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二十二大题


二十二大题(包含导数恒成立问题,函数与不等式问题,导函数 与原函数关系,漏 f(x)=0 有几解题型)
1.已知实数集 R 上的函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d , 其中 a、b、c、d 是实数.(1) 若函数 f ( x) 在区间 (??,?1)和(3,??) 上都是增函数,在区间(-1,3)上是减函数,并 且 f (0) ? ?7, f

?(0) ? ?18,求函数 f ( x) 的表达式; (2)若 a、b、c 满足 b 2 ? 3ac ? 0, 求 证:函数 f ( x) 是单调函数. 解: ( 1 ) ∵ f (0) ? ?7, ∴ d= - 7
f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 18,

k ? f / ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 <0 得.函数 f ( x) ?

x3 ? x 2 ? 3 x ? 3a, (a ? 0) 在 (??,?1), (3,?? ) 为增函数, 3

在 (?1,3) 减函数 (1) ?
a?6

?0 ? a ? 3a ? 3 , 无解 ? f (3a) ? 0

(2) ?

?0 ? a ? 3 ? 3a ?a ? 3 无解 (3) ? ? f (a) ? 0 ? f (3) ? 0

解得

综上所述 a ? 6 2 2

3 设定义在 R 上的函数 f (x)=a0x4+a1x3+a2x2+a3x (a i∈R,i=0,1,2,3 ),当x=- 时,f (x)取得极大值

f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c, f ?(0) ? ?18, ∴ c= - 18 , ∴

∵函数 f ( x) 在区间 (??,?1)和(3,??) 上都是增函数,在区间(-1,
3a ? 2b ? 18 ? 0 ?a ? 2 , 解得 : ? ?27a ? 6b ? 18 ? 0 ?b ? ?6

3) 上是减函数, ∴-1 和 3 必是 f ?( x) ? 0 的两个根, ∴ ? ? ∴ f ( x) ? 2x 3 ? 6x 2 ? 18x ? 7 .

( 2 ) f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c, 由条件 b 2 ? 3ac ? 0, 可知a ? 0, c ? 0, f ?( x) 为二次三项式,并且 此时函数 f ( x) 是单调增函 ? ? (2b) 2 ? 4(3ac) ? 4(b 2 ? 3ac) ? 0 ∴当 a>0 时, f ?( x) >0 恒成立, 数,当 a<0 时, f ?( x) <0 恒成立,此时函数 f ( x) 是单调减函数,∴对任意给定的非零实 数 a,函数 f ( x) 总是单调函数. 2.设函数 f ( x) ?
x3 ? x 2 ? 3 x ? 3a, (a ? 0) .(Ⅰ)如果 a ? 1 ,点 P 为 曲线 y ? f (x) 上一个动点, 3

求以 P 为切点的切线其斜率取最小值时的切线方程; (Ⅱ) 若 x ? ?a,3a ?时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 解(Ⅰ)设切线斜率为 k 则 k ? f / ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 当 x ? 1 时 k 最小值为 ? 4 . f (1) ? ? 所以切线方程为 y ?
20 ? ?4( x ? 1) 即 12x ? 3 y ? 8 ? 0 3 20 3

( Ⅱ ) 由 k ? f / ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 >0

2 ,并且函数 y=f? (x)的图象关于 y 轴对称。 (1) 求 f (x)的表达式; 3 (2)试在函数 f (x)的图象上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都 2 2 在区间[-1,1]上; (3)求证:|f (sin x)-f (cos x) | ≤ (x∈R). 3 解:(1)∵f? (x)=4a0x3+3a1x2+2a2x+a3 为偶函数,∴ f ?(?x) = f ?(x),∴ ?4a0x3 +3a1x2 ?2a2x + a3 = 4a0x3+3a1x2 +2a2x + a3, ∴ 4a0x3 + 2a2x =0 对一切 x ? R 恒成立,∴ a0=a2=0,∴f (x)=a1x3+a3x 又当 x 2 2 =- 2 时,f (x)取得极大值 3 2 2 ? 2 ? ?f(- 2 )= 3 , ?a1= , 2 3 ∴? 解得? ∴f (x)=3x3-x,f? (x)=2x2-1 (2)解:设 2 ? a =- 1 , ? 3 ? ?f ? (- 2 )=0, 所求两点的横坐标为 x1、x2 (x1 < x2),则(2x12-1)(2x22-1)=-1 又∵x1,x2∈[-1,1], ∴2x12-1∈[-1,1],2x22-1∈[-1,1]∴2x12-1,2x22-1 中有一个为 1,一个为-1, ? x1 = ?1 ? x1=0 1 1 ∴? x =1 或 ? ,∴所求的两点为(0,0)与(1,-3)或(0,0)与(-1,3)。 ? 2 ? x2=0 2 2 (3)证明:易知 sin x∈[-1,1],cos x∈[-1,1]。当 0< x < 2 时,f ? (x) < 0;当 2 2 2 < x < 1 时,f ? (x)>0。∴f (x)在[0, 2 ]为减函数,在[ 2 ,1]上为增函数,又 f (0)=0,f 2 2 1 ( 2 )=- 3 ,f (1)=-3,而 f (x)在[-1,1]上为奇函数,∴f (x)在[-1,1]上最大值为 2 2 2 2 3 ,最小值为- 3 ,即 | f (x) | ≤ 3 , ∴ | f (sin x) | ≤ 3 , | f (cos x)| ≤ 2 2 2 3 , ∴| f (sin x)-f (cos x)| ≤ | f (sin x)|+| f (cos x) | ≤ 3 ? 4 已知函数 f(x)=mx3-x 的图象上,以 N(1,n)为切点的切线的倾斜角为 , (1)求 m,n 的 4 值; (2)是否存在最小的正整数 k,使得不等式 f(x)≤k-1991 对于 x∈[-1,3]恒成立?如

果存在,请求出最小的正整数 k;如果不存在,请说明理由; 1 (3)求证:|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+ )(x∈R,t>0). 2t 解: (1) f′(x)=3mx2-1,依题意,得 tan ,即 1=3m-1,m= .
? 4
2 3

综上可得,|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+
2 3 1 3

1 )(x∈R,t>0). 2t

∴f′(x)= ,n= .
2 当 <x<3 时, 2

1 1 5 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax ? b 在 x ? 1 处取得极值 . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2) 3 3

2 2 (2) 令 f′(x)=2x2-1=0,得 x=± . 当-1<x<时, f′(x)=2x2-1>0; 2 2

若 P( x0 , y0 )( x0 ? 3 ) 为 f ( x) 图象上的点, 直线 l 与 f ( x) 的图象切于 P 点, 直线 l 的 斜率为 k ,求函数 g ( x0 ) ?

k 1 3 x0 ? f ( x0 ) ? 2 3

f′(x)=2x -1>0. 又 f(-1)= ,f(1 3

2

的最小值.

2 2 2 2 2 )= ,f( )=,f(3)=15.因此, 当 x∈[-1,3]时≤f(x)≤15; 2 3 2 3 3

要使

得不等式 f(x)≤k-1991 对于 x∈[-1,3]恒成立,则 k≥-1991=2006. 所以,存在最小的正 整数 k=2006,使不得等式 f(x)≤k-1991 对于 x∈[-1,3]恒成立. (3)(方法 1): |f(sin)+f(cosx)|=|( sin3x-sinx)+( cos3x-cosx)|=| (sin3x+cos3x)-(sinx+cosx)|=|(sinx+cosx)[
2 (sin2x-sinxcosx+cos2x)-1]| 3 2 3 2 3 2 3

1 解: (1)已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax ? b ,? f ?( x) ? x2 ? a 又函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值 3

? f ?(1) ? 0 ?a ? 1 ? 0 ?a ? ?1 1 1 ? ? ? f ( x) ? x 3 ? x ? 1 ,? ? 1 ?? 1 ,即 ? 1 3 3 ?a?b ? f (1) ? ?b ? 1 ? ? 3 3 ?3 ?
1 (2)? f ( x) ? x3 ? x ? 1 ? f ?( x) ? x2 ?1 ,直线 l 的斜率为 k ? f ?( x0 ) ? x02 ?1 3

=|sinx+cosx|·|- sinxcosx- |= |sinx+cosx|3= | 2sin(x? ) |3≤
4

2 3

1 3

1 3

1 3

?

2 2 . 3

则 g ( x0 ) ?

k 1 3 x0 ? f ( x0 ) ? 2 3

?

2 x0 ?1

又∵t>0,∴t+ ∴2f(t+ R,t>0).

1 1 ≥ 2 ,t 2 ? 2 ? 1. 2t 4t

1 3 1 3 x0 ? x0 ? x0 ? 1 ? 2 3 3

?

2 x0 ? 1 ( x0 ? 3) 2 ? 6( x0 ? 3) ? 8 ? x0 ? 3 x0 ? 3

1 2 1 1 2 1? 2 2 1 )[ (t2+ 2 )- ≥]2 2 ? .综上可得,|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+ )(x∈ ? ? ?? 3 3 3 2t 3 3 2 t ? ? 4t

? ( x0 ? 3) ?

8 ? 6 ? 4 2 ? 6 ( x0 ? 3) ∴当 x0 ? 3 ? 2 2 时, g ( x0 )min ? 4 2 ? 6 x0 ? 3

(方法 2)由(2)知,函数 f(x)在[-1,1]上是增函数;又 f(-1)= ,f ? ? 3 ? ? 2
2 3 1
?

2 2 2 2 ]上是增函数;在[, ]上是减函数;在[ , 2 2 2 2

6. 函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 在 [?1,0] 与 [4,5] 上单调性相同,在 [0,2] 与 [4,5] 上单调性 相反。 (1)求 c 的值; (2)当 x 为何值时, f ( x) 取得极值?并判断出这些极值点的横 坐标与 2、4 的大小关系; (3) f ( x) 的图象上是否存在点 M ( x0 , y0 ) 使 f(x)在 M 处的切 线斜率为 3b ? 解: (1)由题意知, f ( x) 在 [?1,0] 与 [0,2] 上单调性相反,? f ( x) 在 x ? 0 处取得极值,
? f ' (0) ? 0 而 f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c,? c ? 0. (2)由(1)知, f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx

? ? 2? ? ? 2 , f ? 2 ? ? ? 2 , f ?1? ? 1 . ? 3 ? 2 ? 3 3 ? ? ?

所以,当 x∈[-1,1]时,- ≤f(x)≤ ,即|f(x)|≤ . ∵sinx,cosx∈[-1,1],∴|f(sinx)| ≤ ,|f(cosx)|≤ .∴|f(sinx)+f(cosx)| ≤|f(sinx)|+|f(cosx)| ≤
2 2 2 2 + ≤ 3 3 3 2 3 2 3

2 3

2 3

又∵t>0.∴t+ ∴2f(t+

1 ? 2 ? 1, 且函数 f(x)在[1,+∞]上是增函数. 2t

? a ? 0 且由 f ' ( x) ? 0 若a ? 0, 则 f ' ( x) ? 2bx , 则 f ( x) 至多有两个单调区间, 不合题意;

1 2 2 2 )≥2f( 2 )=2[ ( 2 )3- 2 ]= . 2t 3 3

得到 x ? 0 或 ?

2b 3a

若 b ? 0 ,则 f ' ( x) ? 3ax2 在 [?1,0] 与 [0,2] 上同号, f ( x) 在 [?1,0] 与 [0,2] 上单调性相同, 不合题意;
? b ? 0 且 f ' ( x) 在 x ? 0 的左右两侧异号, f ( x) 在 x ? 0 处取得极值.
f ' ( x) 在 x ? ? 2b 的左右两侧异号, f ( x) 在 x ? ? 2b 处取得极值又? f ( x) 在 [0,2] 与 [4,5] 3a 3a

2 2 则由 f ?( x) ? x2 ? 1知两点处的切线斜率分别 K1 ? x12 ?1, K2 ? x2 ?1 且 ( x12 ?1)( x2 ?1) ? ?1

(*) ③

2 x1 , x2 ?[-1,1]?( x12 ?1)( x2 ?1) ? 0 与(*)矛盾

f ?( x) ? x2 ?1

令 f ?( x) ? 0 得 x ? ?1 ,

x ? (??, ?1) 或 x ? (1, ??) 时 f ?( x)

0


2 3

上单调性相反, ? 必有一个极值点在 [2,4] 内 ? 当 x ? 0 或 ? 2b 时, f ( x) 取得极值且 3a

x ? (?1,1)

时 f ?( x)
2 3

0 ? f ?( x ) 在 [-1 , 1] 上 是 减 函 数 , 且 f max ( x) ? f (?1) ?

0 ? 2 ? ? 2b ? 4 3a
(3)假设 f ( x) 的图象上存在一点 M ( x0 , y0 ) 使 f ( x) 在 M 处的切线斜率为 3b ,则
2 2 ? 2bx0 ? 3b ? 0 有解, 3ax0 ? 2bx0 ? 3b,?关于 x0 的方程 3ax0

f min ( x) ? f (1) ? ? f ( 1x ? ) f (2 x?)

? 在 [-1 , 1] 上
f1 ( ? x)
2

f ( x) ?

2 3

x1, x2 ???1,1? 时 ,

2 2 4 f (? x ) ? ? 3 3 3

8. 已知函数 f(x)的导数 f ' ( x) 满足 0 ? f ' ( x) ? 1 , 常数 ? 为方程 f(x)=x 的实数根。 (Ⅰ) 若 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 M , 对 任 意 的 [a, b] ? M , 存 在 x0 ? [a, b] , 使 等 式 求证: 方程 f ( x) ? x 存在唯一的实数根 ? 。 (Ⅱ) 求证: f (b) ? f (a) ? (b ? a) f ' ( x0 ) 成立, 当 x ? ? 时,总有 f ( x) ? x 成立; (Ⅲ)对任意 x1 , x2 ,若满足 x1 ? ? ? 2 , x2 ? ? ? 2 , 求证: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 解: (Ⅰ)反证法,假设方程 f ( x) ? x 有异于 ? 的实根 ? ,即 f (? ) ? ? ,不妨设 ? ? ? , 在 ? 与 ? 之间存在一点 c, ? ? c ? ? ,由题设知 ? ? ? ? f (? ) ? f (? ) ? (? ? ? ) f ?(c) , 则 f ?(c) ? 1 与已知矛盾。

? ? ? 4b ? 4 ? 3a ? 3b ? 0 ? b ? 9ab ? 0 ? ( b ) 2 ? 9 ? ( b ) ? 0 a a
2 2

? b ? (??,?9] ? [0,??) 又由(2)知, 2 ? ? 2b ? 4 ? b ? [?6,?3] ,矛盾.? 假设不成立, a 3a a 从而不存在点 M 使题设成立.
7.设函数 f ( x) ? ax3 ? 2bx2 ? cx ? 4d ( a, b, c, d ? R )的图象关于原点对称,且 x ? 1 时,
f(x)取极小值 ?
1 3

①求 a, b, c, d 的值; ②当 x ???1,1? 时,图象上是否存在两点,使

得 过 此 两 点 处 的 切 线 互 相 垂 直 ? 试 证 明 你 的 结 论 。 ③ 若 x1, x2 ???1,1? , 求 证 :
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 。 3

解: ①

函 数 f ( x) 的 图 象 关 于 原 点 对 称
3 d ? ? a 2x ? 2

? 对任意实数 x , 有
即xbx2 ? b? x4 ? c d2d ? 0 恒 成 立
2 , 3

( Ⅱ ) 令 ? ( x) ? x ? f ( x) , 则 ? ' ( x) ? 1 ? f ' ( x) ? 0 , 从 而 ? ( x) 为 增 函 数
x ? ? ? ? ( x) ? ? (? ) ? ? ? f (? ) ? 0 ,所以,当 x ? ? 时,总有 f ( x) ? x 成立;

3 f ( ? x) ? ? f ( ? x) ?a x ? 2 b 2x ? c 4 ? x

? b ? 0 ,d ? 0? f ( x) ? ax3 ? cx, f ?( x) ? 3ax2 ? c
? 3a ? c ? 0 且 a ? c ?

x ? 1 时 , f ( x) 取 极 小 值 ?

(Ⅲ)不妨设 x1<x2, 因为 0 ? f ' ( x) ? 1 ,所以 f(x)为增函数,从而 f(x1)<f(x2)又由

2 3

1 ? a ? , c ? ?1 ②当 x ???1,1? 时,图象上不存在这样的两点使 3

f ' ( x) ? 1 ? 0 ,得 f(x)-x 为减函数,所以 f(x1)- x1>f(x2)- x2, 0<f(x 2 )- f(x1)< x2x1, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ,又 x2 ? x1 ? ( x2 ? ? ) ? (? ? x1 ) ? x2 ? ? ? x1 ? ? ? 4 所以,

结论成立。假设图象上存在两点 A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ) ,使得过此两点处的切线互相垂直,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4
9 已知函数 f(x)=x2+x-2,设 g(x)=(x+1)f(x)-a[f(x+1)-x](a ? R)(I)求 g(x)的解析式; (II)若函数 g(x)在区间(-1,2)上是减函数,求实数 a 的取值范围。 解 : ( I ) ∵ f(x)= x2+x-2 ∴ f(x+1)=(x+1)2+(x+1)-2 =x2+3x ∴ g(x)=(x+1)(x2+x-2)-a(x2+3x-x) =x3+ (2-a) x2(2a+1) x-2 (II)g′ (x) =3x2+2 (2-a)x-(2a+1) ∵函数 g(x)在区间(-1,2)上是减函数

x
f ?( x) f ( x)

0

(0, +

a 6



a 6



a 6

,1)

1


? 4(

0

a a 3 ) ? 2a 6 6

-4+2 a 即 a ? 6 时, 不合题意 ②当 a ? 1 ,
6

?? 2 ? 0 ? g ' (?1) ? 0 ?3 ? 2(2 ? a) ? (2a ? 1) ? 0 ? 得? ? ?? 即? 19 a? ? g ' (2) ? 0 ?12 ? 4(2 ? a) ? (2a ? 1) ? 0 ? 6 ?

?[ f ( x)]max ? f (

a a a ) ? ?4( )3 ? 2a ? 12 ? a ? 3 3 18 ? 6 6 6 6

19 ∴a≥ . 6

f ?( x) ? 0, f ( x)在[0,1] 上单调递增 ?[ f ( x)]max ? f (1) ? 12,? a ? 8 综上,存在 a ? 8 使得
f ( x) 的图象的最高点在直线 y ? 12 上
1 11 . 已 知 函 数 F ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) 的 图 象 过 原 点 , 3

19 ∴综上,当函数 g(x)在区间(-1,2)上是减函数时,a∈ [ ,?? ) . 6

10.设 f ( x) 是定义在[-1,1]上的偶函数, f ( x) , g ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称,且 当 x ? ?2, 3? 时, g ( x) ? 2a( x ? 2) ? 4( x ? 2) 3 . (1)求 f ( x) 的表达式; (2)是否存在正实 数 a ,使函数 f ( x) 的图象的最高点在直线 y ? 12 上,若存在,求出正实数 a 的值;若不 存在,请说明理由. 解: : (I)当 x ? [?1,0] 时, f ( x) 上的点 P( x, y ) 与 g ( x) 上的点 Q( x0 , y0 )
x0 ? 2 ? x 称,则 ? ? ? y0 ? y

f ( x) ? F ?( x), g ( x) ? f ?( x), f (1) ? 0 ,函数 y ? f ( x)与y ? g ( x) 的图象交于不同的两点 A、

B.(Ⅰ)若 y ? F ( x)在x ? ?1 处取得极大值 2,求函数 y ? F ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若使
1 1 g ( x) ? 0的x 值满足 x ? [? , ] ,求线段 AB 在 x 轴上的射影长的取值范围. 2 2

解 : ? F ( x ) 的 图 象 过 原 点 , ? d ? 0. 关于 x ? 1 对
? a ? c ? 2b. ①

又 f ( x) ? F ?( x) ? ax2 ? 2bx ? c, f (1) ? 0,

此 时 x0 ? [2,3] 代 入 g ( x) 武 装

得 f ( x) ? 4x 3 ? 2ax( x ? [?1,0] )

(Ⅰ)由 y ? F ( x)在x ? ?1 处取得极大值 2 知: f (?1) ? a ? 2b ? c ? 0, 由

? y ? f ( x)在[?1,1] 上是偶函数

1 F (?1) ? ? a ? b ? c ? 2, ③ 由 ① ② ③ 得 解 : a ? 3, b ? 0, c ? ?3, ? F ( x) ? x 3 ? 3x. 3

? 当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? f (? x) ? ?4x 3 ? 2ax ? f ( x) ? ? ?

?4 x ? 2ax
3 3 ? ?? 4 x ? 2ax

由 f ( x) ? 3x 2 ? 3 ? 0, 得 ? 1 ? x ? 1. ? F ( x) 的单调递减 f ( x) ? 3x 2 ? 3 ? 0, 得x ? 1或x ? ?1;
?1 ? x ? 0 0 ? x ?1

区 间 为 [ - 1 , 1] , 单 调 递 增 区 间 为 ( - ∞ , - 1 ] 和 [1,??) ( Ⅱ )

(II)命题条件等价于 [ f ( x)]max ? 12, 因为 f ( x) 为偶函数,所以只需考虑 0 ? x ? 1 的情 况. 求导 f ?( x) ? ?12x ? 2a(0 ? x ? 1, a ? 0)
2

f ( x) ? ax2 ? 2bx ? c ? ax2 ? (a ? c) x ? c,

g ( x) ? 2ax ? 2b ? 2ax ? (a ? c),
A ( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),

由 f ?( x) ? 0得x ? a 或x ? ? a (舍) 6 6

? y ? ax2 ? (a ? c) x ? c 由 ? , 得 ax2 ? (3a ? c) x ? a ? 2c ? 0. 设 ? y ? 2ax ? (a ? c)
则x1 ? x2 ? 3a ? c c a ? 2c c ? 3 ? , x1 x2 ? ? 1? 2 ? , a a a a

①当 0<

a 6

<1,即 0 ? a ? 6 时

∴线段 AB 在 x 轴上的射影长

1 c c m ?| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ( ? 1) 2 ? 4. 由 g ( x) ? 0, 得x ? (1 ? ). 2 a a
2

f(0)=0. 令 y=-x, 代入①式, 得 f(x-x)=f(x)+f(-x), 又 f(0)=0, 则有 0=f(x)+f(-x). 即 f(-x)=-f(x) 对任意 x∈R 成立,所以 f(x)是奇函数.

c 1 1 由x ? [? , ] 得 ? 2 ? ? 0. ∴ 当 2 2 a

c ? ?2时 m , 取最大值 a

1

c 当 3 ; ? 0时, a

m取最小值 5 ,

(2)解:f(3)=log 2 3>0,即 f(3)>f(0),又 f(x)在 R 上是单调函数,所以 f(x)在 R 上 是增函数,又由(1)f(x)是奇函数. f(k·3 x )<-f(3 x -9 x -2)=f(-3 x +9 x +2), k·3 x <-3 x +9 x +2,3 2 x -(1+k)·3 x +2>0 对任

? 5 ? m ? 13.
12.已知两个函数 f ( x) ? 7 x 2 ? 28x ? c , g ( x) ? 2x 3 ? 4x 2 ? 40x . 若对任意 x ?[-3 , 3], 都有 f ( x) ≤ g ( x) 成立, 求实数 c 的取值范围; 解: 当 x∈[—3, 3]时, 7x —28x—c ≤2x3+4x2—40x 即:2x3—3x2—12x≥—c 恒成立 设 h(x)=2x3—3x2—12x,—3≤x ≤3 则 h′(x)= 6x2—6x—12=6(x—2) (x+1) 令 h′(x)=0 得:x=2 或 x= —1 又∵h(—3)= —45,h(3)= —9,h(2)= —20, h(—1)= +7, 因此,当 x∈[—3,3]时,h(x)max= —45∴—45≥—c,即 c≥45 13、定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b∈R, 有 f(a+b)=f(a)f(b),(1)求证:f(0)=1;(2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0;(3) 证明:f(x)是 R 上的增函数;(4)若 f(x)·f(2x-x2)>1,求 x 的取值范围。 分析: 2 (1)令 a=b=0,则 f(0)=[f(0)] ∵ f(0)≠0∴ f(0)=1 (2)令 a=x,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ f (? x ) ? x<0 时,-x>0,f(-x)>0
1 ? 0 又 x=0 时,f(0)=1>0 ∴ 对任意 x∈R,f(x)>0 ∴ f (x) ? f (? x )
2

意 x ∈ R 成立.令 t=3 x > 0 ,问题等 价于 t 2 -(1+k)t+2 > 0 对 任 意 t > 0 恒成 立.

R 恒成立. 15. 已知向量 a ? ( x 2 , x ? 1),b ? (1 ? x, t ),若函数f ( x) ? a ? b 在区间(-1,1)上是增函数, 求 t 的取值范围. 解:依定义 f ( x) ? x (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x
2 3

1 由已知 x>0 时,f(x)>1>0 当 f (x)

? x 2 ? tx ? t ,

(3)任取 x2>x1,则 f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 ∴

f (x 2 ) ? f ( x 2 ) ? f (? x 1 ) ? f ( x 2 ? x 1 ) ? 1 f (x 1 )

则f ?( x) ? ?3x 2 ? 2 x ? t.

∴ f(x2)>f(x1) ∴ f(x)在 R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x) 又 1=f(0),f(x)在 R 上递增 2 2 ∴ 由 f(3x-x )>f(0)得:3x-x >0 ∴ 0<x<3 14 定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log 2 3 且对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证 f(x)为奇函数; (2)若 f(k·3 )+f(3 -9 -2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围. 分 析 : 欲 证 f(x) 为 奇 函 数 即 要 证 对 任 意 x 都 有 f(-x)=-f(x) 成 立 . 在 式 子 f(x+y)=f(x)+f(y)中,令 y=-x 可得 f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题,求 f(0)的 值.令 x=y=0 可得 f(0)=f(0)+f(0)即 f(0)=0,f(x)是奇函数得到证明. (1)证明:f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R), ①令 x=y=0,代入①式,得 f(0+0)=f(0)+f(0),即
x x x

若f ( x)在(?1,1)上是增函数 , 则在(?1,1)上可设 f ?( x) ? 0.

? f ?( x) ? 0 ? t ? 3x 2 ? 2 x, 在区间 (?1 ,1)上恒成立 , 考虑函数 g(x
由于 g ( x )的图象是对称轴为 x ? 1 开口向上的抛物线,故要使 t , 3

? 3x 2 ? 2 x 在

区间 (-1,1)上恒成立 ? t ? g (?1),即t ? 5.
而当t ? 5时, f ?( x)在(?1,1)上满足 f ?( x) ? 0,即f ( x)在(?1,1)上是增函数 .

故t的取值范围是 t ? 5.


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