匹克) 19 ,   证明 : 原不等式等价于 
f , ,) ( Y z 


∑  4 ( + 2 V 2 + Y  ) 。 ’     2 , 
作代换 ( ,  Z) ( Y z .   Y ,2一  , ,)  

于, 铮 髦 是式 ∑   ①
( Y, )  , z 


≥ 0  

4 x + z   ) ( +z2  )+ (y y + [y )  + 2   ( ( + 2 ,2 ( ,2,     一    )( , + + , ( + )    + ) ) , ]
9 x+y   y+z  z  ) ( )( )( +  

∑ { 一 ( + )? [ xy z   2 ]
[y +( 2 2  +z2 ? )]   [  +( 2  +y  } )]  

> 0.  


首先, 计算  1 , , ,, , 111, , 0  11 ) ,,   0) 0  )
得 到 a= , 0 d=0 n=0  , .

≥ 0.  

首先 , 计算  1 ,) 11 ) (,, , , 0  ,, , 111   0 0f )
得 到 a=2 d=2 , =0  , 4  .

其次 , 计算  0 一1 1 ,( ,,), , ,)f O 1ii 得方 
程组 
f 一4= 一4 6+4 , c 
L 1 一 4= 一2 b一2 . c 

其次 , 计算  0 一1 1 ,( ,,), , ,)f O 1ii 得方 
程组 
f o=4×2—4 b+4 c一2   4.
t 8:2×2—2 b一2 c+2   4.

解得 b=4 c:3  , .

最后 , 计算 f 一1 1 1 , ( , , , ( , ,)f 一1 1i 得  ) 方程 组 
f 一8×4+4 o= e一8 . m 
L 1 一 6= 1 6×3—6 e+8 . m  

解得 b , =3 c=7  .

最后 , 计算 f 一11 1 , ( , , , ( , ,)f 一11i 得  )
方程 组 
f4 0 e一8   6 =8 +4 m,
L一4 8= 一2 8—6e+8m .  

解得 e 6m= . =1 , 4 

故  , ,) 46 + g, 6 6 + g6 Y z = g, 3 6 +1 , 4 6 2 3 g5 ,  
≥ 0.  

解得 e=1 , 8 m=1 , 1  

故 f xY z ( , ,)  


2 l+3 2+7g63+2 g6 g6 4g6 +  4







因此 , 原不等式得证 .   例 6 设正 实数  、 、 Y z满 足 x ≥1 y ' z .   证明 :  

1 g65+ 1 g6 8 1 6 



≥ 0.  

南+   黼
( 4 届 I O  第 6 M )
证明: 注意到 

+   ≥ 毒南   

因此 , 原不等式得证 .   例 7 设 m 、 6 m 是 A A C对应 边上  。m 、 e B 的中线长 , 、b r 是 AA C对应边上旁切  r r、。 a B 圆的半径 . 明: 证  
L + 
m口 6 m6 m   ,  

者南 ≥  


. 

+  

≥3

. 

" km 口  

 

证 明: 注意到熟知的公式 
2 p  a + b+ C.  

一 一

   

+(      Y +z )

而  雾  =  

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1 0  

中 等 数 学 

式虽也有相应结论 , 但因计算量太大, 不适合 
mo   2  

用本方 法手算 了. 另外 , 当分拆 出现 负系数 
4(一 ) p p 口 

则 
≥ 

- tt  t b- f . . / / t ' "

:  

时, 需要作相应的调整 , 这在竞赛题中是很少 
见的( 习题 5 . )这些都不再一一介绍了 .  

(口 + c一 2(口 + b一   2  2  b)   2  c) 2  

皂 =   !  2

( 口 +2     +( a 2  一C) 2   c 一b ) 2  + b   

练 习 题 
1 t b c S分别 是△ A C的三边长 和面  . / 、和 设 , 、 B
积 . 明 :    2 4 S  证 口 +b +C>   . 1

2 ( +C  。 [ b )一口 ]  
于是 , 只须证 

∑  口+  c t . 4  6+  > ’ 3  
( Y  ∈R .  、 、  ) 于是 ,  

①  

( 提示 : 。= +Y b +: c + , 令   , =Y , :z   转化为  [ +  +( +  +(  )] (  ) Y  )  +   。  
>4 ( +Y )y .  8  +z xz )


作代换 ( , , ) (   , + , +Y  口 b c 一 Y+       )

2 设 、 z m、 . Y、、  是正实数 。 k 且 ≥m. 证明 :  
‘+y + Z  ‘ 8 y  xz

式   辩   ∑
接下来 , 通分去分母依次计算一些特殊  值, 解得系数( 过程略)  
口=5 b=2 0, 0, 8 C=3 5, 9 d=81   0, e= 14 0。n=8 4。/=0.  6 , 6 / ,   0g6 故 5 g ,+20 6 +3 5 6 06 l 8 g , 9 g 3+81 4+  2


≥ 

.  

3设 g,、 是 正实数 . 明: . - z Y 证  
(2   +z)1 + 1 + )   + 2(      



≥+ 3 

±: !   
. 

14 0g 5 8 4 6 t 0.  6 6 + 6 g 6 >  


xz y 



例 8 设 正实数  、 、 满足  Y ,
+Y    + = 1. = + Y + 一 x z. g     y  

4 设 、 、 . Y z是非负实数 . 明 : 证  

盟  
8  

≥   垃
2  7


‘ .  

求证 : g的最小值为 1 .  
证明: 因为  +Y + =1 所 以 ,    。 ,  
g   + Y+ —x z   y 

5设 、 、 是正实数 , . yz 且满足  + +z =1     .  
证明 :  

≥  + Y+ z一3 y   xz t   >3 一3x z> 0. yt  

‘  



+  

+ 

≤.  ’ 导  




( 示 :g1一2 6 + 居,+ g.+9 s —2-   提 3  6 l 9, 7- 4 s 2 6 3 4 g. 兽, 5 6 6
g6】+ 79 3+ 2 4+5 6 +  。 6 96 95


于是 , ≥1 g 等价于( 齐次化)  
G  , ,   ( Y )


2   y (— )   ∑ (— )     。 +

[ (  +Y  ) +     )   ] 一 + ( Y+ 一      
( +, + )   ,  。    

2 (一) —) 0  ∑   ) ( z>. ,    )   1
6 设 、 z .  、 是非负实数 . 证明 :  

≥ 0.  

(± 兰     ± 2 1
6  4

对 G , ,) ( Y  作分拆得到 
G  , ,   ( Y )


≥ ( +x   y+y )  +y + )  +Z + )   2( z   (。 ,   + X
4 9 2 2z=  5xy
— —

2 2+ 2g 3+8 4+8 5 +  g6 6 g6 g6







6  4

‘  

1 g6 2 6+3 g67 7  



参考文献 :  
[] 陈胜利 , 1 黄方剑 . 三元对称形式的 Shr e 分拆与不等式  u 的机器证明[]数学学报 , 0 , () 9 52  J. 2 64 3 : 1 0 . 0 9 4

≥ 0.  

顺便指 出 , 六次 以上 的 齐 次对 称 不 等  对


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