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高二数学复习讲义三


高二数学复习讲义

高二数学复习讲义(3) ——《导数及其应用》
<知识点>
1、导数的背景: (1)切线的斜率; (2)瞬时速度; (3)边际成本。 如一物体的运动 方程是 s ? 1 ? t ? t ,其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在 t ? 3 时的瞬时速度为 _____(答:5 米/秒) 2、导函数的概

念:如果函数 f ( x ) 在开区间(a,b)内可导,对于开区间(a,b)内的每
2

一个 x 0 ,都对应着一个导数 f

?

? x0 ?

,这样 f ( x ) 在开区间(a,b)内构成一个新的函数,

这一新的函数叫做 f ( x ) 在开区间(a,b)内的导函数, 记作 f ? ? x ? ? y? ? lim

?y ?x

?x ? 0

? lim

f ? x ? ?x ? ? f ? x ?

?x ? 0

?x 3、 y ? f ( x ) 在 x 0 处的导数的步骤: 求函数的改变量 ?y ? f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ; 求 (1) ?y ?x ?x ?x 4、导数的几何意义:函数 f ( x ) 在点 x 0 处的导数的几何意义,就是曲线 y ? f ( x ) 在点
? x?0

,导函数也简称为导数。

(2)求平均变化率

?

f ? x0 ? ? x ? ? f ? x 0 ?

; (3)取极限,得导数 f ? ? x0 ? ? lim

?y



P ? x0, f ? x0 ? ? 处的切线的斜率,即曲线 y ? f ( x ) 在点 P ? x0 , f ? x0 ? ? 处的切线的斜率是

f ? ? x0 ? ,相应地切线的方程是 y ? y0 ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? 。特别提醒: (1)在求曲线的切线
方程时,要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线,还是过某点的切线:曲线上某点处 的切线只有一条,而过某点的切线不一定只有一条,即使此点在曲线上也不一定只有一条; (2)在求过某一点的切线方程时,要首先判断此点是在曲线上,还是不在曲线上,只有当 此点在曲线上时,此点处的切线的斜率才是 f ?( x0 ) 。 5、导数的运算法则: (1)常数函数的导数为 0,即 C? ? 0 (C 为常数) ; (2)

? 1 ; ? ? ? ? 2 x (3)若 f ( x ), g ( x ) 有导数,则① [ f ( x ) ? g ( x )]? ? f ?( x ) ? g ?( x ) ;② [C ?f ( x )]? ? Cf ?( x ) 。 1 1 ? x ? ? ? nx ? n ? Q ? ,与此有关的如下: ? x ? ? ? x ? ? ? ? x , ? x ? ? ? ? x ? ? ? ?
n n ?1

?

?1

?

1 2

?

2

6、多项式函数的单调性: (1)多项式函数的导数与函数的单调性: ①若 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 为增函数;若 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 为减函数;若 f ?( x ) ? 0 恒 成立,则 f ( x ) 为常数函数;若 f ?( x ) 的符号不确定,则 f ( x ) 不是单调函数。 ②若函数 y ? f ( x ) 在区间( a , b )上单调递增,则 f ?( x ) ? 0 ,反之等号不成立;若 函数 y ? f ( x ) 在区间( a , b )上单调递减,则 f ?( x ) ? 0 ,反之等号不成立。 (2)利用导数求函数单调区间的步骤: (1)求 f ?( x ) ; (2)求方程 f ?( x ) ? 0 的根,设 根为 x1 , x2 ,? xn ; (3) x1 , x2 ,? xn 将给定区间分成 n+1 个子区间,再在每一个子区间内判 断 f ?( x ) 的 符号, 由此确定 每一 子区间的 单调性。 如 设 函数 f ( x ) ? ax ? bx ? cx 在
3 2

(答:递增区间(-1,1) ,递减区 x ? ?1,1 处有极值,且 f ( ?2) ? 2 ,求 f ( x ) 的单调区间。 间 ? ?? , ? 1? , (1, ?? ) ) 7、函数的极值:

1

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( 1 ) 定 义 : 设 函 数 f ( x ) 在 点 x0 附 近 有 定 义 , 如 果 对 x0 附 近 所 有 的 点 , 都 有

f ( x ) ? f ( x0 ) ,就说是 f ( x0 ) 函数 f ( x ) 的一个极大值。记作 y极大值 = f ( x0 ) ,如果对 x 0 附
近所有的点,都有 f ( x ) ? f ( x0 ) ,就说是 f ( x0 ) 函数 f ( x ) 的一个极小值。记作 y极小值 =

f ( x0 ) 。极大值和极小值统称为极值。
(2)求函数 y ? f ( x ) 在某个区间上的极值的步骤: (i)求导数 f ?( x ) ; (ii)求方程 (iii)检查 f ?( x ) 在方程 f ?( x ) ? 0 的根 x 0 的左右的符号: “左正右负” f ?( x ) ? 0 的根 x 0 ; “左负右正” ? f ( x ) 在 x 0 处取极小值。特别提醒: (1) x 0 是 ? f ( x ) 在 x 0 处取极大值; 极值点的充要条件是 x 0 点两侧导数异号,而不仅是 f ? ? x0 ? =0, f ? ? x0 ? =0 是 x 0 为极值点 的必要而不充分条件。 (2)给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑 f ?( x0 ) ? 0 ,又要考 虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化,否则条件没有用完,这一点一定要切记! 8、函数的最大值和最小值: (1)定义:函数 f ( x ) 在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点 值中的“最大值” ;函数 f ( x ) 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端 点值中的“最小值” 。 (2)求函数 y ? f ( x ) 在[ a , b ]上的最大值与最小值的步骤: (1)求函数 y ? f ( x ) 在 ( a , b )内的极值(极大值或极小值)(2)将 y ? f ( x ) 的各极值与 f ( a ) , f (b) 比较,其 ; 中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。如(1)函数 y ? 2 x ? 3 x ? 12 x ? 5 在[0,
3 2

3]上的最大值、最小值分别是______(答:5; ? 15 )(2)用总长 14.8m 的钢条制作一个 ; 长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长 0.5m。那么高为多少时容器 的容积最大?并求出它的最大容积。 (答:高为 1.2 米时,容积最大为

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cm 3 )

特别注意: (1)利用导数研究函数的单调性与最值(极值)时,要注意列表! (2)要善 于应用函数的导数,考察函数单调性、最值(极值),研究函数的性态,数形结合解决方程不 等式等相关问题。

<练习题>
一、填空题
1.下列求导运算正确的是________. 1? 1 1 ? ①?x+ ?′=1+ 2 ②(log2x)′= x? x xln2 ? x x 2 ③(5 )′=5 log5e ④(x cosx)=2xsinx 3 2.曲线 y=x +x+1 在点(1,3)处的切线方程是________. 3.函数 y=ax2+1 的图象与直线 y=x 相切,则 a 等于________. 1 4.若函数 f(x)= x3-f′(1)x2+x+5,则 f′(1)的值为________. 3

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5.曲线 y=x2-3x 上点 P 处的切线平行于 x 轴,则 P 点坐标为________. 6.函数 f(x)=x3+ax2+3x-9,已知 f(x)在 x=-3 处取得极值,则 a 等于 ________. 7.函数 y=f(x)=2x3 -3x2-12x+5 在[0,3]上的最大值和最小值依次是 ________. 1 8.已知物体的运动方程是 s= t3-3t2+9t,则当 t=________时,加速度 3 为 10. 9.函数 y=2x+sinx 的单调增区间为________. 10.函数 f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值为正数,极小值为负数,则 a 的 取值范围为________. 11. 对于 R 上可导的任意函数 f(x), 若满足(x-1)f′(x)≥0, f(0)+f(2) 则 与 2f(1)的大小关系为________. 12.对任意 x∈R,函数 f(x)=x3+ax2+7ax 不存在极值点的充要条件是 ________. 13.如果函数 y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:①函数 y 1 1 =f(x)在区间(-3,- )内单调递增;②y=f(x)在区间(- ,3)内单调递增; 2 2 ③y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;④当 x=2 时,函数 y=f(x)有极小值;⑤ 1 当 x=- 时,函数 y=f(x)有极大值.上述判断中正确的是________. 2

14.某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品.若该商品零售价 定为 P 元,销售量为 Q,则销量 Q(单位:件)与零售价 P(单位:元)有如下关系: Q=8300-170P-P2.最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)________.

二、解答题(解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.已知函数 f(x)=x +mx -m x+1(m 为常数,且 m>0)有极大值 9. (1)求 m 的值; (2)若斜率为-5 的直线是曲线 y=f(x)的切线,求此切线方程.
3 2 2

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16.设函数 f(x)=x3-3ax+b(a≠0). (1)若曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切,求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值点.

17. (本小题满分 14 分)设函数 f(x)= x3+bx2+cx+d(a>0), 且方程 f′(x) 3 -9x=0 的两个根分别为 1,4. (1)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围.

a

18.(2011 年高考广东卷)(本小题满分 16 分)设 a>0,讨论函数 f(x)=ln x +a(1-a)x2-2(1-a)x 的单调性.

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19.(本小题满分 16 分)(2011 年苏州模拟)已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 x=3 是 f(x)的极值点,求 f(x)在 x∈[1,a]上的最小值和最大值; (2)若 f(x)在 x∈[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围.

20.(本小题满分 16 分)设 a 为实数,函数 f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)求证:当 a>ln2-1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1.

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参考答案
一.填空题
1 1 1 1.解析: ∵(x+ )′=1- 2, ∴(logax)′= , x)′=5xln5; 2cosx)′=2xcosx+x2(- (5 (x x x xln2 sinx).∴②正确. 答案:② 2.解析:由 y′=3x2+1,得 y′|x=1=4,所以所求方程为 y-3=4(x-1),即 y=4x-1. 答案:y=4x-1 1 3.答案: 4 4.解析:由已知,得 f′(x)=x2-2f′(1)x+1, 2 则 f′(1)=1-2f′(1)+1,故 f′(1)= . 3 2 答案: 3 3 3 9 5.解析:y′=2x-3,由题意,得 2x-3=0,从而 x= ,故 P 点的坐标为( ,- ). 2 2 4 3 9 答案:( ,- ) 2 4 6.解析:∵f′(x)=3x2+2ax+3, f(x)在 x=-3 时取得极值,∴f′(-3)=30-6a=0.a 又 =5. 答案:5 7.解析:y′=6x2-6x-12=6(x2-x-2)=6(x-2)(x+1). 令 y′=0,知 x=2 或 x=-1. ∴在[0,2]上 f′(x)≤0,在[2,3]上 f′(x)≥0. ∴y=2x3-3x2-12x+5 在[0,2]上递减,在[2,3]上递增. ∴ymin=f(2)=16-12-24+5=-15. 而 f(0)=5,f(3)=2×27-3×32-12×3+5=-4. ∴ymax=f(0)=5. 答案:5,-15 8.解析:s′=t2-6t+9=v 即瞬时速度,再对 v 求导才是加速度,令 v′=2t-6=10, 则 t=8. 答案:8 9.解析:y′=2+cosx,由 y′=2+cosx>0,知 x∈R. 答案:(-∞,+∞) 10.解析:f′(x)=3(x-a)(x+a)(a>0), 可知 f(x)在 x=-a 处取得极大值, 在 x=a 处取得极小值, ?f?-a?>0 ? 2 ∴?f?a?<0 ,解得 a> . 2 ?a>0 ? 2 答案:? ,+∞? 2 ? ? 11.解析:当 x-1≥0,即 x≥1 时,f′(x)≥0, ∴f(x)在[1,+∞)上递增,∴f(1)<f(2). 当 x-1≤0,即 x≤1 时,f′(x)≤0,

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∴f(x)在(-∞,1]上递减,∴f(1)<f(0). ∴2f(1)<f(0)+f(2). 答案:f(0)+f(2)>2f(1) 12.解析:f′(x)=3x2+2ax+7a,当 Δ=4a2-84a≤0,即 0≤a≤21 时,f′(x)≥0 恒成 立,函数不存在极值点. 答案:0≤a≤21 13.解析: 由图知, x∈(-∞, -2)∪(2,4)时, f′(x)<0, x∈(-2,2)∪(4, +∞)时, f′(x)>0, ∴f(x)在(-∞,-2)和(2,4)上递减,在(-2,2)和(4,+∞)上递增,经分析只有③正确. 答案:③ 14.解析:L(P)=PQ-20Q=Q(P-20) =(8300-170P-P2)(P-20) =-P3-150P2+11700P-166000, 所以,L′(P)=-3P2-300P+11700. 令 L′(P)=0,解得 P=30 或 P=-130(舍去). 此时,L(30)=23000. 根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件 30 元时,最大毛利润为 23000 元. 答案:23000 元

二.解答题
15.解:(1)f′(x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m), 1 令 f′(x)=0,则 x=-m 或 x= m. 3 当 x 变 化 时 , f′(x) 与 f(x) 的

















从而可知,当 x=-m 时,函数 f(x)取得极大值 9. 即 f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,所以 m=2. (2)由(1)知,f(x)=x3+2x2-4x+1, 依题意知 f′(x)=3x2+4x-4=-5, 1 所以 x=-1 或 x=- . 3 1 68 又 f(-1)=6,f(- )= , 3 27 所以切线方程为 y-6=-5(x+1)或 68 1 y- =-5(x+ ), 27 3 即 5x+y-1=0 或 135x+27y-23=0. 16.解:(1)f′(x)=3x2-3a ∵曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切, ?f′?2?=0 ?3?4-a?=0 ?a=4, ? ? ? ∴? ?? ?? ? ? ? ?f?2?=8 ?8-6a+b=8 ?b=24. (2)∵f′(x)=3(x2-a)(a≠0), 当 a<0 时,f′(x)>0, 函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增, 此时函数 f(x)没有极值点.

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当 a>0 时,由 f′(x)=0?x=± a, 当 x∈(-∞,- a)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(- a, a)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈( a,+∞)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. ∴此时 x=- a是 f(x)的极大值点,x= a是 f(x)的极小值点. a 17.解:由 f(x)= x3+bx2+cx+d 得 3 2 f′(x)=ax +2bx+c. 因为 f′(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0 的两个根分别为 1,4, ? ?a+2b+c-9=0, 所以? (*) ?16a+8b+c-36=0. ?
? ?2b+c-6=0, (1)当 a=3 时,由(*)式得? ? ?8b+c+12=0. 解得 b=-3,c=12. 又因为曲线 y=f(x)过原点,所以 d=0. 故 f(x)=x3-3x2+12x. a (2)由于 a>0,所以“f(x)= x3+bx2+cx+d 在(-∞,+∞)内无极值点”等价于“f′(x)=ax2 3 +2bx+c≥0 在(-∞,+∞)内恒成立.” 由(*)式得 2b=9-5a,c=4a. 又 Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9), ? ?a>0, 解? 得 a∈[1,9], ?Δ=9?a-1??a-9?≤0 ? 即 a 的取值范围是[1,9]. 18.解:函数的定义域为(0,+∞), 1 f′(x)= +2a(1-a)x-2(1-a) x 2a?1-a?x2-2?1-a?x+1 = , x 令 g(x)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1, 1 当 a=1 时,g(x)=1,f′(x)= >0,此时 f(x)在(0,+∞)上单调递增. x 当 a≠1 时,判别式 Δ=[-2(1-a)]2-4· 2a(1-a) =4(1-a)(1-3a). ?1-a?- ?1-a??1-3a? 1 当 a>1 或 0<a< 时,Δ>0,方程 g(x)=0 有两个不等实根,x1= , 3 2a?1-a?

?1-a?+ ?1-a??1-3a? x2= , 2a?1-a? 若 a>1,g(x)的图象开口向下,x1>0,x2<0(舍去). 在(0,x1)上,g(x)>0, ∴f′(x)>0,即 f(x)在(0,x1)上单调递增;在(x1,+∞)上,g(x)<0, ∴f′(x)<0,即 f(x)在(x1,+∞)上单调递减. 1 若 0<a< ,g(x)的图象开口向上,0<x1<x2. 3 在(0,x1)和(x2,+∞)上,g(x)>0,f′(x)>0, ∴f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增. 在(x1,x2)上,g(x)<0,f′(x)<0, ∴f(x)在(x1,x2)上单调递减.

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高二数学复习讲义

1 当 ≤a<1 时,g(x)的图象开口向上,Δ≤0,∴g(x)≥0, 3 ∴f′(x)≥0. ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增. 1 综上所述,当 0<a< 时, 3 ? ?1-a?- ?1-a??1-3a?? f(x)在?0, ?, 2a?1-a? ? ?

??1-a?+ ?1-a??1-3a? ? ? ,+∞?上单调递增, 2a?1-a? ? ? ??1-a?- ?1-a??1-3a? 在? , 2a?1-a? ?
?1-a?+ ?1-a??1-3a?? ? 2a?1-a? ? 1 上单调递减;当 ≤a≤1 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当 a>1 时,f(x)在 3 ? ?1-a?- ?1-a??1-3a?? ?0, ?上单调递增, 2a?1-a? ? ? 在?

??1-a?- ?1-a??1-3a? ? ,+∞?上单调递减. 2a?1-a? ? ?

19.解:(1)f′(x)=3x2-2ax-3,f′(3)=0, 即 27-6a-3=0, 1 ∴a=4.f′(x)=0 的两根为- ,3. 3 1 ∴f(x)=x3-4x2-3x 有极大值点 x=- ,极小值点 x=3, 3 1 此时 f(x)在 x∈[- ,3]上是减函数; 3 在 x∈[3,+∞)上是增函数. f(1)=-6,f(3)=-18, f(a)=f(4)=-12, ∴f(x)在 x∈[1,a]上的最小值是-18,最大值是-6. (2)由题知 f′(x)=3x2-2ax-3≥0,x∈[1,+∞)恒成立. 3 1 ∵x≥1,∴a≤ (x- ), 2 x 当 x≥1 时, 3 1 3 (x- )是增函数,其最小值为 (1-1)=0, 2 x 2 ∴a≤0. 20.解:(1)由 f(x)=ex-2x+2a,x∈R 知 f′(x)=ex-2,x∈R. 令 f′(x)=0 得 x=ln2. 于是当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

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高二数学复习讲义

故 f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞),f(x)在 x=ln2 处取得极 小值,极小值为 f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a). (2)证明:设 g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R. 于是 g′(x)=ex-2x+2a,x∈R. 由(1)知当 a>ln2-1 时, g′(x)最小值为 g′(ln2)=2(1-ln2-a)>0. 于是对任意 x∈R,都有 g′(x)>0, 所以 g(x)在 R 内单调递增. 于是当 a>ln2-1 时,对任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)>g(0). 而 g(0)=0,从而对任意 x∈(0,+∞), 有 g(x)>0,即 ex-x2+2ax-1>0,故 ex>x2-2ax+1.

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