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2015年湖南长沙长郡中学初一实验班招生考试数学试题


2015 年湖南长沙长郡中学初一实验班招生考试
试数学试题

2015 年长郡中学初一实验班分班考

欢迎你参加考试!做题时要认真审题,积极思考,细心答题,充分发挥你的水平 (时量: 60 分钟;满分:100 分 注意合理分配时间 )20110809 一、选择题: (每个题目只有一个正确答案,每题 6 分,共 36 分) 1、平面

内有 4 条相交直线,它们的交点最多有 m 个,最少有 n 个,则 m-n=( A.7 B.5 C.4 D.3 2 2、若(x-1) 的算术平方根是x-1,则x的取值范围是( ) A.x<1 B.x≤1 C.x>1 D.x≥1

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3、 直角三角形纸片的两直角边长分别为 6, 8, 现将 △ ABC 如图那样折叠, 使点 A 与点 B 重合, 折痕为 DE , 性别 则 CE 的长为( A.1 B. 2 ) C. C D. E B A

7 4

3 2

6

8 (第 3 题)

4、下列五个命题: (1)若直角三角形的两条边长为 3 和 4,则第三边长是 5;

D

(2) a =a(a≥0) ; ' (3)若点 P(a,b)在第三象限,则点 P (-a,-b+1)在第一象限; (4)顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形; (5)两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等。 其中正确命题的个数是( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
2 5、已知抛物线 y ? x ? bx ? c 的系数满足 2b ? c ? 5 ,则这条抛物线一定经过点(

? ?

2

姓名

)

A. (?2,?1) B. (?1,?2) C. (2,?1) D. (?2,1) 2 2 6、关于 x、y 的方程 x +xy+y =29 的整数解(x、y)的组数为( ) A、2组 B、3组 C、4组 D、无穷多组 二.填空题:(每题 5 分,共 30 分) 7、观察分析下列数据,寻找规律:已知一列实数1、 5 、3、 13 、 17 、……,则第n个数是__________; 8、如图所示,菱形 ABCD 边长为 a,点 O 在对角线 AC 上一点,且 OA=a,OB=OC=OD=1,则 a 等于( ) 9、如图,在 Rt ?ABC 中,D 为斜边 AB 上一点,AD=5,BD=4,四边形 CEDF 为正方形,则图中阴影部 分的面积为 ;

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第 8 题图

第 9 题图

第 10 题图

10、 如图 1 所示, 在直角梯形 ABCD 中, AB∥CD, ∠B=90° , 动点 P 从点 B 出发, 沿梯形的边由 B→C→D→A 运动,设点 P 运动的路程为 x,△ABP 的面积为 y,把 y 看作 x 的函数,函数图象如图 2 所示,则△ABC 的 面积为

11、若不论 x 取何值时,分式

1 总有意义,则 m 的取值范围是_________ x ? 2x ? m ? 3
2

12、以 O 为圆心的两个同心圆的半径分别为 3 ? 2 cm 和 3 ? 2 cm,⊙O1 与这两个圆都相切, 则⊙O1 的半径是 (仔细想想) 三、解答题(本大题共 3 题,13、14 题 11 分,15 每题 12 分,共 34 分) 13、某仪器厂计划制造A、B两种型号的仪器共80套,该公司所筹资金不少于2090万元,但不超过2096万元, 且所筹资金全部用于制造仪器,两种型号的制造成本和售价如下表: A 成本(万元/套) 售价(万元/套) 25 30 B 28 34

?

?

2

?

?

2

(1)该厂对这两种型号仪器有哪几种制造方案? (2)该厂应该选用哪种方案制造可获得利润最大? (3)根据市场调查,每套B型仪器的售价不会改变,每套A型仪器的售价将会提高 a 万元( a >0) ,且所制造 的两种仪器可全部售出,问该厂又将如何制造才能获得最大利润?

14、一自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶 5000 千米后该轮胎报废;若把它安装在后轮,则自 行车行驶 3000 千米后该轮胎报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎。如果交换前、后轮胎,要使一辆 自行车的一对新轮胎同时报废, 那么这辆自行车将能行驶多少千米? (假设每个轮胎报废时总磨损量为 k 时, 轮胎报废)

15、如图,已知抛物线与 x 轴交于 A(-4,0)、B(2,0)两点,与 y 轴交于点 C(0,-4),矩形 DEFG 的一条 边 DG 在线段 AB 上,顶点 E、F 分别在线段 AC、BC 上. (1)求抛物线的函数关系式; (2)设点 D 的坐标为(m,0),矩形 DEFG 的面积为 S,求 S 与 m 的函数关系,并写出 m 的取值范围; (3)当矩形 DEFG 的面积 S 取最大值时,连接 GE 并延长至点 M,使 ME=k· GE,若点 M 不在抛物线上, 求 k 的取值范围. y

D A O

G B x

E C

F

参考答案及评分标准: 一.选择题: (每题 6 分,共 36 分) 1-6:BDC, CAC 二.填空题: (每题 5 分,共 30 分) 7、 4n ? 3 10、16 8、 11. 5+1 2 m>4 12. 9、10 5 或2 6

三、解答题: (13、14 每题 11 分,15 题 12 分,共 34 分) 13 解: (1) 设A种型号的仪器造x套,则B种型号的仪器造(80-x)套, 由题意得: 2090? 25x ? 28?80 ? x ? ? 2096 解之得: 48 ? x ? 50 所以 x=48、49、50 三种方案: 即:A型48套,B型32套;A型49套,B型31套;A型50套,B型30套。………………4分 (2)该厂制造利润 W (万元)由题意知: W ? 5x ? 6?80 ? x? ? 480? x 所以当x=48时, W最大=432 (万元) , 即:A型48套,B型32套获得利润最大;…………………………7分 (3)由题意知 W ? ?5 ? a ?x ? 6?80 ? x ? ? 480? ?a ? 1?x ………………8分

所以:① 当 0 ? a ? 1 时,x=48, W 最大,即A型48套,B型32套;…………………9分 ② 当 a ? 1 时, a ? 1 ? 0 三种制造方案获得利润相等;…………………………10分 ③ 当 a ? 1 时,x=50, W 最大,即A型50套,B型30套…………………………11分 k 14、解 设每个轮胎报废时总磨损量为 k,则安装在前轮的轮胎每行驶 1km 磨损量为 ,安装在后轮的 5000 k 轮胎每行驶 1km 的磨损量为 ,又设一对新轮胎交换位置前走了 xkm,交换位置后走了 ykm,分别以一 3000

ky ? kx ? ?k ? k(x ? y) k(x ? y) ? 5000 3000 ;两式相加得 ? ? 2k 个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有 ? ky kx 5000 3000 ? ? ?k ? ? 5000 3000
则 x+y=3750 ∴这辆自行车将能行驶 3750 千米

15、解: (1)由题意,可设抛物线的函数关系式为 y=a(x-2)(x+4) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 把 C(0,-4)代入,得

1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 2 1 ∴抛物线的函数关系式为 y= (x-2)(x+4) 2 1 2 即 y= x +x-4. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 2
-4=a(0-2)(0+4),∴a= (2)由题意, 又

AD DE ,又 AO=OC=4,AD=4+m,∴DE=4+m. · · · · · · · 4分 = AO OC

BG GF m ,BO=2,GF=DE,∴BG=2+ . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 = BO OC 2 m )] 2

∴DG=(AO+BO)-(AD+BG) =(4+2)-[(4+m)+(2+ =-

3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 m· 2
3 3 2 m· (4+m)=- m -6m(-4<m<0) · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2 2

∴S=DG· DE=- (3)∵S=-

2 3 2 3 m -6m=- (m+2) +6 2 2

∴当 m=-2 时,矩形的面积最大,此时 E(-2,-2),G(1,-2). · · · · · 8分 设直线 EG 的解析式为 y=kx+b,易求得 k=

2 2 ,b=- . 3 3

2 2 ∴y= x- . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 3 3

2 2 2 1 2 x- = x +x-4,整理得 3x +2x-20=0. 3 3 2

y

H D A E N C O

G B F

x

解得 x1=

-1+ 61 -1- 61 >0(舍去) ,x2= .· · · · · · · · · · · 10 分 3 3 -1- 61 . 3

设射线 GE 与抛物线相交于点 N,则点 N 的横坐标为 过 N 作 x 轴的垂线交 x 轴于 H,则

NE HD = = DG GE

-2-

-1- 61 -5+ 61 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 = 9 3
-5+ 61 . 9

∴若点 M 不在抛物线上,即点 M 不与 N 重合时,k 的取值范围是 k>0 且 k≠

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分


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