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2013届高三北师大版文科数学一轮复习课时作业(15)导数与函数的极值、最值A


课时作业(十五)A [第 15 讲 [时间:45 分钟

导数与函数的极值、最值] 分值:100 分]

基础热身 1.下列命题中正确的是( ) A.导数为 0 的点一定是极值点 B.如果在点 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0 且 f′(x0)=0,那么 f(x0)是极大值 C.如果在点 x0 附近的左侧

f′(x)>0,右侧 f′(x)<0 且 f′(x0)=0,那么 f(x0)是极小值 D.如果在点 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0 且 f′(x0)=0,那么 f(x0)是最小值 1 2.函数 y=x+ 的极值情况是( ) x A.既无极小值,也无极大值 B.当 x=1 时,极小值为 2,但无极大值 C.当 x=-1 时,极大值为-2,但无极小值 D.当 x=1 时,极小值为 2,当 x=-1 时,极大值为-2 3.函数 f(x)=x3+ax2+3x-9,已知 f(x)在 x=-3 处取得极值,则 a=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4.已知函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图像如图 K15-1,则( )

图 K15-1 A.函数 f(x)有 1 个极大值点,1 个极小值点 B.函数 f(x)有 2 个极大值点,2 个极小值点 C.函数 f(x)有 3 个极大值点,1 个极小值点 D.函数 f(x)有 1 个极大值点,3 个极小值点 能力提升 5.设 a∈R,若函数 y=ex+ax,x∈R 有大于零的极值点,则( ) A.a<-1 B.a>-1 1 1 C.a>- D.a<- e e 1 6.设函数 f(x)=2x+ -1(x<0),则 f(x)( ) x A.有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数 7.[2011· 福建卷] 若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于( ) A.2 B.3 C.6 D.9 1 8.已知函数 f(x)= x4-2x3+3m,x∈R,若 f(x)+9≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围 2 是( ) 3 3 A.m≥ B.m> 2 2 3 3 C.m≤ D.m< 2 2 9.[2011· 浙江卷] 设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个 极值点,则下列图像不可能 为 y=f(x)的图像是( ) ...

图 K15-2 1 2 10.函数 f(x)= x -lnx 的最小值为________. 2 11.[2012· 长春模拟] 已知函数 f(x)=x3+3mx2+nx+m2 在 x=-1 时有极值 0,则 m+n =________. 12.已知函数 y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c 在 x=2 处有极值,其图像在 x=1 处的切线平 行于直线 6x+2y+5=0,则 f(x)的极大值与极小值之差为________. 1 13.已知函数 f(x)= x3-bx2+c(b,c 为常数).当 x=2 时,函数 f(x)取得极值,若函数 3 f(x)只有三个零点,则实数 c 的取值范围为________. 14.(10 分)[2011· 安徽师大附中模拟] 已知函数 f(x)=x3+ax2+b 的图像在点 P(1,f(1)) 处的切线为 3x+y-3=0. (1)求函数 f(x)的解析式及单调区间; (2)求函数在区间[0,t](t>0)上的最值.

15.(13 分)已知 f(x)=x3+bx2+cx+2. (1)若 f(x)在 x=1 时有极值-1,求 b、c 的值; (2)在(1)的条件下,若函数 y=f(x)的图像与函数 y=k 的图像恰有三个不同的交点,求实 数 k 的取值范围.

难点突破 1 1 16.(12 分)[2011· 东莞一模] 已知函数 f(x)= - (a>0,x>0). a x (1)求证:函数 f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数; 1 ? 2 (2)当 a= 时,求函数在? ?2,2?上的最值; 5 (3)函数 f(x)在[1,2]上恒有 f(x)≥3 成立,求 a 的取值范围.

课时作业(十五)A 【基础热身】 1.B [解析] 根据可导函数极值的判别方法,如果在点 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值,反之是极小值,而导数为 0 的点不一定是极值点. 2 1 x -1 2.D [解析] 函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),y′=1- 2= 2 ,令 y′=0, x x 得 x=-1 或 x=1,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下: x (0,1) 1 (-∞,-1) -1 (-1,0) (1,+∞) 0 0 f′(x) + - - + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 所以当 x=-1 时,有极大值 f(-1)=-2,当 x=1 时有极小值 f(1)=2. 3.D [解析] f′(x)=3x2+2ax+3,由题意得 f′(-3)=0,解得 a=5. 4.A [解析] x1、x4 是导函数的不变号零点,因此它们不是极值点,而 x2 与 x3 是变号 零点,因此它们是极值点,且 x2 是极大值点,x3 是极小值点. 【能力提升】 5.A [解析] y′=ex+a=0,ex=-a,x=ln(-a),∵x>0,∴ln(-a)>0 且 a<0. ∴-a>1,即 a<-1. 1 2 6.A [解析] 由题意可得 f′(x)=2- 2(x<0),令 f′(x)=0 得 x=- (舍正), x 2 列表如下: x f′(x) f(x) 由表可得:当 x=-

?-∞,- 2? 2? ?




2 2

?- 2,0? ? 2 ?


0 极大值

2 时,f(x)取得最大值,无最小值; 2 2 2 f(x)在?-∞,- ?单调递增,在?- ,0?单调递减,故选 A. 2? ? ? 2 ? 7.D [解析] f′(x)=12x2-2ax-2b, ∵f(x)在 x=1 处有极值, ∴f′(1)=0,即 12-2a-2b=0,化简得 a+b=6, ∵a>0,b>0, a+b?2 ∴ab≤? ? 2 ? =9,当且仅当 a=b=3 时,ab 有最大值,最大值为 9,故选 D. 1 8.A [解析] 因为函数 f(x)= x4-2x3+3m,所以 f′(x)=2x3-6x2,令 f′(x)=0,得 x 2 27 =0 或 x=3,经检验知 x=3 是函数的一个最小值点,所以函数的最小值为 f(3)=3m- , 2 27 3 不等式 f(x)+9≥0 恒成立,即 f(x)≥-9 恒成立,所以 3m- ≥-9,解得 m≥ . 2 2 9.D [解析] 设 F(x)=f(x)ex, ∴F′(x)=exf′(x)+exf(x)=ex(2ax+b+ax2+bx+c), 又∵x=-1 为 f(x)ex 的一个极值点, - ∴F′(-1)=e 1(-a+c)=0,即 a=c, ∴Δ=b2-4ac=b2-4a2, 当 Δ=0 时,b=± 2a,即对称轴所在直线方程为 x=± 1; b ? 当 Δ>0 时,? ?2a?>1,即对称轴在直线 x=-1 的左边或在直线 x=1 的右边. 又 f(-1)=a-b+c=2a-b<0,故 D 错,选 D.

1 10. 2

1 ? ?f′?x?=x-x>0, [解析] 由? 得 x>1. ? ?x>0,

1 ? ?f′?x?=x-x<0, 由? 得 0<x<1, ? ?x>0, 1 1 ∴f(x)在 x=1 时,取得最小值 f(1)= -ln1= . 2 2 11 . 11
? ?f?-1?=0, [ 解 析 ] f′(x) = 3x2 + 6mx + n , 依 题 意 有 ? ?f′?-1?=0, ?



2 ? ?m +3m-n-1=0, ? ?-6m+n+3=0, ?

?m=2, ?m=1, ?m=1, ? ? ? 解得? 或? 检验知当? 时,函数没有极值.所以 m+n=11. ?n=9 ?n=3, ?n=3 ? ? ? 12.4 [解析] ∵y′=3x2+6ax+3b, ?3×22+6a×2+3b=0, ?a=-1, ? ? ∴? ?? 2 ?3×1 +6a×1+3b=-3 ?b=0. ? ? 2 2 ∴y′=3x -6x,令 3x -6x=0, 则 x=0 或 x=2,∴f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4. 4 1 0, ? [解析] ∵f(x)= x3-bx2+c,∴f′(x)=x2-2bx.∵x=2 时,f(x)取得极值, 13.? ? 3? 3 ∴22-2b×2=0,解得 b=1.∴当 x∈(0,2)时,f(x)单调递减,当 x∈(-∞,0)或 x∈(2,+∞) 时,f(x)单调递增. f?0?=c>0, ? ? 4 若 f(x)=0 有 3 个实根,则? 解得 0<c< . 1 3 2 3 ? ?f?2?=3×2 -2 +c<0,

14.[解答] (1)由 P 点在切线上得 f(1)=0,即点 P(1,0),又 P(1,0)在 y=f(x)上,得 a+b =-1, 又 f′(1)=-3? 2a=-6,所以 a=-3,b=2. 故 f(x)=x3-3x2+2. f′(x)=3x2-6x,令 f′(x)>0,解得 x>2 或 x<0, ∴f(x)的增区间是(-∞,0),(2,+∞),减区间是(0,2). (2)当 0<t≤2 时,f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(t)=t3-3t2+2; 当 2<t≤3 时,f(x)max=f(0)=f(3)=2,f(x)min=f(2)=-2, 当 t>3 时,f(x)max=f(t)=t3-3t2+2,f(x)min=f(2)=-2. 15.[解答] (1)∵f(x)=x3+bx2+cx+2,

∴f′(x)=3x2+2bx+c. 由已知得 f′(1)=0,f(1)=-1, ? ?3+2b+c=0, ∴? ?1+b+c+2=-1, ? 解得 b=1,c=-5. 经验证,b=1,c=-5 符合题意. (2)由(1)知 f(x)=x3+x2-5x+2, f′(x)=3x2+2x-5. 5 由 f′(x)=0 得 x1=- ,x2=1. 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x)

?-∞,-5? 3? ?




5 3

?-5,1? ? 3 ?


1

(1,+∞)

0 + 极小值 5 5 ? 229 当 x=1 时函数取得极 根据上表, 当 x=- 时函数取得极大值且极大值为 f? ?-3?= 27 , 3 小值且极小值为 f(1)=-1. 229? 根据题意结合上图可知 k 的取值范围为? ?-1, 27 ?. 【难点突破】 16.[解答] (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)的导数 f′(x)=1+lnx. 1 1 令 f′(x)>0,解得 x> ;令 f′(x)<0,解得 0<x< . e e 1 1 ? ? ? 从而 f(x)在? ?0,e?单调递减,在? e,+∞?单调递增. 1 1 所以,当 x= 时,f(x)取得最小值- . e e (2)法一:令 g(x)=f(x)-(ax-1),则 g′(x)=f′(x)-a=1-a+lnx, ①若 a≤1,当 x>1 时,g′(x)=1-a+lnx>1-a≥0, 故 g(x)在(1,+∞)上为增函数,所以,x≥1 时,g(x)≥g(1)=1-a≥0,即 f(x)≥ax-1. - ②若 a>1,方程 g′(x)=0 的根为 x0=ea 1, 此时,若 x∈(1,x0),则 g′(x)<0,故 g(x)在该区间为减函数. 所以 x∈(1,x0)时,g(x)<g(1)=1-a<0,

0 极大值

即 f(x)<ax-1,与题设 f(x)≥ax-1 相矛盾. 综上,满足条件的 a 的取值范围是(-∞,1]. 法二:依题意,得 f(x)≥ax-1 在[1,+∞)上恒成立, 1 即不等式 a≤lnx+ 对于 x∈[1,+∞)恒成立. x 1 1 1 1 1 1- ?. 令 g(x)=lnx+ ,则 g′(x)= - 2= ? x? ? x x x x 1 1 1- ?>0, 当 x>1 时,因为 g′(x)= ? x? x? 故 g(x)是(1,+∞)上的增函数,所以 g(x)的最小值是 g(1)=1, 所以 a 的取值范围是(-∞,1].


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