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高中数学竞赛专题讲座---不等式选讲


不等式选讲
例 1 若 a, b, c 为 ?ABC 的三边, k ? 1 ,求证:

a b c 3 ? ? ? k (b ? c) ? a k (c ? a) ? b k (a ? b) ? c 2k ? 1

? (1 ? k ) x ? ky ? kz ?a ? (2k ? 1)(k ? 1) ? x ? k (b ? c

) ? a ? (1 ? k ) y ? kz ? kx ? ? y ? k (c ? a ) ? b ,则 ?b ? 证:令 ? , (2k ? 1)(k ? 1) ? ? z ? k ( a ? b) ? c ? ? c ? (1 ? k ) z ? kx ? ky ? (2k ? 1)(k ? 1) ? (1 ? k ) x ? ky ? kz (1 ? k ) y ? kz ? kx (1 ? k ) z ? kx ? ky ? ? 则所证不等式的左边 ? (2k ? 1)(k ? 1) x (2k ? 1)(k ? 1) y (2k ? 1)(k ? 1) z 1 y z z x x y 1 ? [3(1 ? k ) ? k ( ? ? ? ? ? )] ? . (2k ? 1)(k ? 1) x x y y z z 2k ? 1
说明:换元法是常用的化简分母、去分母、去根号的一种方法。 例 2 设 a, b, c ? R ? ,求证:
4

a a ? 8bc
2
4 3 4 3

?

b b ? 8ac
2

?

c c ? 8ab
2
4

?1

证:先证
4 3 4 3

a a 2 ? 8bc
4 3 1 3

?

a3 a ?b ?c
4 3

,实际上
4 3 4 3 4 3

a a 2 ? 8bc
2 2 3

?

a3
4 4 4

a3 ? b3 ? c3

? a ? b ? c ? a (a ? 8bc) ? (a ? b ? c ) ? a (a 2 ? 8bc)
2 8 8 4 4 4 2

1 2

? b 3 ? c 3 ? 2(ab) 3 ? 2(ac) 3 ? 2(bc) 3 ? 8a 3 bc . 由平均值不等式可知,上式显然成立,同理可知:
4 4

b b 2 ? 8ac

?

b3
4 3 4 3 4 3



c c 2 ? 8ab

?

c3
4 3 4 3 4 3

,把以上三式相加,就可得所证不等式成立。

a ?b ?c a ?b ?c f (a1 , a2 ,?, an ) 说明:对于形如 ? ? A(或 ? A) 的轮换不等式根据不等式的特征可构造出如下的不 g (a1 , a2 ,?, an )

等式: hi (a1 , a2 ,?.an ) ? A

式, i ? 1,2,?, n 。其中的 ? 可以用待定系数法求出。

ai? ai? 或 hi (a1 , a2 ,?.an ) ? A ? 的一系列不等 ? ? ? ? ? a1 ? a2 ? ? ? an a1 ? a2 ? ? ? an

? 例 3 已知 x, y, z ? R , xyz ? 1,且 x(1 ? z ) ? 1, y(1 ? x) ? 1, z (1 ? y) ? 1 ,求证:

2( x ? y ? z ) ?
证:令 x ?

1 1 1 ? ? ? 3. x y z
a b c , y ? , z ? (a, b, c ? R ? ) ,则 x(1 ? z ) ? 1, y(1 ? x) ? 1, z (1 ? y) ? 1 变为 b c a

a b c b c a a ? c ? b, b ? a ? c, c ? b ? a 。要证的不等式变为 2( ? ? ) ? ? ? ? 3 b c a a b c
等价于要证 2(a c ? b a ? c b) ? b c ? c a ? a b ? 3abc
2 2 2 2 2 2

(*)

1

?a ? m ? n ? 注意到以 a, b, c 为边长可以构成三角形,我们令 ? b ? n ? l , (m ? 0, n ? 0, l ? 0) ?c ? l ? m ?
3 3 3 2 2 2 2 2 2

将其代入(*) ,则要证

的不等式转化为: l ? m ? n ? m n ? n l ? l m ? 2m l ? 2n m ? 2l n .由均值不等式, 得 l ? n l ? 2l n , n ? m n ? 2n m , m ? l m ? 2m l .上述三式相加就得证不等式。
3 2 2 3 2 2 3 2 2

? ?a ? ? ? abc ? 1 ,常作代换 ?b ? 说明:对于条件 ? ?c ? ? ?

x y y , ( x, y, z ? 0) ,从而使非奇次不等式变为奇次不等式,另 z z x

?a ? m ? n ? 外,三角形三边常用的代换为 ? b ? n ? l , (m ? 0, n ? 0, l ? 0) 。 ?c ? l ? m ?
例 4 试确定

1 1 1 1 的整数部分。 ? ? ??? 1 2 3 10000
1 1 1 ? ?2 m?n m?n m

解:容易证明对于 m, n ? R ? , m ? n ,有

先证明

1 1 1 1 ( k ? 1,2,?, n ) ? ? ? 2 2 2 n ?k (n ? 1) ? k n ? (k ? 1) (n ? 1) ? (k ? 1)
2

由上式可知: 2

1 1 1 1 , ? ? 2 2 ? 2 2 n ?k n ? (k ? 1) n ? (k ? 1) n ? (k ? 1)
2

1 1 , ? 2 n ?k n ? (k ? 2)
2

??, 2

1 1 1 , ? ? 2 2 2 (n ? 1) ? k (n ? 1) ? (k ? 1) (n ? 1) ? (k ? 1)

以上相加得

1 1 1 1 , ? ? ? 2 2 2 n ?k (n ? 1) ? k n ? (k ? 1) (n ? 1) ? (k ? 1)
2

进一步可得

1 1 1 1 1 1 . ? ? ? ? ? 2 2 2 n n ?1 n ?k (n ? 1) ? k n (n ? 1)
2



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 1 ? (1 ? ) ? ? 2( ? ) ? ? ? ? 99( ? )? 1 2 3 10000 2 2 2 3 3 99 100 100

? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 199 .
另一方面:

1 1 1 2 ? ?2 2 ? , 2 n n ?k n ?k n
2

原式 ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?( ? ? )?( ??? ?? ) ??? ( ? ??? ) 2 3 4 5 6 9 12 9901 9902 10000
2

? 1?

1 3 7 7 11 11 195 195 199 100 ? 1 ? 2 ? 4 ? 4 ? ? ? 4 ? 1 ? 198 , ? ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )? ? 2 2 3 4 5 6 97 98 99 100

因此,其整数部分是 198. 说明:此题也可以用一般的放缩法可求出其值在 198 到 199 之间。 例 5 试确定所有的正常数 a, b ,使不等式 xy ? yz ? zx ? a( y 2 z 2 ? z 2 x 2 ? x 2 y 2 ) ? bxyz对满足

x ? y ? z ? 1的非负数 x, y, z 均成立。
解:正常数 a, b 应满足的条件为 a ? b ? 9 ,且 0 ? a ? 4 。取 ( x, y, z ) ? ( , , ) 及

1 1 1 3 3 3

1 1 ( x, y, z ) ? ( , ,0) ,即可得 a ? b ? 9 ,及 0 ? a ? 4 。 2 2
下面证明: xy ? yz ? zx ? a( y 2 z 2 ? z 2 x 2 ? x 2 y 2 ) ? (9 ? a) xyz(0 ? a ? 4) 成立. 利用条件 x ? y ? z ? 1 使不等式变为奇次化不等式

( x ? y ? z) 2 ( xy ? yz ? zx) ? a( y 2 z 2 ? z 2 x 2 ? x 2 y 2 ) ? (9 ? a)(x ? y ? z) xyz(0 ? a ? 4) 。为了方便,
令 P ? ( x ? y ? z) 2 ( xy ? yz ? zx) , Q ? y 2 z 2 ? z 2 x 2 ? x 2 y 2 , R ? ( x ? y ? z ) xyz ,只须证:

P ? aQ ? (9 ? a) R , (0 ? a ? 4) 。先证明: P ? 4Q ? 5R ,计算可知

P ? 2Q ? 5R ? x 3 y ? y 3 z ? z 3 x ? x 3 z ? y 3 x ? z 3 y ,
因此 P ? 4Q ? 5 R ?

? xy ( x

2

? y 2 ) ? 2? x 2 y 2 ? ? xy ( x ? y ) ? 0 ,得证。
2

2 2 2 2 2 2 再证明: Q ? R 。由柯西不等式得: R ? ( x ? y ? z) x y z ? ( xy ? xz ? yz ? xy ? zx ? yz)

? ( x 2 y 2 ? y 2 z 2 ? z 2 x 2 )(x 2 z 2 ? x 2 y 2 ? y 2 z 2 ) ? Q 2 ,得证。
于是, P ? 4Q ? 5R ? aQ ? (4 ? a)Q ? 5R ? aQ ? (9 ? a) R ,原不等式得证。因此,所求的全部解 为: a ? b ? 9 ,且 0 ? a ? 4 。 说明:对于含参的不等式,常用取特殊值(中值,边值等)确定参数的范围,再证明在这个范围内不 等式成立。 例 6 设 a, b, c, d ? 0 ,且 a ? b ? c ? d ? 4 ,求证: 证:原不等式即为 f (a, b, c, d ) ?

? bcd ? abcd

?

1 ? ab 2

? a ? 2 ? ab ? 1 ,显然等号成立时, a ? b ? c ? d ? 1 ,采用逐

1

1

1

步调整法,不妨设 a ? 1 ? b ,则令 a' ? 1, b' ? a ? b ? 1 ,有 a ' b' ? ab ,于是

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 f (a, b, c, d ) ? f (a' , b' , c, d ) ? ( ? ? ? ) ? [( ? ) ? ( ? )( ? ? ? )] a b a' b' 2 ab a' b' c d a b a ' b' ? (a ? b)( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? [( ? ) ? ( ? )( a ? b)( ? )] ab a' b' 2 ab a' b' c d ab a' b'

? (a ? b)(

1 1 1 1 1 1 a' b'?ab 1 32 ? )[1 ? ( ? ? )] ? (a ? b) (1 ? ? ) ? 0 ab a' b' 2 a?b c d aba' b' 2 4
3

? f (a, b, c, d ) ? f (a' , b' , c, d ) ? f (1, a ? b ? 1, c, d ) .
再进行 2 次这样的变换,就得到:

f (1, a ? b ? 1, c, d ) ? f (1,1, a ? b ? c ? 2, d ) ? f (1,1,1, a ? b ? c ? d ? 3) ? f (1,1,1,1) ? 1 .原不等式得证。
说明:逐步调整法是求多元函数值和证明不等式的一种重要方法。 例 7 已知 xi ? 0 ,且

?x

i

? 1, (i ? 1,2,?, n) 。求 ? ( x 4 ? x 5 ) ( j ? 1,2,?, n) 的最大值。 j j
2 , xy ? 0 ,则 x, y 可以替换成 x ? y,0 , 3

解:利用逐步调整法求解此题,首先我们证明,若 x ? y ?

其最大值不变。实际上,由 ( x ? y) 4 ? ( x ? y) 5 ? 0 4 ? 05 ? [(x 4 ? x 5 ) ? ( y 4 ? y 5 )]

7 7 ? xy(4x 2 ? 6xy ? 4 y 2 ) ? xy(5x 3 ? 10x 2 y ? 10xy 2 ? 5 y 3 ) ? xy ( x 2 ? 7 xy ? y 2 ) ? 5 xy ( x ? y ) 3 2 2 ? 7 7 2 7 xy ( x ? y ) 2 ? 5 xy ( x ? y ) 3 ? xy ( x ? y ) 2 [ ? 5( x ? y )] ,∵ x ? y ? ? , 2 2 3 10
2

∴ xy ( x ? y ) [ 的最大值.

7 ? 5( x ? y )] ? 0 .因而原问题等价于 x, y ? 0 ,且 x ? y ? 1 ,求 ( x 4 ? x 5 ) ? ( y 4 ? y 5 ) 2

∵ ( x 4 ? x 5 ) ? ( y 4 ? y 5 ) ? x 4 (1 ? x) ? y 4 (1 ? y) ? x 4 y ? y 4 x ? xy( x 3 ? y 3 )

1 1 ? xy[(x ? y) 3 ? 3xy( x ? y)] ? xy(1 ? 3xy) ? (3 xy )(1 ? 3 xy ) ? .其等号成立的条件 3 12
是 3 xy ?

1 3? 3 , x ? y ? 1,解得 x, y ? 。 2 6

例 8 设 n ? 3 ,x1 , x2 ,?, xn 是正数, xn? j ? x j (1 ? j ? n ? 1) 且 最小值。 解:取正数 a j ,使得 a 2 ? j 的最小值。

?x
j ?1

n

xj
j ?1

? 2 x j ?2 ? ?(n ? 1) x j ? n?1



xj x j ?1 ? 2 x j ?2 ? ?(n ? 1) x j ?n?1

(1 ? j ? n) ,记 s ? ? a 2 ,问题就变为求 s j
j ?1

n

再引入正数 b j ,使得 b j ? x j [ x j ?1 ? 2x j ?2 ? ?(n ? 1) x j ?n?1 ](1 ? j ? n) ,则
2

a 2b 2 ? x 2 ,因而 a j b j ? x j , (1 ? j ? n) ,由柯西不等式得 (? a 2 )(? b 2 ) ? (? a j b j ) 2 , j j j j j
j ?1 j ?1 j ?1

n

n

n

∴s?(

? b 2j ) ? (? x j ) 2 ,又 ? b 2j ? x1[ x2 ? 2x3 ? ?(n ? 1) xn ] ? x2 [ x3 ? 2x4 ? ?(n ? 1) x1 ] ? ? ?
j ?1 j ?1 j ?1

n

n

n

xn?1[ xn ? 2x1 ? ?(n ? 1) xn?2 ? n? xi x j ,所以 s ?
i? j

(? x j ) 2 n( ? x i x j )
i? j j ?1

n

.

4

又0 ?

? (x
i? j

i

? x j ) ? ? ( xi2 ? x 2 ) ? 2? xi x j ? (n ? 1)? xi2 ? 2? xi x j , j
2 i? j i? j i? j

?

n 2 1 2n ,当 x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn 取最小值。 xi x j ? ? xi2 ? (? xi ) 2 ,? s ? j ?1 ? ??n n ? 1 1?i ? j n n(? xi x j ) n ? 1 i ?1
i? j

(? x j ) 2

n

例 9 设 x, y, z ? 0 且 x ? y ? z ? 1 ,求证: 2( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? 9 xyz ? 1 证:不妨设 0 ? x ? y ? z ,令 x ?

1 1 1 1 2 ? u, y ? ? v, z ? ? w , ? ? u ? v ? w ? 且 u ? 0 ,则 3 3 3 3 3

u ? v ? w ? 0 。原式 ? 1 ? 2(u 2 ? v 2 ? w2 ) ? 3(uv ? vw ? wu) ? 9wuv ,
又 0 ? (u ? v ? w) ? u ? v ? w ? 2(uv ? wv ? wu) ,所以原式= 1 ?
2 2 2 2

1 2 (u ? v 2 ? w 2 ) ? 9uvw 。问题转 2

化为证明:

1 2 (u ? v 2 ? w 2 ) ? 9uvw ? 0 2

(1)当 v ? 0, w ? 0 时, uv ? 0 ,因而 uvw ? 0 ,上述不等式成立; (2)当 v ? 0, w ? 0 时,此时仅有 u ? 0 ,

1 2 1 (u ? v 2 ? w 2 ) ? 9uvw ? [( v ? w) 2 ? v 2 ? w 2 ] ? 9(v ? w)vw ? (v ? w) 2 ? 3vw[1 ? 3(v ? w)] 2 2
因为 v ? w ? ?u ?

1 ,所以 1 ? 3(v ? w) ? 0 ,上述不等式依然成立。 3 1 1 1 1 1 1 9 ? ? )( ? ? )? a b c 1 ? a 1 ? b 1 ? c 1 ? abc

例 10 已知 a, b, c ? R ? ,求证: ( 证: (

1 1 1 1 1 1 ? ? )( ? ? ) a b c 1? a 1? b 1? c

? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ,注意到 a(1 ? a) b(1 ? b) c(1 ? c) a(1 ? b) b(1 ? c) c(1 ? a) a(1 ? c) b(1 ? a) c(1 ? b) 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? , a(1 ? a) b(1 ? b) c(1 ? c) a(1 ? b) b(1 ? c) c(1 ? a) 1 1 1 1 1 1 ? ? )? ? ? . a(1 ? b) b(1 ? c) c(1 ? a) a(1 ? c) b(1 ? a) c(1 ? b)

∴原式 ? 2(



1 ? abc 1 ? abc 1 ? abc 1 ? a ? ab ? abc 1 ? b ? bc ? abc 1 ? c ? ac ? abc ? ? ?3? ? ? a(1 ? b) b(1 ? c) c(1 ? a) a ? ab b ? bc c ? ac
1 ? a b ? bc 1 ? b c ? ac 1 ? c a ? ab 1 ? abc 1 ? abc 1 ? abc ? ? ? ? ? ? 6 ,? ? ? ? 3, a ? ab 1 ? b b ? bc 1 ? c c ? ac 1 ? a a(1 ? b) b(1 ? c) c(1 ? a)

?

即(

1 1 1 3 1 1 1 3 ? ? )? ? ? ? .同理可证: a(1 ? b) b(1 ? c) c(1 ? a) 1 ? abc a(1 ? c) b(1 ? a) c(1 ? b) 1 ? abc

5

1 1 1 1 1 1 3? 2 3 9 ? ( ? ? )( ? ? )? ? ? . a b c 1 ? a 1 ? b 1 ? c 1 ? abc 1 ? abc 1 ? abc

6


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