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三角与向量


三角与向量
1.如图,在平面直角坐标系中,锐角 ? 和钝角 ? 的终边分别与单位圆交于 A , B 两点. ⑴如果 A 、 B 两点的纵坐标分别为
4 5



1 2

,求 cos? 和 s in ? ; B y 1 3

A
x

⑵在⑴的条件

下,求 c s ? ?? 的值; o( )
?? ?? ? ?? ? ⑶已知点 C (?1 , 3) ,求函数 f( )? AO 的值域. ? O? C

O

2. 如图,在△ABC 中,已知 B=

?
3

,AC=4 3 ,D 为 BC 边上一点.

⑴若 AD=2,S△ADC=2 3 ,求 DC 的长; ⑵若 AB=AD,试求△ADC 的周长的最大值.

2题 3.已知函数 f ( x ) ? s in ( 2 x ?
?
6 ) ? 2 c o s x ? 1( x ? R ).
2

⑴求 f ( x ) 的单调递增区间; ⑵在 ? A B C 中,三内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知, b , a , c 成等差数列,且
AB ? AC ? 9 ,求 a 的值.

4. 已知函数 f ( x ) ? 2 sin ? x ? cos ? x ? 2 b cos

2

? x ? b(其中 b ? 0 , ? 0 ) ? 的最大值为 2,
?
2

直线 x ? x 1 、 x ? x 2 是 y ? f ( x ) 图象的任意两条对称轴,且 | x 1 ? x 2 | 的最小值为 ⑴求 b , ? 的值; ⑵若 f ( a ) ?
2 3



,求 sin(

5? 6

? 4 a ) 的值.

5.已知函数 f ( x ) ?

3 s in x c o s x ? c o s x ?
2

1 2

,x? R .

(1)求函数 f ( x ) 的最小值和最小正周期; (2)已知 ? A B C 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c ,且 c ? 3 , f ( C ) ? 0 ,若向量
?? ? m ? (1, s i nA )与 n ? ( 2 , sin B ) 共线,求 a、 b 的值.

6.如图,在 ? A B C 中,点 D 在 B C 边上, A D ? 3 3 , s in ? B A D ?
cos ? A D C ? 3 5

5 13

, A



(1)求 sin ? A B D 的值; (2)求 B D 的长. B A D A C A

4

1. 解: (1)根据三角函数的定义,得 s i n ? ? 又 ? 是锐角,所以 c o s ? ? (2)由(1)知 s i n ? ?
12 13 3 5

4 5

, s in ? ?

12 13




5 13

.因为 ? 是钝角,所以 cos ? ? ?



o s ( )c c ? i ? s s i nn ( ? ? ? 所以 c ? o o s s ? ) ? ? .

5 3 1 43 ? ? ?? ?? 1 52 3 3 1 3 6 55

(3)由题意可知, O?cs , ) O (?,). A ( o? i ?, C? 1 3 sn
() A ? s ? ? s ? ) ? ? O i n c s 2 n 所以 f?O C 3 ?o ?i( ? , 6 ? ? ? ? ? ? ? ?

?? ? ?

?? ??

?

因为 0 ? ? ?

?
2

,所以 ?

?
6

?? ?

?
6

?

?
3

1 ? 3 ( , ? ?sin a? ) ? 2 6 2

从而 ? ?f( )? 3 ,因此函数 f( )? AO 的值域为 ( ?1, 3) . 1 ? ? O? C 2.解:(Ⅰ) ? S ? D A C ? 2 3 , ? ∴ s in ? D A C ? ∴?DAC ?
?
6 DC
2

?? ?? ? ?? ?

1 2

? A D ? A C ? s in ? D A C ? 2 3 ,

1 2

.∵ ? D A C ? ? B A C ? ? ?

?
3

?

2? 3

,

.在△ADC 中,由余弦定理,得
?
6

? AD

2

? AC

2

? 2 AD ? AC cos

,

? DC

2

? 4 ? 48 ? 2 ? 2 ? 4 3 ?

3 2

? 28 ,

? DC ? 2 7 .

(2)∵ A B ? A D , B ?

?
3

,∴ ? A B D 为正三角形,

在 ? A D C 中,根据正弦定理,可得
AD sin C ? 4 3 sin 2? 3 ? DC ?? ? sin ? ?C? ? 3 ?

,? A D ? 8 sin C , D C ? 8 s in ?

??

? ?C ?, ? 3 ?

∴ ? A D C 的周长为
?? ? ? A D ? D C ? A C ? 8 s in C ? 8 s in ? ? C ? ? 4 3 ? 3 ?
? ? ?1 ? 3 1 3 ? 8 ? sin C ? cos C ? sin C ? ? 4 3 ? 8 ? sin C ? cos C ? ? 4 3 ? ? ?2 ? 2 2 2 ? ? ? ?

? ? ? ? 8 s in ? C ? ?? 4 3 3 ? ?

,
?
3

? ?ADC ?

2? 3



?0? C ?



?

?
3

? C ?

?
3

?

2? 3



?当C ?

?
3

?

?
2

, 即 C=

?
6

时 , f ? A D C 最 大 值 1 6 + 8 3 .8 ? 4 3 . ? ? 有 的周长最大值为

3.解: (1) f ( x ) ? sin( 2 x ? ? ) ? 2 cos 2 x ? 1 ?
6

3 sin 2 x ? 1 cos 2 x ? cos 2 x 2 2

?

3 sin 2 x ? 1 cos 2 x = sin( 2 x ? ? ) 2 2 6

由 b , a , c 成等差数列得: 2 a ? b ? c , 由 AB ? AC ? 9 得 bc cos A ? 9 , 1 bc ? 9 , bc ? 18
2

由余弦定理得, a ? b ? c ? 2 bc cos A ? ( b ? c ) ? 3 bc ,
2 2 2 2

2 于是 a ? 4 a ? 54 , a ? 18 , a ? 3 2
2 2

4.解:⑴ f ( x ) ? sin 2 ? x ? b cos 2 ? x ?

1? b

2

sin( 2 ? x ? ? ) ,

T ? 2?

?
2

?? , T ?

2? 2?

?

? ?

,所以 ? ? 1 , 因为 b ? 0 ,所以 b ?
2 3

解 1? b

2

? 2 得b ? ?

3 ,

3 。
) ? 1 3

⑵ f ( x ) ? 2 sin( 2 x ?
5? 6 ? 2 sin
2

?
3

),

由 f (a ) ?
?
3

得 sin( 2 ? ?
?
3

?
3 )



sin(

? 4 ? ) ? sin[

3? 2

? 2 ( 2? ? 7 9

)] ? ? cos 2 ( 2 ? ?

( 2? ?

?
3

) ?1 ? ?



17 .( 1 )

f (x) ? ? sin( 2 x ?

3 sin x cos x ? cos

2

x ?

1 2

?

3 2

sin 2 x ?

1 2

cos 2 x ? 1

?
6

)?1 ? 2 , 最小正周期为为

? ? ? ? ? ? ? 3分

? f ( x )的最小值为

?. ?
6 ) ? 1 ?

? ? ? ? ? ? ? 5分

(2) 由 f ( C ) ? sin( 2 C ? ?0 ? C ? ?, ?

?
6

)?1 ? 0

即 sin( 2 C ? 11 ? 6 , ? 2C ?

?
6

? 2C ?

?
6

?

?
6

?
2

,? C ?

?
3

? ? 7分

? m 与 n共线,? sin B ? 2 sin A ? 0 .......... .......... .......... .....( 8 分)

由正弦定理:

a sinA

?

b sin B

,

得 b ? 2a, ①

2 2 又 c=3,由余弦定理,得 9 ? a ? b ? 2 ab cos

?
3

,



解方程组①②,得 ?

? a ?

3

?b ? 2 3
3 5



6.解: (1)因为 c o s ? A D C ? 所以 s in ? A D C ? 因为 s in ? B A D ? 所以 c o s ? B A D ?
5 13


4 5

1 ? cos ? A D C ?
2




1 ? s in ? B A D ?
2

12 13



因为 ? A B D ? ? A D C ? ? B A D , 所以 sin ? A B D ? sin ? ? A D C ? ? B A D ?
? sin ? A D C co s ? B A D ? co s ? A D C sin ? B A D

?

4 5

?

12 13

?

3 5

?

5 13

?

33 65


BD ? AD s in ? A B D

(2)在△ A B D 中,由正弦定理,得
33 ? ? 5

s in ? B A D



所以 B D ?

A D ? s in ? B A D s in ? A B D

13 ? 25 . 33 65


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