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函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d的性质教学设计


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课题:函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的性质
Ⅰ.教学内容解析
本节课的教学内容是函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 的性质.教学重点是函数

f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 单调性、极值和最值的研究方法及其应用.

>函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.在高中,其研究经历了三个阶 段,一是数学 1 中指数函数、对数函数和幂函数的研究,二是数学 4 中三角函数的 研究,三是选修系列中的导数及其应用.导数是研究函数的单调性、极值和最值等 性质的有力工具,函数及其导数具有丰富的思想内涵和应用价值.在复习了导数的 概念、导数的计算及其简单应用后,以函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 的性质研究为 载体,设计此教学内容,具有承上启下的作用. 通过对函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 性质的探索,一方面可以让学生感受导数 在研究函数性质中的意义和价值, 另一方面可以帮助学生建立并完善讨论函数性质 的基本框架,掌握研究函数性质的过程和方法,知道函数性质的基本内容及其作 用.更为重要的是,在此过程中,可以使学生进一步体会数形结合、分类讨论、转 化与化归等思想方法,为继续学习和研究其他函数问题奠定基础.

Ⅱ.教学目标设置
本节课教学是为了帮助学生系统了解研究函数性质的思维过程, 掌握运用导数 研究函数性质的基本方法,感受导数在研究函数中的作用和价值,体会导数的思想 与丰富内涵,提高学生运用所学知识分析问题解决问题的能力.具体目标是: 1. 从已有的研究函数的经历中建立函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 性质的研究思 路,体会对函数从具体到一般的研究过程和数形结合的研究方法; 2.能用导数研究函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 的单调性、极值、最值、零点个 数等性质,感受导数在研究函数性质中的意义和作用; 3.构建讨论函数性质的基本框架,完善数学认知结构,提高运用等价转化、 分类讨论和数形结合等数学思想方法分析问题、解决问题的能力.
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Ⅲ.学生学情分析
本节课的授课对象为无锡市辅仁高级中学高三(3)班的学生,选修物理和化 学,他们思维活跃,学习数学的积极性较高,数学基础较好. 1、学生已有的认知基础 学生已经有了研究指数函数、对数函数、幂函数和三角函数等函数模型的直接 经验,具备了从图象直观获得结论和从数量关系上进行逻辑推理的能力,掌握了导 数的概念和求法,了解了运用导数研究函数的单调性、极值、最值和零点等性质的 过程和方法. 2、达成教学目标所需具备的认知基础 函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的性质比较复杂,图象也不容易作出,为了实现 本节课的教学目标,对学生运用分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法分 析问题、解决问题的能力有较高的要求. 3、“已有的基础”与“需要的基础”之间的差异 一般情况下,研究函数离不开图象,要作出函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图 象,并利用图象解决问题,学生有一定的困难,需要教师精心设计,帮其化解;学 生有运用分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法分析问题、解决问题的意 识,但面对具体问题,如何正确的运用,需要教师做好示范和引领. 4、教学难点及其突破策略 难点:研究函数的性质,学生习惯于由形到数,由具体到一般,本节课中,需 要通过对函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的性质的研究,得出其图象特征,再运用图 象分析思路、解决问题,这在思维上是一个逆转,成为教学的难点. 突破策略:摆正教师的主导作用和学生的主体地位之间的关系,设计问题串让 学生回顾已有经验,进而从整体上认识研究目标,构建研究思路,发挥信息技术的 辅助功能,引导学生观察发现,归纳总结 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 的图象与系数之 间的关系以及导函数的图象与原来函数之间的关系,实现数和形的灵活转换.

Ⅳ.教学策略设计
本节课是高三复习课, 帮助学生系统地掌握知识和方法, 形成良好的认知结构, 培养学生的思维品质、提高学生的解题能力是主要目标.为了实现这一目标,教学
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中采用了以下策略: 1、站在系统的高度组织复习内容.通过精心设计的“问题串”引导学生回顾 研究函数性质的过程和方法, 在实际问题中构建具体的函数模型, 运用 “数” 和 “形” 结合的手段展开性质探究,从中归纳出以导数为工具研究函数性质的一般方法,帮 助学生形成完整的认知结构,学会学习. 2、站在学生的角度组织教学活动.根据学生的思维特点和认知基础,运用引 导发现和讲练结合的方法,尽可能多地给学生提供课堂参与的机会,提出问题让学 生分析、思考和交流,借助多媒体课件、图形计算器等工具,让学生动手操作,在 尝试和探索中掌握方法,体会思想,形成技能. 3、突出数学思想方法的提炼和渗透.通过典型例题及其变式的教学,由浅入 深,逐层递进,不断地给学生提供比较、分析、归纳、综合的机会,保持积极有效 的思维活动,帮助学生在解题总结和反思中领悟转化与化归、分类讨论、数形结合 等数学思想方法在数学学习中的价值和作用.

Ⅴ.教学过程
1、问题引领 师:同学们,今天我们要来研究函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的性质.老师先与大 家交流几个问题. [问题 1]在高一高二阶段我们主要研究过哪些函数模型? 师:今天我们要研究的函数是一个多项式函数.如果 a ? 0 ,这个函数我们已 经研究过.今天我们着重研究 a ? 0 的情形,不妨称之为三次函数.在研究之前, 我们先回忆一下对已有函数的性质是怎么研究的,研究了哪些问题,以便为我们今 天的研究提供参考.以指数函数为例. [问题 2]你能回忆一下指数函数性质的研究过程和方法吗? [师生活动]引导学生回忆指数函数性质的研究过程和方法,得到:由具体的几 个指数函数的图象概括得到一般的指数函数的性质. 教师总结:具体 数 一般 形(板书)

[设计意图]用问题串启发,引导学生回忆研究函数性质的过程和方法,并展开 积极的思考,给学生营造一个良好的探究学习的氛围.
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2、整体感知 [问题 3]我们常研究函数的哪些性质? 师:我们研究一类函数的性质,实际上就是要探讨这类函数有哪些共同的特 征.那么,我们常研究函数的哪些性质呢? 生:定义域,值域,定点,奇偶性(对称性) ,单调性,极值,最值,零点, 周期性等. 师: (板书学生回答)总结的很好.函数的性质就是函数的运动变化中的规律 性,不变性和特殊性. [问题 4]你能勾画一下函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) 性质的研究过程和 方法吗? [设计意图]从宏观上把握, 让学生整体感知研究函数性质的思路、 过程和方法, 发现问题的本质,抓住要点,为研究函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 性质指明方向. 3、组织探究 问题: 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是 0.8?r 2 分, 其中 r(单位:cm)是瓶子的半径.已知每出售 1mL 的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6 cm.瓶子半径 r 多大时,能使每瓶饮料
4 的利润 y 最大?(球的体积公式为 V球 ? ?r 3 ) 3

[师生活动]教师引导学生首先要建立利润与半径的函数关系式,将实际问题转 化为函数模型,将利润最大问题转化为研究函数的最值问题. 生:由于瓶子的半径为 r,所以每瓶饮料的利润是
4 4 y ? f (r ) ? ?r 3 ? 0.2 ? 0.8?r 2 ? ? (r 3 ? 3r 2 ) , r ? (0,6] . 3 15

师:我们将实际问题的研究转化为研究函数.如果抛开实际背景,我们可以得 到一个函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 .我们就从它先研究起. [问题 5]你准备如何研究函数 f ( x) ? x3 ? 3x 2 的性质?分别从什么角度入手研 究? [设计意图]在实际问题中抽象出一个具体的三次函数模型, 为从具体函数入手 探究函数的性质提供一个载体,让学生构建研究函数性质的思路,展开探究活动.
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[师生活动]学生根据上述性质在预先准备好的方格纸上作出函数的草图. 教师 投影展示学生画出的草图.教师用图形计算器作出函数图象,请学生验证自己的草 图,并交流作图时注意运用函数的变化趋势、极值以及零点等性质. 师: (教师利用图形计算器画出导函数 f ?( x) ? 3x 2 ? 6 x 的图像)你能描述导函 数 f ?( x) 的性态对函数 f ( x) 单调性的影响吗? 生: 在 (??,0) 上, f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 在 (??,0) 上单调递增; 在 (0,2) 上, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 在 (0,2) 上单调递减;在 (2,??) 上, f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 在 (2,??) 上单调递增. 师:一个函数的导函数也是我们研究该函数性质的重要方面.(教师板书:导 函数图像) [即时调查]

f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 的导函数 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c(a ? 0) 的图象如
图所示,则 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 的大致图象可能是(A) (B) (C) (D) 中的哪一个?
y y y

f ?( x)

x1

f ?( x)
o x1 x2 x3 x x

o

x

f ?( x)

o

x1

(1)

(2)

(3)

(A)

(B)

(C)

(D)

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[问题 6]你能借助导数写出(A)(B)(C)(D)不同情形下,各系数应满足 的关系式吗? [设计意图]让学生体会研究函数性质既可以从形的角度进行直观描述, 又可以 从数的角度进行精确刻画,数与形之间可以灵活转换,数与形协同作战威力无限, 从而培养学生运用数形结合的思想方法解决问题的意识和能力. 生:系数应满足的关系式分别为:

f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c , f ?( x) ? 0 的判别式 ? ? 4(b 2 ? 3ac)
(A) a ? 0, ? ? 0 ; (B) a ? 0, ? ? 0 ; (C) a ? 0, ? ? 0 ; (D) a ? 0, ? ? 0 师:这就告诉我们,对一个函数“形”的研究最终回到了对“数”的研究.好, 回到开头提出的实际问题,饮料公司若想利润最大,饮料瓶的半径应为多大? 生: f ( x) ? x 3 ? 3x 2 在 (0,6] 上的最大值在 x ? 6 时取到,所以半径应定为 6cm. 师:那么是不是半径越大利润就越大? 生:不对.在 (0,2] 上半径越大,利润越小(利润为负值,是亏本的) .在 (2,??) 上半径越大利润越大. 4、抽象概括 [问题 7]一般地 ,对函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) , 你能研究它的性质了 吗? 生:定义域、值域都为 R, 当 b ? d ? 0 时 f ( x) ? ax3 ? cx 是奇函数,单调性、 极值、最值都可以通过导数来研究. 师:同学们,对于这样一个函数,我们经历了研究性质的过程,着重从“数” 和“形”两个角度研究其性质,体会了导数在研究函数性质中的巨大作用. [设计意图]在教师的主导下,学生完成抽象概括的过程,让学生进一步体会由 具体到一般的研究过程,培养学生抽象、概括、归纳推理的能力. 5、实践体验 例题 设函数 f ( x) ? ax3 ? 3x ? 1(a ? R),求 f ( x) 的单调区间和极值. 思路 1 函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ? 3ax2 ? 3 .
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(1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 3ax2 ? 3 ? 0 , f ( x) 在 (??,??) 上单调递增, f ( x) 无极值; (2)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 3ax2 ? 3 ? 0 得 x ? ?
1 ) ?a

1 . ?a 1 ?a (??,? 1 ) ?a

x

(??,?

?

1 ?a

(?

1 1 , ) ?a ?a

f ?( x) f ( x)



0 极小值

+

0 极大 值



? f ( x) 的单调减区间是 (??,?

1 1 1 1 , ) 和 (??,? ) ,单调增区间是 (? ). ?a ?a ?a ?a

f ( x) 的极小值为 f (?

1 1 3 1 1 ) ? a (? ) ? 3(? ? 1, ) ? 1= ? 2 ?a ?a ?a ?a 1 1 1 3 1 ) ? a( ) ? 3? ? 1. ? 1= 2 ?a ?a ?a ?a

f ( x) 的极大值为 f (

[ 设计意图 ] 让学生在解决具体问题的过程中巩固运用导数研究函数性质的一 般方法,加深数学理解,学会数学思考,培养良好的解题习惯,提高分析问题、解 决问题的能力. 变式 1:若函数 f ( x) 有三个不同的零点,求实数 a 的取值范围. (1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 3ax2 ? 3 ? 0 , f ( x) 在 (??,??) 上单调递增,故 f ( x) 不 可能有三个零点;

? 1 )?0 ? f (? ?a ? ? ?4 ? a ? 0 ; (2)当 a ? 0 时, ? 1 ?f( )?0 ? ?a ?
综上所述,实数 a 的取值范围 (?4,0) . 师:还有其他解法吗? 生:利用函数与方程的思想,转化为方程问题处理.

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变式 2:若对任意的 x ? [?1,1] ,都有 f ( x) ? 0 成立,求实数 a 的值. 思路 1:分离参数 a ,转化为 a ? g ( x) 或 a ? g ( x) 的形式,进而转化为函数的最 值问题. 将不等式变形为 ax3 ? ?3x ? 1 . (1)当 x ? 0 时, a ? R; (2)当 x ? (0,1] 时, a ? ?
1 3 3 1 1 ? 3 ,令 g ( x) ? ? 2 ? 3 ,设 t ? ? [1,??) ,则 2 x x x x x

g (t ) ? t 3 ? 3t 2 , t ? [1,??) ,易知 g (t ) min ? ?4 ,所以 a ? ?4 ;
(3)当 x ? [?1,0) 时, a ? ?
3 1 3 1 1 ? 3 ,令 g ( x) ? ? 2 ? 3 ,设 t ? ? (??,?1] , 2 x x x x x

则 g (t ) ? t 3 ? 3t 2 , t ? (??,?1] ,易知 g (t )max ? ?4 ,所以 a ? ?4 ; 综上所述, a ? ?4 . 思路 2:求 f ( x) 的最大值,再通过 f ( x) max ? 0 求出 a . 函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ? 3ax2 ? 3 (1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 3ax2 ? 3 ? 0 ,故 f ( x) 在 [?1,1] 上单调递增, 所以 f ( x)max ? f (1) ? a ? 2 ? 0 ,得到 a ? ?2 ,与 a ? 0 矛盾,不符合题意; (2)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 3ax2 ? 3 ? 0 得 x ? ?
1 ?a

若 a ? [?1,0) ,则 f ( x) 在 [?1,1] 上单调递增,所以 a ? [?1,0) 不符合题意; 若 a ? (??,?1) ,列表如下:

x

-1

(?1,?

1 ) ?a

?

1 ?a

(?

1 1 , ) ?a ?a

1 ?a

(

1 ,1) ?a

1

f ?( x) f ( x)



0 极小值

+

0 极大 值



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? f (?1) ? 0 ?a ? ?4 ? 则? ,所以 a ? ?4 . ?? 1 ) ? 0 ?a ? ?4 ?f( ?a ?
综上所述, a ? ?4 . [解题小结]师: 回顾一下这道题目, 不等式恒成立问题和函数的零点个数问题, 我们是如何解决的? 生:转化为函数的单调性、极值和最值问题的研究. 师: 这是数学中的转化的思想. 对含有参数的复杂问题, 我们是怎么处理的? 生:分类讨论. 师:好,我们还借助于函数的图象分析问题,比如零点的个数,很好地运用了 数形结合的思想.从本题我们再次感受到解决函数的单调性、极值和最值,导数是 个有力的工具. [设计意图]让学生体会数学问题之间的内在联系,体会数形结合、等价转化、 分类讨论等数学思想方法在数学解题中的意义和作用,培养学生的运算能力,提升 学生的数学素养. 6、总结提升 师:同学们,今天我们研究了函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 的性质.下面通过 几个问题一起来回顾一下本节课的学习过程和收获. (1)为什么研究? 生:能够解决很多的实际问题.
实际问题(优化问题) 用函数表达的数学问题

实际问题的答案

(导数)解决数学问题

师:函数是描述客观世界变化规律的重要模型,很多实际问题的研究最后都归 结为研究函数.我们研究函数的目的是为了掌握事物的变化规律.研究函数的性质 既是解决实际问题的需要,也是数学本身的自然要求.对函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 性质的研究也不例外. (2)研究什么?

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师:事物的变化趋势、对称特征、用料最省问题、利润最大问题、周而复始现 象等问题,反映到函数上就是要研究函数的基本性质,函数的性质就是函数变化中 的规律性、不变性和特殊性.那么,我们本节课着重研究了函数的哪些性质? 生:单调性、奇偶性、最值、极值、零点等. (3)怎么研究? 师:对一类新函数,我们的研究过程是什么? 生:从几个具体的函数入手,从具体到一般的研究过程. 师:我们研究函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 的性质,方法是什么? 生:数形结合. 师:很好.我们借鉴指数函数性质的从形到数的研究方法,但是我们又有了导 数的工具,所以拓宽了我们的研究的思路,不拘泥于从形到数,我们可以在数和形 之间灵活转换. (4)获得什么? 生:数形结合、转化与化归、分类讨论等数学思想. 师:你能借鉴今天的研究过程和方法去研究其他的函数吗? [设计意图]从问题开始,再到问题结束,回顾复习过程,总结复习内容,建 构知识网络,挖掘、提炼、渗透相应的数学思想并使其逐步显化,使学生对研究函 数性质的过程和方法有一个系统全面的认识,实现知识不断深化,思想、方法不断 升华,把学生的思考和认知引向深入,在完善认知结构的同时,学会学习,实现长 效发展,这是本节课教学的落脚点.

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