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【全程复习方略】2014-2015学年北师大版高中数学必修一课时作业(二十一) 3.4.2]


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课时提升作业(二十一)
换底公式

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.若 a>0,a≠1,则 A.b>0,c>0 C.b>0,c

>0 且 c≠1 =logcb 成立的条件是( B.b>1,c>1 D.b>0,b≠1 且 c>0,c≠1 =logcb 成立的条件是 b>0,c>0 且 c )

【解析】 选 C.由于 c 为底数,b 为真数,故 ≠1. 2.(log29)·(log34)=( A. B. 〃 = ) C.2 =4.

D.4

【解析】选 D.原式=

【一题多解】选 D.原式=2log23〃

=2〓2=4. )

3.(2014·西安高一检测)若 logab·log3a=5,则 b=( A.a3 B.a5 C.35 〃 D.53 =5,化简得

【解析】选 C.利用换底公式,得

=5,即 lgb=5lg3,故 b=35. )

【变式训练】若 a,b>0,且 a≠1,b≠1,logab=logba,则( A.a=b B.a=

C.a=b 或 a=

D.a,b 为一切非 1 的正数

【解析】选 C.因为 logab=logba, 所以 = ,即 lg2a=lg2b,所以 lga=〒lgb,

即 lga=lgb 或 lga=lgb-1,得 a=b 或 a= . 4.(2014·长春高一检测)已知 2x=3y,则 =( A.log23 B.log32 C.lg ) D.lg

【解题指南】先对等式 2x=3y 两边取常用对数,然后借助对数的换底公式求解. 【解析】选 A.对等式 2x=3y 两边取常用对数,得 lg 2x=lg3y,即 xlg2=ylg3,所以 = =log23.

5.(2014 · 黄 冈 高 一 检 测 ) 已 知 函 数 f(n)=log(n+2)(n+3)(n ∈ N*), 使 f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数 k(k∈N*)且满足 k 在区间[1,100]内, 则 k 的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4 , 〃 〃…〃 = =log3(k+3).

【解析】选 C.因为 f(n)=log(n+2)(n+3)= 所以 f(1)〃f(2)〃…〃f(k)= 〃 〃

所以当 k 分别为 6, 24,78 时满足题意. 6.已知 lg2=a,lg3=b,则用 a,b 表示 log125 的值为( A. B. C. D. )

【解题指南】利用换底公式将 log125 表示成含有 lg2 与 lg3 的式子即可解决. 【解析】选 A.因为 lg2=a,lg3=b, 所以 log125= = = = ,故选 A. =

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7. , ,lo ,lo 个. , =logba, an, (a>0,a≠1,b>0,b≠1,ab≠1,n∈N+)中和

logab 相等的有

【解析】结合换底公式可知 logab= lo = 故只有两个. 答案:2 =logba,lo an=logba, = =logab.

8.(2014·宜春高一检测)计算 log225·log3(2 【解析】原式= = 〃 〃 〃 =6. 〃

)·log59 的结果为

.

答案:6 9.(2014 · 齐 齐 哈 尔 高 一 检 测 ) 已 知 logax=1,logbx=2,logcx=3, 则 logabcx= .

【解析】由已知,有 logxa=1,logxb= ,logxc= . 所以 logx(abc)=logxa+logxb+logxc= . 所以 logabcx= . 答案: 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.计算:(log2125+log425+log85)·(log52+log254+log1258). 【解题指南】由于对数的底数不同,先通过对数换底公式统一底数再进行化简求 值.

【解析】原式=

= = =13log25〃 log25〃(3log52) =13.

【一题多解】原式 = = = =13.

【拓展延伸】对数运算的理论依据及应用技巧 1.对数运算的理论依据

2.应用技巧

11.光线每通过一块玻璃板,其强度要减少 10%,至少要把几块这样的玻璃板重叠 起来,才能使通过它们后的光线强度在原强度的 以下?(lg3≈0.4771). 【解析】设光线没有通过任何玻璃板时的强度为 m,通过 x 块玻璃板后其强度为

y. 当 x=1 时,y=0.9m; 当 x=2 时,y=0.92m; 当 x=3 时,y=0.93m; … 则 y=0.9xm. 设 0.9xm= m,所以 0.9x= . 所以 x=log0.9 = = ≈10.4,

即至少要把 11 块这样的玻璃板重叠起来,才能使通过它们后的光线强度在原强 度的 以下.

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.log23·log3m= ,则 m=( A.2 B. ) C.4 D.1

【解题指南】先利用换底公式化简,再借助指数式与对数式的关系求 m 的值. 【解析】选 B.因为 log23〃log3m=log2m= , 所以 m= = ,故选 B. )

2.(2014·商洛高一检测)已知 log23=a,log37=b,则 log27 等于( A.a+b B.a-b C.ab D.

【解析】选 C.因为 log27=log23〃log37=ab,故选 C. 3.若 P=log23·log34,Q=lg2+lg5,M=e0,N=ln1,则正确的是( )

A.P=Q C.Q=M

B.M=N D.N=P 〃 =2;

【解析】选 C.P=log23〃log34=

Q=lg2+lg5=lg10=1;M=e0=1;N=ln1=0.故选 C. 4.(2014·沈阳高一检测)若 2.5x=1000,0.25y=1000,则 - =( A. B.3 C.D.-3 )

【解析】选 A.x=log2.51000,y=log0.251000, 所以 =log10002.5, =log10000.25, 所以 - =log10002.5-log10000.25=log100010= ,故选 A. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2014·南昌高一检测)计算:1+lg2·lg5-lg2·lg 50-log35·log259·lg5 = . 〃 〃lg5=1+lg2〃lg5-lg2-

【解析】原式=1+lg2〃lg5-lg2(1+lg 5)lg2〃lg5-lg5=1-(lg2+lg5)=1-lg10=1-1=0. 答案:0

【变式训练】(2014·菏泽高一检测)不用计算器求: log3 +2log510+log50.25+ .

【解析】原式=log3 +log5(100〓0.25)+7〔 =log3 =- +2+ = . 6.设 log89=a,log35=b,则 lg2= . +log552+

【解析】由 log89=a 得 log23= a,所以 又因为 log35= 所以 所以 〓 =b,

= ,

= ab, = ab, .

所以 lg2= 答案:

三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.(2014·汉中高一检测)已知 log1227=a,求 log616 的值. 【解析】由 log1227=a,得 所以 lg2= 所以 log616= = . lg3. = = =a,

【拓展延伸】不同底数的对数的计算、化简和恒等证明的常用方法 在应用换底公式时 ,(1) 先换底 ,然后再将底统一 .(2) 在解题方向还不清楚的情 况下,一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非 1 的正数为底),然后再 化简. 8.(2014·西安高一检测)分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了 声压级(spl)来描述声音的大小: 把一很小的声压 P0=2×10-5 帕作为参考声压,把 所要测量的声压 P 与参考声压 P0 的比值取常用对数后乘以 20 得到的数值称为声 压级.声压级是听力学中最重要的参数之一,单位是分贝(dB).分贝值在 60 以下 为无害区,60~110 为过渡区,110 以上为有害区. (1)根据上述材料,列出声压级 y 与声压 P 的函数关系式.

(2)某地声压 P=0.002 帕,试问该地为以上所说的什么区,声音环境是否优良? 【解析】(1)由已知得 y=20lg (其中 P0=2〓10-5). (2)当 P=0.002 时, y=20lg =20lg102=40(dB).

由已知条件知 40dB 小于 60dB,所以此地为噪音无害区,声音环境优良.

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