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平面几何(基本方法5)


高中数学培优讲座
第三讲:平面几何证明基本方法——面积法、割补法、变换法 (二)割补法
在求解平面几何问题时,根据问题的题设和结论,合理适当地将原来的图形割去 一部分,或补上一部分,变成一个特殊的、简单的、整体的、熟悉的图形,使原来问 题的本质得到充分显示,通过对新图形的分析,探索原来问题的答案,我们把这种方 法称之为割补法.

几种常见的

割补策略: 1.2 几种常见的割补策略:
( 1) 补出三角形 : ) 补出三角形: ,E,F 分别是 AB, 例题 1:梯形 ABCD 中,AB//CD,∠A+∠B= 90 0 ,AB=a,CD=b, CD 的中点,求 EF 的长度.

割补法证明举例: 1.1 割补法证明举例:如图,在四边形 ABCD 中,
∠B =∠C= 60 ,BC=1,以 CD 为直径作圆与 AB 相切 于点 M,且交 BC 于点 E,求线段 BE 的长度. 法一: 割出等腰三角形) (割出等腰三角形 法一 : 割出等腰三角形 ) (
0

例题 2:在△ABC 中,AC=BC,∠ACB= 90 0 ,D 是 AC 上一点,且 AE 垂直 BD 的延 1 长线于 E,又有 AE = BD ,求证:BD 平分∠ABC. 2

(割出 平行四边形) 法 二 : 割出 平行四边形 ) ( 割出平行四边形

例题 3:凸六边形 ABCDEF 的六个内角都相等,AB=a ,BC=b,CD=c,DE=d,求六
边形的面积. (割出 法 三 : 割出 正方形 ) ( 割出正方形

(补出正三角形 法 四 : 补出正三角形 ) ( 补出正三角形)

( 2) 补出四边形 : ) 补出四边形: 在等腰三角形 ABC 的两腰 AB, 上分别取两点 E 与 F, AE=CF, BC=2, AC 使 若 例题 4: 求证: EF ≥ 1 .

(补出直角三角形 法 五 : 补出直角三角形 ) ( 补出直角三角形)

高中数学培优讲座
第三讲:平面几何证明基本方法——面积法、割补法、变换法 (三)变换法 1
某些平面几何同题,由于图形中的几何性质比较隐晦,条件分散,题设与结论间 的某些元素的相互关系在所给的图形中不易发现,使之难以思考而感到束手无策,如 果我们能对图形作各种恰当的变换,把原图形或原图形中的一部分从原来的位置变换 到另一个位置,或作某种变化,往往能使图形的几何性质明白显现,分散的条件得到 汇聚,就能使题设和结论中的元素由分散变为集中,相互间的关系变得清楚明了,从 而能将求解问题灵活转化,变难为易,我们把这种恰当地进行图形变换来求解平面几 何间题的方法称为几何变换法. 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换,平 面几何中的几何变换主要有合同变换、相似变换、等积变换以及反演变换.

(2)轴反射变换:把平面上图形中任一点都变到它关于定直线 l 的对称点的变换,叫 )轴反射变换: 做关于直线 l 的轴反射变换,直线 Z 叫做反射轴,显然,在轴反射变换下,对应线段 相等,两对应直线或者相交于反射轴上,或者与反射轴平行.通过轴反射变换构成(或 部分构成)轴对称图形是处理平面几何问题的重要思想方法.

例题 2: 设 ABCD 是一块正方形纸板,用平行于 BC 的直线 PQ 和 RS 将之等分为三
个矩形,折叠纸板,使点 C 落到 AB 上 C ' 点处,S 点落在 PQ 上的 S ' 点处,且 BC ' = 1 , 试求 AC ' 的长.

合同变换: 1.1 合同变换:在一个几何变换(以下简称变换)下,如果任意两点之间的距离等于 变化后的两点之间的距离,则称 f 是一个合同变换,合同变换只改变图形的相对位置, 不改变其形状和大小、合同变换有三种基本类型:平移变换,轴反射变换,旋转变换. (1)平移变换:将平面图形上的每一个点都按一个定方向移动定距离的变换叫做平移 )平移变换: 变换,定方向称为平移方向,定距离称为平移距离,显然,在平移变换下,两对应线 段平行(或共线)且相等,因此,凡已知条件中含有平行线段,特别是含有相等线段 的平面几何间题,往往可用平移变换简单处理,平移时可移线段,也可移角或图形. 例题 1:如图,△ABC 中,在 AB,AC 上分别取 BE,CD,使 BE=CD,连 BD、CE,
若 BD、CE 的中点 M、N 的连线交 AB 于 P,交 AC 于 Q,求证:AP=AQ.

(3)旋转变换:将平面上图形中每一点都绕一个定点 O 按定方向(逆时针或顺时针)转 )旋转变换: 动定角 θ 的变换,叫做旋转变换,的点 O 叫做旋转中心, θ 叫做转幅或旋转角,易知, 在旋转变换下,两对应线段相等,两对应直线的交角等于转幅,特别是在转幅为好的 旋转变换下,两对应线段垂直且相等. 对于已知条件中含有正方形或等腰三角形或其他特殊图形问题,往往可运用旋转 变换来处理. ,现固定 例题 3:如图,△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形(AC>AE) △ABC 而将△ADE 绕 A 在平面上旋转,试证:不论△ADE 旋转到什么位置,线段 EC 上必存在一点 M,使△BDM 为腰直角三角形.


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