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2.1 导数的概念(1-8)


第二章 导数与极限
§2.1 导数的概念
10 导数问题的提出 (1)非等速直线运动的瞬时速度的计算问题 设物体作非等速直线运动,其运动方程

为s = f (t), 计算物体在 t = t0 时的瞬时速度 v (t0)
考虑时间段[ t0 , t0+?t ]

此时间段物体移动的路程:
?s = f (t0+ ?t ) - f ( t0 )

在此时间段物体的平均速度:
?s f ( t 0 ? ?t ) ? f ( t 0 ) v ( t0 ) ? ? ?t ?t

物体在 t0 时刻的瞬时速度

f ( t 0 ? ?t ) ? f ( t 0 ) ?s ? lim v ( t 0 ) ? lim ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t
(2)曲线切线的计算问题 设曲线 C: y =f (x), 计算曲线在点 A( x0 , y0 ) 处的切线方程

如何定义曲线在A点处的 切线?

y

y ? f (x ) A'
C

T'
T

设点 A ( x 0, y 0) , A'( x 0 ??, ( x 0 ?? x f x ))
如果 A? 沿曲线C A
o

A
x 0 x0 ? ?x x

? ?

割线 AT?绕点A旋转而趋向极限位置 AT 我们称直线 AT为曲线 C 在点 A 处的切线 曲线在A 点处的切线的斜率:

k ? tan ? ? lim tg?
?x ? 0

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x

可以发现:尽管以上两个问题具有不同的背景,但

数学上都面临相同的问题:
计算函数 f (x) 在点 x0 处的差商的极限

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) lim ?x ?0 ?x
类似地人们发现许多物理量的计算也将遇到 类似量的计算问题 , 例如 加速度:速度关于时间 t 的差商的极限; 角速度:角度关于时间 t 的差商的极限; 电流:电量关于时间 t 的差商的极限;

20 导数的定义

定义

设函数 y= f(x)在点 x0 的某个邻域

N( x0)内有定义,当自变量 x 在 x0 处取得增?x(点 x0+?x 仍在该邻域内)时,相应的函数 y 取得增量 ?y = f (x0+?x)? f (x0) , 如果?y 与?x之比的极限
f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

存在, 则称函数 y = f (x)在点 x0 处可导, 并称此极限 值为函数 y = f (x )在点 x0 处的导数, 记为 f '(x0) , 即

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) f ' ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x

也可记为

y?

x? x 0

dy dx

x? x 0

df ( x ) dx

x? x 0

说明:(1)瞬时速度: v ( t 0 ) ? f ' ( t 0 ) 曲线 C : y=f (x) 在点 A ( x0 , y0 ) 处的切线斜率:

k ? tan ? ? f ' ( x0 )
(2)若记 M ? { x f ( x )在x处可导} , 则对任意的

x ? M ,唯一确定一导数值 f '(x) 与之对应 ,
此函数称为 f (x) 的导函数, 记为 f ' ( x ) (当 x 为定点时, f '(x) 指 f (x) 在 x 处的导数值, 当 x 为变量时, f '(x)指 f (x) 的导函数 )

(3)

?y f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) 表示平均增加率 ? ?x ?x

导数 f ' ( x0 ) 表示函数 y ? f ( x ) 在 x0 处的增加率 30 导数计算举例

例 求函数 y = mx+b 在 x 处的导数

y( x ? ?x ) ? y( x ) y' ( x ) ? lim ?x ?0 ?x m( x ? ?x ) ? b ? ( mx ? b) ? lim ?x ?0 ?x

? lim m ? m
?x ? 0

1 例 求函数 y ? 在 x ? 0 处的导数 x
解 当 x?0时
y( x ? ?x ) ? y( x ) y' ( x ) ? lim ?x ?0 ?x
1 1 ? ? lim x ? ?x x ?x ? 0 ?x

1 1 ? lim [? ]? ? 2 ?x ? 0 x ( x ? ?x ) x



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