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重庆一中2012-2013学年高一上学期期中考试


2013 重庆巴县高 2016 级高一上期半期考试

数 学 试 题 卷 2013.11
数学试题共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 一:选择题(每题 5 分,共 50 分,每题只有一个正确选项) 1.若全集 U ? ?0,1, 2,3? ,B ? ?0,1, 2? ,A ? ?0,1,3? ,且CU ? A ? B ? ? ( ) A. ? 2? B. ?2,3? C. ?1, 2? D. ?1, 3?

2.若角 ? 的终边上有一点 P?m,2m?, (m ? 0) ,则 sin a 的值是( )

A.

2 5 5

B. ?

2 5 5

C. ?

2 5 5


D. 2

3.函数 f ( x), g ( x) 由下列表格给出,则 f ? g (3) ? ? (

x
f ( x)
g ( x)
A.4
6 0.7

1 2 3

2 4 1

3 3 2

4 1 4

B.3 )

C.2

D.1

6 log 4.三个数 0.7 , , 0.7 6 的大小关系为(
A. 0.7 ? log 0.7 6 ? 6
6 0.7

B. 0.7 ? 6
6

0.7

? log 0.7 6
6 0.7

C. log 0.7 6 ? 6 5. 函数 y ?
2

0.7

? 0.76


D. log 0.7 6 ? 0.7 ? 6

x ? 1( x ? 0) 的反函数为(

A. y ? x ? 1( x ? 0) C. y ? x ? 1( x ? 0)
2

B. y ? x ? 1( x ? 1)
2

D. y ? x ? 1( x ? 1)
2

6.已知 A, B 分别是函数 f ( x) ? ln x 的定义域和值域,则元素 b ? A 是元素 b ? B 的( ) A.充分非必要条件 C.充要条件 函数,则下列关系一定正确的是( ) A. f (7) ? f (?2) B. f (7) ? f (?2) C. f (6) ? f (?2) D. f (6) ? f (?2) 8.当 x ? ? a, b ? 时,函数 f ( x) ? x ? 1 ? 3 ? x 的值域为 ? 4,10? , 则 b ? a 的范围是( ) A. ?2,8? B. ? 3, 7 ? C. ?3,10? D. B.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

7.已知定义域为 R 函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) 对任意 x 恒成立,当 x ? 2 时, f ( x) 为增

? 2,10?

9.如图所示,一质点 P( x, y ) 在 xOy 平面上沿曲线运动,速度大小不变,其在 x 轴上的投影 点 Q( x, 0) 的运动速度 V ? V (t ) 的图像大致为 ( )

??2 x 2 ? ax ? x ? 0 ? ? 10(原创). f ? x ? ? ? (a ? 0) ,对任意的 x1 , x2 ? R ? x1 ? x2 ? 0 ? ,满足 2 x 2 ? ax ? x ? 0 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,则正确的是( ) x1 ? x2
A. f ? a ? ? 0 B. f ? a ? ? 0 C. f ? a ? ? 0 D. f ? a ? 可能为正,也可能为负

二:填空题(每题 5 分,共 25 分)

1 4 12.设集合 A ? ??1, 0,3? , B ? ?a ? 3, 2a ? 1? A ? B ? ?3? ,则实数 a 的值为________。
11.幂函数 f (x) 的图象经过点 (2, ) ,则 f ( x) ? _________________ 。 13.设函数 f (x) 满足对定义域内的任意 x ,都有 f ( x) ? 2 f ( ) ? x ,则 f (2) =________。 14.若方程 x ? x ? a ? 0 的解在区间 (1, 2) 内,则 a 的范围是________。
3

1 x

15.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ( y ) ? 2 xyf ( xy) ? 成立,则 f (2) ? __________ 。

?

f ( xy ) ? 对任意 x, y ? R ,恒 f ( x ? y)

三:解答题(共 75 分) 16. (13 分) (1)计算 27 3 ? 2log2 3 ? log 2 8 ? log23 ? log34 ; (2)已知 0 ? x ? 1 ,且 x ? x ?1 ? 3, ,求 x 2 ? x
1 ? 1 2

2

1



17. (13 分)已知 A ? ? x 2 x ?

? ?

3 1? ? ? ; B ? x ( x ? 2) ? x ? (3a ? 1) ? ? 0 , 2 2?

?

?

(1)求集合 A ; (2)若 ? CR A ? ? B ? R ,求 a 的范围。

18.(13 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求 a, b 的值;

b ? 2x 是奇函数. 2x ? a

(2)判断 f (x) 在 ?? ?,?? ? 上的单调性并证明。

19.(12 分)定义在 R 上的增函数 y ? f ( x) 满足对任意的 a, b ,有 f ( a ? b) ? f ( a) f ( b) 且

f (1) ? 3
(1)求 f (3) ; (2)解不等式 f ( x) ? f (

? x2 ? x ? 3 ) ?1。 x ?1

20.(12 分)已知函数 f ( x) ? log 2 (1)若 f (1) ? 2 ,求 f (4a) ;

( x 2 ? ax ? 4)

(2)若 x ? ? 0, 2 ? 时,函数 f ( x) 恒有意义,求实数 a 的取值范围; (3)函数 f ( x) 在区间 ? 0, 2 ? 上的最大值与最小值之差为 1,求实数 a 的值。

21.(12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? ? 2a ? 1? x ? 1 ? 3a, 其中(a ? 0)
2

(1)若函数在 ? ??, 2 ? 上单调递增,求 a 的范围; (2)若 f (lg x) ? 0 的两根之积为 10,求 a 的值; (3)(原创)若 g ( x) ?

f ( x) ,是否存在实数 a ,使得 g ( g ( x)) ? 0 只有一个实数根?若存在, a

求出 a 的值或者范围,若不存在,说明理由。

命题人:梁 波 审题人:李 华

数学答案
1-10,BAADB,ABCBC 11: x ;
?2

12:1 或 0; 13:-1;
2 3 log2 3

14: (2,10) ;
1 8

15:

1 4

16. (13 分)解答:(1) 27 ? 2
2

? log2 ? log23 ? log34 ? 9 ? 3 ? (?3) ? 2 ? 20 ……7 分

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 1 (2) ? x 2 ? x 2 ? ? x1 ? x ?1 ? 2 =1 ? 0 ? x ? 1 ? x 2 ? x 2 ? 0 ? x 2 ? x 2 ? ?1 ……6 分 ? ?

17. (13 分)解答: (1) A : 2 x ?

3 1 1 ? ? ? x ?1 2 2 2

? 1 ? ? A ? ? x ? x ? 1? …………………………6 分 ? 2 ?
(2) CR A ? ? x x ?

? ?

1 ? 或x ? 1? ………………………………8分 2 ?

? ? CR A ? ? B ? R
必然是 B ? x 3a ? 1 ? x ? 2 ………………………………10分 则 3a ? 1 ?

?

?

1 1 ? a ? ? ……………………………………13分 2 6

18. (13 分)解: (1)? f ( x)为R上的奇函数,? f (0) ? 0, b ? 1.

又f (?1) ? ? f (1), 得a ? 1.

经检验 a ? 1, b ? 1 符合题意.………………6 分

(2) f ( x) 为 R 上的减函数…………………………8 分 证明:任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2

1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 (1 ? 2 x1 )( 2 x2 ? 1) ? (1 ? 2 x2 )( 2 x1 ? 1) ? ? 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x 2 1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)( 2 x2 ? 1)
=

2(2 x2 ? 2 x1 ) ( 2 x1 ? 1)( 2 x2 ? 1)

? x1 ? x 2 ,? 2 x1 ? 2 x2 ? 0, 又 ? (2 x1 ? 1)( 2 x2 ? 1) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0,? f ( x)为R上的减函数.
……………………13 分

19. (12 分)解答: (1) f (a ? b) ? f (a) f (b) ,令 a ? b ? 1 ? f (2) ? f (1) ? 9
2

令 a ? 2, b ? 1 ? f (3) ? f (1) f (2) ? 27 ………………4 分 (1) 令 a ? 1, b ? 0 ? f (1) ? f (1) f (0) ? f (0) ? 1………………6 分

f ( x) ? f (

? x2 ? x ? 3 ? x2 ? x ? 3 ? x2 ? x ? 3 ) ? 1 ? f (x ? ) ? f (0) ? x ? ? 0 …9 分 x ?1 x ?1 x ?1

即:

? 2x ? 3 ?? 2 x ? 3?? x ? 1? ? 0 ?3 ? ?0?? ? x ? ? ??, ?1? ? ? , ?? ? …………12 分 x ?1 ?2 ? ?x ?1 ? 0 ?
? 5? a ?

20(12 分)解答 (1) f (1) ? 2 ? log 2 所以 f (4a) ? f (4) ? log 2
16

? 2 ? a ?1

? 4 ……………………3 分

(2) 即:当 x ? ? 0, 2? 时 x ? ax ? 4 ? 0 恒成立,
2

当 x ? 0 时, a ? R 当 x ? ? 0, 2? 时, x ? ax ? 4 ? 0 恒成立,
2

? ax ? x 2 ? 4 ? a ?
即: a ? ? x ?

x2 ? 4 4 ? x ? ,当 x ? ? 0, 2? 时恒成立 x x

? ?

4? ? 4 ,所以 a ? ? ??, 4 ? ………………7 分 x ? min ?
2

(3) 令 h( x) ? x ? ax ? 4 由(2)知, a ? ? ??, 4 ? (i)若 a ? ? ??, 0? ,则 h( x ) 的对称轴 x ?

a ? 0 ,则 2

? f ( x)max ? log 2?8?2 a ? ?h( x) min ? h(0) ? 4 8 ? 2a ? ,所以 ? ? ?2 ? 4 f ( x)min ? log 2 4 ?h( x) max ? h(2) ? 8 ? 2a ? ?
? a ? 0,
(ii)若 a ? ? 0, 2 ? ,则 h( x ) 的对称轴 x ?

a ? ? 0,1? ,则 2

? f ( x) max ? log 2?8? 2 a ? ? a a2 8 ? 2a ? ?h( x) min ? h( ) ? 4 ? ?2 ? a2 ? ? 2 4 ,所以 ? ? ? 4? ? ? a2 4 ? ? f ( x) ? log ? ? ?h( x) ? h(2) ? 8 ? 2a 4? max ? ? min 2 4

? a 2 ? 4a ? 0 ? a ? 0或4 ,与 a ? ? 0, 2 ? 矛盾

? a a2 a ?h( x) min ? h( ) ? 4 ? (iii)若 a ? ? 2, 4 ? ,则 h( x ) 的对称轴 x ? ? ?1, 2 ? ,则 ? 2 4 2 ?h( x) ? h(0) ? 4 max ?
? a2 ? ? a2 ? ? a2 ? ? ? 4? ? ? 4? ? ? 4? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? ? 4 ? 4 ? 所以 ? f ( x)min ? log a ,根据题意,有 log 2 4 ? log 2? ? 1 ? log 2 ? ? ? 1 ? f ( x) ? log 4 max a ?

4

?

4 ? 2 ? a 2 ? 8 ? a ? ?2 2 ,其中 a ? 2 2 满足条件, 2 a 4? 4

综上: a ? 2 2 或 a ? 0 …………………………12 分

?a ? 0 1 ? ? ? ? a ? 0 ………………3 分 21.(12 分)解答(1)易知 ? 2a ? 1 6 ? ? 2a ? 2 ?
(2)设 f (lg x) ? 0 的两根为 x1 , x2 ,令 t ? lg x ,则 t1 ? lg x1 , t2 ? lg x2 为方程

at 2 ? ? 2a ? 1? t ? 1 ? 3a ? 0 的两根,

x1 x2 ? 10 ? t1 ? t2 ? lg x1 ? lg x2 ? lg x1 x2 ? 1
即: t1 ? t2 ? ?

2a ? 1 1 ?1? a ? ? , a 3
1 3

经检验 a ? ? ,原方程有两个根,所以 a ? ? ……………………7 分

1 3

f ( x) 2a ? 1 1 ? 3a ? x2 ? x? , a a a 2a ? 1 1 ? 3a ? p, ?q 令 a a 1 2 2 因为 ? ? p ? 4q ? 2 ? 16 ? 0 恒成立,则方程 t ? pt ? q ? 0 有两根。 a
(3) g ( x) ?

g ( g ( x)) ? 0 ? g 2 ( x) ? pg ( x) ? q ? 0
令 t ? g ( x) ,方程 t ? pt ? q ? 0 有两根。设为 x1 , x2
2

则 g ( x) ? x1或g ( x) ? x2 ? x1 ? x2 ? 即 x ? px ? q ? x1或x ? px ? q ? x2 ,根据题意,这两个方程只有一个解
2 2

不妨设 x ? px ? q ? x1无解,而x ? px ? q ? x2有一解
2 2

2 ? p 2 1 ? 3a ? 2a ? 1? ? ? ? x1 ? q ? ??1 ? p 2 ? 4 ? q-x1 ? ? 0 ? ? 4 a 4a 2 所以 ? ?? 2 2 ?? 2 ? p ? 4 ? q-x2 ? ? 0 ? p 2 1 ? 3a ? 2a ? 1? ? ? x2 ? q ? 4 ? a ? 4a 2 ?

1 ? 3a ? 2a ? 1? 1 1 1 1 ? ? ? 3 ? 1 ? ? 2 ? ? 2 ? 4 ? ?4 而 2 a 4a a a 4a 4a
2

则方程 t ? pt ? q ? 0 的两个根均要至少小于-4,
2

? 2a ? 1 ? ?4 ?? ? 要满足此条件,必需 ? 2a ? f (?4) ? 0 ?

1 ? 6a ? 1 ? ? 2a ? 0 ?0 ? a ? 6 ? ? ?? ? a ?? ? ? 5a ? 3 ? 0 ?a ? 3 或a ? 0 ? a ? 5 ? ?

所以:不存在这样的 a …………………………12 分

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