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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(北师大版)必修二课时作业 1.7.2柱、锥、台的体积]


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课时提升作业(十三)
柱、锥、台的体积

一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.(2014·济源高一检测)已知高为 3 的直三棱柱 ABC-A′B′C′ 的底面是边长为 1 的正三角

形,则三棱锥 B′-ABC 的体积 为( A. C. ) B. D.

【解析】选 D.由题意知 S△ABC= ×12= , 所以 VB′-ABC= S△ABC×3= . 2.(2014·驻马店高一检测)已知圆柱的侧面展开图是矩形,其面积为 S,圆柱的 底面周长为 C,则圆柱的体积是( A. B. C. ) D.

【解析】选 D.由圆柱的底面周长为 C,可得底面圆的半径为 R= ,又由圆柱的 侧面积为 S 可得圆柱的高为 h= ,所以圆柱的体积 V=π× × = .

3.(2014·宿州高一检测)将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使 BD=a, 则三棱锥 D-ABC 的体积为( A. B. ) C. a3 D. a3

【解析】选 D.设正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 E,沿 AC 折起后依题意 得,当 BD=a 时,BE⊥DE,所以 DE⊥平面 ABC,于是三棱锥 D-ABC 的高为 DE= a, 所以三棱锥 D-ABC 的体积 V= 〃 a2〃 a= a3. 【误区警示】解答本题时常因弄不清折叠前后线段的位置关系及数量关系的变 化而导致错误. 【变式训练】如图,E,F 分别为正方形 ABCD 的边 BC,CD 的中点,沿图中虚线将边长为 2 的正方形折起来,围成一 个三棱锥,求此三棱锥的体积. 【解析】折叠起来后,B,D,C 三点重合为 S 点,则围成的 三棱锥为 S-AEF,这时 SA⊥SE,SA⊥SF,SE⊥SF,且 SA=2,SE=SF=1,所以此三 棱锥的体积 V= 〃 〃1〃1〃2= . 4.如图所示,在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是 A1B1 上一点,且 PB1= A1B1,则多面体 P-BCC1B1 的体积 为( A. C.4 ) B. D.16

【解析】选 B.由题意可得 PB1= A1B1=1,且 PB1⊥平面 BCC1B1,由棱锥的体积公式 = ×4×4×1= . 5.(2014·安徽高考)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为 ( )

A.21+ C.21

B.18+ D.18

【解题指南】将三视图还原为原几何体,原几何体是一个正方体截去两个全等 小正三棱锥所得的组合体. 【解析】选 A.由三视图可知原几何体是一个正方体截去两 个全等的小正三棱锥.正方体的表面积为 S=24, 两个全等的 三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点,侧面是三个全等的 直角边长为 1 的等腰直角三角形,这 6 个等腰直角三角形 面积的和为 3,三棱锥的底面是边长为 和为 ,故所求几何体的表面积为 24-3+ 的正三角形,这 2 个正三角形面积的 =21+ .

6.(2014·佛山高一检测)圆台的上、下底面的面积分别为π ,4π ,侧面积是 6π ,这个圆台的体积是( A. B.2 π ) C. D.

【解题指南】设出上下底面半径及母线长,可构造它们的方程组,进而求出, 代入体积公式解决. 【解析】选 D.设圆台上、下底面半径为 r′,r,母线长为 l,

2 ??r′ =?, =1, ? r′ ? 2 ? 则 ??r ? 4?, 所以 ? r ? 2, ?l =2, ??(r′ ? r) l =6?, ? ?

) 2 = 3, 圆台的高 h= l 2 ? (r ? r′ =

, = .

所以 V 圆台= (π+

+4π)〃

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.(2013 · 辽 宁 高 考 ) 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该 几 何 体 的 体 积 是 ________.

【解析】由三视图可以得到原几何体是一个圆柱里面挖去了一个长方体,所以 该几何体的体积为 V=4π×4-16=16π-16. 答案:16π-16 8.(2014·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体 积为____________m3.

【解析】所给几何体由一个圆锥和一个圆柱组合而成, V= ×2×π×22+π×12 ×4= 答案: 9.已知圆锥的母线长为 5cm, 侧面积为 15π cm2, 则此圆锥的体积为________cm3. 【解析】 设圆锥的底面半径为 r, 高为 h, 则有πrl=15π知 r=3, 所以 h= 所以其体积为 V= Sh= πr2h= ×π×32×4=12π. 答案:12π 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD, 点 E 在线段 AD 上,且 CE∥AB. (1)求证:CE⊥平面 PAD. (2)若 PA=AB=1,AD=3,CD= P-ABCD 的体积. 【解析】(1)因为 PA⊥平面 ABCD,CE 平面 ABCD, 所以 PA⊥CE. ,∠CDA=45°,求四棱锥 =4. (m3).

因为 AB⊥AD,CE∥AB, 所以 CE⊥AD. 又 PA∩AD=A, 所以 CE⊥平面 PAD. (2)由(1)可知 CE⊥AD. 在 Rt△ECD 中,DE=CD〃cos 45°=1, CE=CD〃sin 45°=1. 又因为 AB=CE=1,AB∥CE,AB⊥AD, 所以四边形 ABCE 为矩形. 所以 S 四边形 ABCD=S 矩形 ABCE+S△ECD =AB〃AE+ CE〃DE =1×2+ ×1×1= . 又 PA⊥平面 ABCD,PA=1, 所以 V 四棱锥 P-ABCD= S 四边形 ABCD〃PA = × ×1= . 11.(2014·滨州高一检测)一几何体按比例绘制的三视图,如图所示(单位:m):

(1)试画出它的直观图.

(2)求它的表面积和体积. 【解析】(1)直观图如图所示:

(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角,且该几何体的体积是以 A1A, A1D1,A1B1 为棱的长方体的体积的 ,在直角梯形 AA1B1B 中,作 BE⊥A1B1 于 E,则 AA1EB 是正方形, 所以 AA1=BE=1m. 在 Rt△BEB1 中,BE=1m,EB1=1m, 所以 BB1= m.

所以该几何体的表面积 S= +2 + +1+1×2 +S 正方形 ABCD+

=1+2× ×(1+2)×1+1× =7+ (m2).

该几何体的体积 V= ×1×2×1= (m3). 【一题多解】几何体也可以看作是以 AA1B1B 为底面的直四棱柱,其表面积求法 同方法一,

= ×(1+2)×1×1 = (m3). 所以几何体的表面积为(7+ )m2,体积为 m3.

【拓展延伸】求体积时应注意的两点 (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体 进行解决. (2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性.

一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.(2014·蚌埠高一检测)如图是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 图中主视图所标 a=( ) ,则

A.1

B.

C.

D.2

【解析】选 C.由三视图可知,该几何体为一个平卧的三棱柱,结合图中的尺寸 可得 V= ×2×a×3=3 ,解得 a= .

2.(2014·亳州高一检测)如图,在多面体 ABCDEF 中,四 边形 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF∥AB,EF= ,EF 与 平面 ABCD 的距离为 2,则该多面体的体积为( A. B.5 C.6 D. )

【解析】选 D.连接 EB,EC,AC.四棱锥 E-ABCD 的体积 VE-ABCD= ×32×2=6. 由于 AB=2EF,EF∥AB,所以 S△EAB=2S△BEF.

所以 VF-BEC=VC-EFB= VC-ABE= VE-ABC= , 所以 VABCDEF=VE-ABCD+VF-BEC=6+ = . 3.(2014·佛山高一检测)圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两 部分的体积之比是( A.1∶1 B.1∶6 ) C.1∶7 D.1∶8

【解析】选 C.如图, 设圆锥底面半径 OB=R,高 PO=h, O′为 PO 中点,所以 PO′= , 因为 = = ,所以 O′A= , 〃 = πR2h. 〃 = πR2h.

所以 V 圆锥 PO′= π〃 V 圆台 O′O= 〃 所以 = .

4.棱长为 a 的正方体中,连接相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积 为( A. a3 ) B. a3 C. a3 D. a3

【解析】选 C.八面体可以看成两个正四棱锥拼接而成,其中正四棱锥的棱长为 a,高为 a. 则 V=2〃 〃 〃 a= a3.

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2014 ·辽宁高考改编 ) 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 __________.

【解题指南】结合三视图的特点,该几何体是由一个正方体在相对的两个角上 各割去四分之一个圆柱后剩下的部分. 【解析】截得该几何体的原正方体的体积为 2×2×2=8;截去的圆柱(部分)底面 半径为 1,母线长为 2,截去的两部分体积为 (π×12×2)×2=π;故该几何体 的体积为 8-π. 答案:8-π 6.如图①所示,一个正三棱柱形容器,高为 2a,内装水若干,将容器放倒使一 个侧面成为底面,这时水面恰为中截面,如图②,则未放倒前的水面高度为 ________.

【解题指南】容器放倒前后水的体积不变,即图①三棱柱的体积与图②中的直 四棱柱的体积相等. 【解析】设图①中水面的高度为 h,水的体积为 V,

则 V=Sh= S〃2a,所以 h= 答案: a

= .

【变式训练】 如图, 一个直三棱柱形容器中盛有水, 且侧棱 AA1=8cm.若侧面 AA1B1B 水平放置时,液面恰好过 AC,BC,A1C1,B1C1 的中点.当底面 ABC 水平放置时,液 面高多少?

【解析】设原三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面积为 Scm2,高为 hcm.因为 DE∥AB,所以 △EDC∽△ABC, 且 = = ,所以 S△EDC= S.

所以当侧面 AA1B1B 水平放置时,无水的空间即 CDE-C1D1E1 为一小三棱柱. 此时水的体积为 V 水=Sh- S〃h= Sh(cm3). 当底面 ABC 水平放置时, 水占有的空间为一个三棱柱, 设该三棱柱的高为 h′cm, 则 Sh=Sh′, 所以 h′= h= ×8=6(cm),则液面高 6cm. 三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.(2014·宿州高一检测)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 E,F 分别为 AB,AC 的 中点,平面 EB1C1F 将三棱柱分成体积为 V1,V2 的左右两部分,求 V1∶V2 的值.

【解题指南】V1 对应的几何体 AEF-A1B1C1 是一个棱台,一个底面的面积与棱柱的 底面积相等,另一个底面的面积等于棱柱底面积的 ;V2 对应的是一个不规则几 何体,显然 V2 无法直接表示,可以考虑间接的办法,用三棱柱的体积减去 V1 来 表示. 【解析】设三棱柱的高为 h,底面的面积为 S,体积为 V,则 V=V1+V2=Sh. 因为 E,F 分别为 AB,AC 的中点, 所以 S△AEF= S, V1= h = Sh,

V2=Sh-V1= Sh,故 V1∶V2=7∶5. 【变式训练】如图是一个正方体,H,G,F 分别是棱 AB, AD,AA1 的中点.现在沿△GFH 所在平面锯掉正方体的一个 角,求锯掉的部分的体积与原正方体体积的比. 【解析】 设正方体的棱长为 a, 则正方体的体积为 a3.三棱 锥的底面是 Rt△AGF, 而∠FAG 为 90°, G, F 分别为 AD, AA1 的中点, 所以 AF=AG= a. 所以△AGF 的面积为 × a× a= a2. 又 AH 是三棱锥的高,H 又是 AB 的中点, 所以 AH= a. 所以锯掉的部分的体积为 × a× a2= a3. 所以锯掉的部分的体积与原正方体体积的比为 a3÷a3= . 【拓展延伸】等积法 等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形 (或几何体)的面积 (或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几

何体的高,特别是求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了具体通过作图得 到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高的数值. 8.(2014·咸阳高一检测)底面半径为 1,高为 1 的圆柱, 内接长方体如图,设矩形 ABCD 的面积为 S ,长方体 A1B1C1D1-ABCD 的体积为 V,设矩形 ABCD 的一边长 AB=x. (1)将 S 表达为 x 的函数. (2)求 V 的最大值. 【解析】(1)因为矩形 ABCD 内接于圆 O,所以 AC 为☉O 的直径, 因为 AC=2,AB=x,所以 BC= 所以 S=AB〃BC=x (0<x<2). ,

(2)因为长方体的高 AA1=1, 所以 V=S〃AA1=x = = , ,

因为 0<x<2,所以 0<x2<4, 所以当 x2=2,即 x= 时,Vmax=2,

故长方体体积的最大值为 2.

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