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高中数学选修2-1知识点总结


高二数学选修 2-1 知识点
1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 判断一个语句是否为命题: (1)是否做了判断(2)结果是否唯一 真命题:判断为真的语句. 假命题:判断为假的语句. 2、 “若 p ,则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件, q 称为命题的结论. 3、若原命题为“若 p ,则 q ” ,它的逆命题为“若 q ,则 p ”. 4、若原命题为“若 p ,则 q ” ,则它的否命题为“若 ? p ,则 ? q ”. 5、若原命题为“若 p ,则 q ” ,则它的否命题为“若 ? q ,则 ? p ”. 6、四种命题的真假性: 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假 四种命题的真假性之间的关系: ?1? 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;

? 2 ? 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
7、若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件. 若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件(充分必要条件) . 判断 P 与 Q 的关系: (1)P 能否退出 Q(2)Q 能否退出 P(3)给出结论 8、用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p ? q . 当 p 、 q 都是真命题时, p ? q 是真命题;当 p 、 q 两个命题中有一个命题是假命 题时, p ? q 是假命题. (有假则假,无假则真) 用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p ? q . 当 p 、 q 两个命题中有一个命题是真命题时, p ? q 是真命题;当 p 、 q 两个命 题都是假命题时, p ? q 是假命题.(有真则真,无真则假) 对一个命题 p 全盘否定,得到一个新命题,记作 ? p . 若 p 是真命题,则 ? p 是假命题;若 p 是假命题,则 ? p 是真命题. (真假相对) 9、短语“对所有的” 、 “对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“ ? ”表 示. 含有全称量词的命题称为全称命题. 全称命题“对 ? 中任意一个 x ,有 p ? x ? 成立” ,记作“ ?x ? ? , p ? x ? ” . 短语“存在一个” 、 “至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“ ? ”表示. 含有存在量词的命题称为特称命题. 特称命题“存在 ? 中的一个 x ,使 p ? x ? 成立” ,记作“ ?x ? ? , p ? x ? ” . 10、全称命题 p : ?x ? ? , p ? x ? ,它的否定 ? p : ?x ? ? , ?p ? x ? .全称命题 的否定是特称命题. 11、平面内与两个定点 F 1 ,F 2 的距离之和等于常数(大于 F 1F 2 )的点的轨迹 称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距.
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12、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

图形

标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 准线方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2 ? a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2 ?b ? x ? b 且 ? a ? y ? a

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0? ?1 ? 0, ?b? 、 ?2 ? 0, b ?
短轴的长 ? 2b

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ? ?1 ? ?b,0? 、 ?2 ? b,0?
长轴的长 ? 2a

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?

关于 x 轴、 y 轴、原点对称

c b2 e ? ? 1 ? 2 ? 0 ? e ? 1? a a
x??

a2 a2 y?? c c (1)标准方程的特点:右边为 1,左边是两个量的平方和。 (2)焦点位置的判定:谁的分母大,焦点就在谁上。

13、设 ? 是椭圆上任一点,点 ? 到 F1 对应准线的距离为 d1 ,点 ? 到 F2 对应准线 的距离为 d2 ,则

?F1 d1

?

?F2 d2

? e.

14、平面内与两个定点 F )的 1 ,F 2 的距离之差的绝对值等于常数(小于 F 1F 2 点的轨迹称为双曲线. 这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线 的焦距. (1)标准方程的特点:右边为 1,左边是两个量的平方差。 (2)焦点位置的判断:谁的系数为正,焦点就在谁上。 b (3)渐近线方程;虚轴= ? 倍的实轴 a

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15、双曲线的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

图形

标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2 x ? ?a 或 x ? a , y ? R

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2 y ? ?a 或 y ? a , x ? R

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?
虚轴的长 ? 2b

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ?
实轴的长 ? 2a

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?

关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

c b2 e ? ? 1 ? 2 ? e ? 1? a a

a2 a2 准线方程 x?? y?? c c b a y?? x y?? x 渐近线方程 a b 16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线. 17、设 ? 是双曲线上任一点,点 ? 到 F1 对应准线的距离为 d1 ,点 ? 到 F2 对应准

? e. d1 d2 18、 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线. 定 F 点 称为抛物线的焦点,定直线 l 称为抛物线的准线. 19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 ? 、 ? 两点的线段 ?? ,称为
线的距离为 d2 ,则 抛物线的“通径” ,即 ?? ? 2 p . 20、焦半径公式:
p ; 2 p 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 y2 ? ?2 px ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? ? x0 ? ; 2 p 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 x2 ? 2 py ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? y0 ? ; 2 p 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 x2 ? ?2 py ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? ? y0 ? . 2

?F1

?

?F2

若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? x0 ?

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21、抛物线的几何性质: y 2 ? 2 px 标准方程 ? p ? 0? 图形

y 2 ? ?2 px

x2 ? 2 py

? p ? 0?

? p ? 0?

x 2 ? ?2 py ? p ? 0?

顶点

? 0, 0 ?
x轴
? p ? F ? ,0? ?2 ?
x?? p 2
y轴

对称轴

焦点

? p ? F ? ? ,0? ? 2 ?
x? p 2

p? ? F ? 0, ? 2? ?
y?? p 2

p? ? F ? 0, ? ? 2? ?
y? p 2

准线方程

离心率

e ?1

范围

x?0

x?0

y?0

y?0

(1)标准方程的特征;左边为二次项,且系数为 1;右边为一次项。 (2)焦点坐标: 二次项对应轴的坐标为 0, 一次项对应轴为一次项对应系数的 (3)准线方程为:一次项对应轴=一次项系数的22、空间向量的概念:
1 。 4 1 倍 4

?1? 在空间,具有大小和方向的量称为空间向量.
? 2 ? 向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指
的方向表示向量的方向. ,记作 ?? . ? 3? 向量 ?? 的大小称为向量的模(或长度)

? 4 ? 模(或长度)为 0 的向量称为零向量;模为1 的向量称为单位向量. ? 5? 与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为 a 的相反向量,记作 ? a . ? 6 ? 方向相同且模相等的向量称为相等向量.
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23、空间向量的加法和减法:

?1? 求两个向量和的运算称为向量的加法,它遵
循平行四边形法则.即:在空间以同一点 ? 为 起点的两个已知向量 a 、 b 为邻边作平行四边形
??C ? , 则以 ? 起点的对角线 ?C 就是 a 与 b 的

和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行 四边形法则.

? 2 ? 求两个向量差的运算称为向量的减法,它遵
循三角形法则.即:在空间任取一点 ? ,作

?? ?a , ?? ? b ,则 ?? ? a ? b .
24、实数 ? 与空间向量 a 的乘积 ? a 是一个向量,称为向量的数乘运算.当 ? ? 0 时,? a 与 a 方向相同;当 ? ? 0 时,? a 与 a 方向相反;当 ? ? 0 时,? a 为零向量, 记为 0 . ? a 的长度是 a 的长度的 ? 倍. 25、设 ? , ? 为实数, a , b 是空间任意两个向量,则数乘运算满足分配律及结 合律. 分配律: ? a ? b ? ? a ? ?b ;结合律: ? ? ?a ? ? ? ?? ? a . 26、 如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线 向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线. 27、向量共线的充要条件:对于空间任意两个向量 a ,b b ? 0 , a // b 的充要条 件是存在实数 ? ,使 a ? ?b . 28、平行于同一个平面的向量称为共面向量. 29、 向量共面定理: 空间一点 ? 位于平面 ?? C 内的充要条件是存在有序实数对 x ,
y ,使 ?? ? x ?? ? y ?C ;或对空间任一定点 ? ,有 ?? ? ?? ? x ?? ? y ? C ;或

?

?

?

?

若四点 ? , ? , ? , C 共面,则 ?? ? x?? ? y?? ? z?C ? x ? y ? z ? 1? .
? ? ? ?? a , ?? ? b , 30、 已知两个非零向量 a 和 b , 在空间任取一点 ? , 作? 则?

称为向量 a ,b 的夹角,记作 ?a, b ? .两个向量夹角的取值范围是:? a, b ? ? ?0, ? ? . 31、 对于两个非零向量 a 和 b , 若 ?a, b ? ?

?
2

, 则向量 a ,b 互相垂直, 记作 a ? b .
? 称为 a , b 的数量积, 记作 a ? b . 即

o s ab , ? 32、 已知两个非零向量 a 和 b , 则 ab c

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a ? b ? a b cos? a , b ? .零向量与任何向量的数量积为 0 .

33、 a ? b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos? a , b ? 的乘积. 34、若 a , b 为非零向量, e 为单位向量,则有 ?1? e ? a ? a ? e ? a cos?a, e? ;
? a b a与b同向 2 ? a ? b ? ; , a ?a ? a , a ? a ?a ; a ? b ? a ? b ? 0 ? 2? ? 3? ? ? a b a与b反向 ? ?

?

?

?

?

? 4 ? cos? a, b ? ?

a ?b a b

; ? 5? a ? b ? a b .

35、向量数乘积的运算律: ?1? a ? b ? b ? a ; ? 2 ? ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;

?

?

? ?

? 3? ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c .
36、若 i , j , k 是空间三个两两垂直的向量,则对空间任一向量 p ,存在有序 实数组 ?x, y, z? ,使得 p ? xi ? yj ? zk ,称 xi , yj , zk 为向量 p 在 i , j , k 上 的分量. 37、空间向量基本定理:若三个向量 a , b , c 不共面,则对空间任一向量 p , 存在实数组 ?x, y, z? ,使得 p ? xa ? yb ? zc . 38、若三个向量 a , b , c 不共面,则所有空间向量组成的集合是

? p p ? xa ? yb ? zc , x, y, z ? R? .这个集合可看作是由向量 a , b , c 生成的,
?a, b , c? 称为空间的一个基底,a ,b ,c 称为基向量.空间任意三个不共面的向
量都可以构成空间的一个基底. 39、设 e1 , e2 , e3 为有公共起点 ? 的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位 正交基底) ,以 e1 , e2 , e3 的公共起点 ? 为原点,分别以 e1 , e2 , e3 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系 ?xyz . 则对于空间任意一个向量 p , 一定可以把它平移,使它的起点与原点 ? 重合,得到向量 ?? ? p .存在有序实 数组 ?x, y, z? ,使得 p ? xe1 ? ye2 ? ze3 .把 x , y , z 称作向量 p 在单位正交基底

e1 , e2 , e3 下的坐标,记作 p ? ? x, y, z ? .此时,向量 p 的坐标是点 ? 在空间直角
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坐标系 ?xyz 中的坐标 ? x, y, z ? . 40、设 a ? ? x1, y1, z1 ? , b ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则 ?1? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? .

? 2 ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? . ? 3? ?a ? ?? x1, ? y1, ? z1 ? . ? 4 ? a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 . ? 5? 若 a 、 b 为非零向量,则 a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 ? 0 . ? 6 ? 若 b ? 0 ,则 a // b ? a ? ?b ? x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 , z1 ? ? z2 .
?7?
a ? a ? a ? x12 ? y12 ? z12 .

?8? cos? a, b ? ?

a ?b a b

?

x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2
2 2 2 x ? y12 ? z12 ? x2 ? y2 ? z2 2 1



则 d?? ? ?? ? ? x ? ? ? x2 , y2 , z2 ? , ? 9 ? ? ? x1, y1, z1 ? ,

2

x ?1

?? ? z z ?1 ?y ? 2? 2y 1
2 2

?

2

?



41、在空间中,取一定点 ? 作为基点,那么空间中任意一点 ? 的位置可以用向量

?? 来表示.向量 ?? 称为点 ? 的位置向量.
42、 空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 ? 以及一个定方向确定. 点 ? 是直线 l 上一点,向量 a 表示直线 l 的方向向量,则对于直线 l 上的任意一点 ? , 有 ?? ? ta ,这样点 ? 和向量 a 不仅可以确定直线 l 的位置,还可以具体表示出直 线 l 上的任意一点. 43、 空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线 相交于点 ? ,它们的方向向量分别为 a , b . ? 为平面 ? 上任意一点,存在有序 实数对 ? x, y ? , 使得 ?? ? xa ? yb , 这样点 ? 与向量 a ,b 就确定了平面 ? 的位置. 44、直线 l 垂直 ? ,取直线 l 的方向向量 a ,则向量 a 称为平面 ? 的法向量. 45、若空间不重合两条直线 a , b 的方向向量分别为 a , b ,则 a // b ? a // b ?

a ? ?b ? ? ? R ? , a ? b ? a ? b ? a ? b ? 0 .
46、若直线 a 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 n ,且 a ? ? ,则 a // ? ? a// ? ? a ? n ? a ? n ? 0 , a ? ? ? a ? ? ? a // n ? a ? ? n . 47、若空间不重合的两个平面 ? , ? 的法向量分别为 a ,b ,则 ? // ? ? a// b ?

a ? ?b , ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 .
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48、设异面直线 a , b 的夹角为 ? ,方向向量为 a , b ,其夹角为 ? ,则有

cos? ? cos ? ?

a ?b a b



49、设直线 l 的方向向量为 l ,平面 ? 的法向量为 n ,l 与 ? 所成的角为 ? ,l 与 n 的夹角为 ? ,则有 sin ? ? cos ? ?

l ?n l n



50、设 n1 , n2 是二面角 ? ? l ? ? 的两个面 ? , ? 的法向量,则向量 n1 , n2 的夹 角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.若二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? , 则 cos ? ?

n1 ? n2 n1 n2



51、点 ? 与点 ? 之间的距离可以转化为两点对应向量 ?? 的模 ?? 计算. 52、在直线 l 上找一点 ? ,过定点 ? 且垂直于直线 l 的向量为 n ,则定点 ? 到直线
l 的距离为 d ? ?? cos???, n? ?

?? ? n n



53、点 ? 是平面 ? 外一点, ? 是平面 ? 内的一定点, n 为平面 ? 的一个法向量, 则点 ? 到平面 ? 的距离为 d ? ?? cos???, n? ?
?? ? n n



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