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【全程复习方略】2014-2015学年北师大版高中数学必修一课时作业(二十四) 3.6]


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课时提升作业(二十四)
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.(2014·西安高一检测)下列所给函数,增长最快的是(

A.y=5x C.y=log5x B.y=x5 D.y=5x )

【解析】选 D.由函数的增长差异可知 y=5x 增长最快. 2.下表是函数 y 随自变量 x 变化的一组数据,由此判断它最符合的函数模型是 ( x y A.一次函数 C.指数型函数 3 3.38 4 5.06 5 7.59 6 11.39 7 67.09 )

B.二次函数 D.对数型函数

【解析】选 C.画出图形,如图所示,随着自变量增加,函数值的增量是快速的,故 为指数型函数模型,故选 C.

3.根据三个函数 f(x)=2x,g(x)=2x,h(x)=log2x 给出以下命题: (1)f(x),g(x),h(x)在其定义域上都是增函数. (2)f(x)的增长速度始终不变. (3)f(x)的增长速度越来越快. (4)g(x)的增长速度越来越快. (5)h(x)的增长速度越来越慢. 其中正确的命题个数为( A.2 B.3 ) C.4 D.5

【解析】选 C.依据“直线上升、对数增长、指数爆炸”的原理可知(1)(2)(4)(5) 正确. 4.(2014·长安高一检测)函数 y=2x-x2 的图像大致是( )

【解析】选 A.当 x>0 时,由 2x=x2 可知 x=2 或 x=4,又当 x<0 时,y→-∞,故选 A. 【变式训练】如图所示曲线反映的是下列哪种函数的增长趋势( )

A.一次函数 C.对数函数

B.幂函数 D.指数函数

【解析】选 C.由图像可知,开始增长迅速,后来增长越来越慢.符合对数函数模 型. 5.(2014·保定高一检测)据报道,某淡水湖的湖水在 50 年内减少了 10%,若按此 规律,设 2013 年的湖水量为 m,从 2013 年起,经过 x 年后湖水量 y 与 x 的函数关 系为( A.y=0. C.y=0. m ) B.y=(1-0. )m

D.y=(1-0.150x)m .所以 x

【解析】选 C.设每年湖水量为上一年的 q%,则(q%)50=0.9,所以 q%=0. 年后的湖水量为 y=0. m.

6.(2014·九江高一检测)四人赛跑,假设其跑过的路程和时间的函数关系分别为 f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果他们一直跑下去,最终跑在最前面 的人具有的函数关系是( A.f1(x)=x2 C.f3(x)=log2x )

B.f2(x)=4x D.f4(x)=2x

【解题指南】借助函数变化率的特征求解,最终跑在最前面的人具有的函数关系 应为函数变化率最快的. 【解析】选 D.在同一坐标系中画出函数 f1(x),f2(x),f3(x),f4(x)的图像可知(图

略),当 x>4 时从上往下依次是 f4(x),f1(x),f2(x),f3(x),故选 D. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.(2014·白鹭洲高一检测)2012 年某小城市人口总数为 14 万,如果人口的年自 然增长率控制为 1.25%,则从 20 0.4771,lg5≈0.6990,lg7≈0.8451) 【解析】设经过 x 年后,该城市人口超过 20 万, 故 14(1+1.25%)x=20, 所以 x=log1.0125 = ≈ = ≈29. = = 年开始,该城市人口超过 20 万.(lg3≈

故从 2041 年开始,该城市人口超过 20 万. 答案:41 8.已知函数 f(x)的图像如图,试写出一个可能的解析式: .

【解析】由图可知,该函数过点(10,3),且其增长模式类似于对数型函数,故不妨 取 f(x)=3lgx. 答案:f(x)=3lgx(答案不唯一) 【误区警示】本题易因对函数图像理解不透而导致无法求解.

9.(2014·泰安高一检测)某种动物繁殖数量 y(只)与时间 x(年)的关系式为: y=alog2(x+1), 设 这 种 动 物 第 一 年 有 100 只 , 则 到 第 7 年 这 种 动 物 发 展 到 只. 【解析】把 x=1,y=100 代入 y=alog2(x+1)得:a=100, 故函数关系式为 y=100log2(x+1), 所以当 x=7 时,y=100log2(7+1)=300. 所以到第 7 年这种动物发展到 300 只. 答案:300 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.试比较函数 y=x200,y=ex,y=lgx 的增长差异. 【解析】增长最慢的是 y=lgx,由图像(图略)可知随着 x 的增大,它几乎平行于 x 轴;当 x 较小时,y=x200 要比 y=ex 增长得快;当 x 较大时,y=ex 要比 y=x200 增长得快. 11.某地发生地震,世界各地纷纷捐款捐物.甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会 捐款给灾区,捐款方式如下: 甲公司:在 10 天内,每天捐款 5 万元给灾区;乙公司:在 10 天内,第 1 天捐款 1 万元,以后每天比前一天多捐款 1 万元;丙公司:在 10 天内,第 1 天捐款 0.1 万 元,以后每天捐款都比前一天翻一番. 你觉得哪个公司最慷慨? 【解析】三个公司在 10 天内捐款情况如下表所示.

由上表可以看出,丙公司捐款最多,为 102.3 万元,即丙公司最慷慨.

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.已知函数 f(x)=3x,g(x)=2x,当 x∈R 时,有( A.f(x)>g(x) C.f(x)≥g(x) B.g(x)>f(x) D.g(x)≥f(x) )

【解析】 选 A.在同一直角坐标系中画出函数 f(x)=3x,g(x)=2x 的图像,如图所示,

由于函数 f(x)=3x 的图像在函数 g(x)=2x 的图像的上方,则 f(x)>g(x).

【变式训练】下列函数中,随 x 的增大,增长速度最快的是( A.y=50(x∈Z) C.y=0.4·2x-1 B.y=1000x D.y= ·ex

)

【解析】选 D.指数型函数增长速度最快,且 e>2,因而 ex 增长最快. 2.(2014·南阳高一检测)若 x∈(0,1),则下列结论正确的是( A.2x> >lgx C. >2x>lgx B.2x>lgx> D.lgx> >2x )

【解析】选 A.当 0<x<1 时,2x>1,0< <1,lgx<0,所以 2x> >lgx.故选 A. 【举一反三】题目条件不变,则 f(x)= x2,g(x)= ,h(x)=x-2 的大小关系是( A.h(x)<g(x)<f(x) C.g(x)<h(x)<f(x) B.h(x)<f(x)<g(x) D.f(x)<g(x)<h(x) )

【解析】选 D.取特值 x= 代入可排除 A,B,C. 3.(2014 ·沈阳高一检测 ) 如图给出了红豆生长时间 t(月)与枝数 y(枝)的散点图,那么“红豆生南国,春来 发几枝”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函 数模型拟合最好?( A.指数函数:y=2t C.幂函数:y=t3 ) B.对数函数:y=log2t D.二次函数:y=2t2

【 解 析 】 选 A. 根 据 散 点 图 中 数 据 可 得 t 与 y 的 对 应 点 为 (1,2),(2,4),(3,8),(4,16),(5,32)等.结合选项知选 A. 【变式训练】甲乙二人同时从 A 地赶往 B 地,甲先骑自行车到中点改为跑步,而 乙则是先跑步到中点改为骑自行车,最后两人同时到达 B 地,又知甲骑自行车比

乙骑自行车的速度快,并且二人骑车速度均比跑步速度快.若某人离开 A 地的距 离 S 与所用时间 t 的函数关系可用图像表示,则下列给出的四个函数图像中,甲、 乙两人的图像只可能是( )

A.甲是图①,乙是图② C.甲是图③,乙是图②

B.甲是图①,乙是图④ D.甲是图③,乙是图④

【解析】 选 B.由题设,两人都是到中点变换了行走方式,且同时到达目的地,由于 甲骑自行车的速度较快,故其骑车用时比乙少 ,而跑步用时比乙多 ,故甲的行程 关于时间的函数的单调性应为骑车时斜率比乙骑车时斜率大 ,跑步斜率比乙跑 步斜率小,且其骑车用时比乙少,跑步用时比乙多,甲的图像是先斜率大,后斜率 小,而乙的是先斜率小后斜率大 ,由此规律知符合甲的运行规律的图像应为① , 符合乙的运行规律的图像应为④.故甲、乙两人的图像只可能甲是图① ,乙是图 ④.故选 B. 4.(2014·焦作高一检测)用固定的速度向如图形状的瓶子中注水,则水面的高度

h 和时间 t 之间的关系是(

)

【解析】选 B.t 越来越大时,h 增大得较快,而 A,D 是匀速增长的,瓶子应为直筒 状,C 表示的瓶子应是口大于底,故选 B. 【误区警示】本题在求解中常因搞错高度 h 和时间 t 的关系导致错选 C. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.设 a=60.7,b=0.76,c=log0.76,则 a,b,c 的大小关系为 序写) 【解题指南】引入 0,1 两个量,比较 a,b,c 与 0,1 的大小关系. 【解析】因为 c=log0.76<0<b=0.76<1<a=60.7, 所以 c<b<a. 答案:c<b<a 6.某商店每月利润稳步增长,去年 12 月份的利润是当年 1 月份利润的 k 倍,则该 商店去年每月利润的平均增长率为 【解析】设平均增长率为 p, . .(按从小到大的顺

则 k=(1+p)11,故 p= 答案: -1

-1.

三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.某企业拟共用 10 万元投资甲、乙两种商品.已知各投入 x 万元,甲、乙两种商 品可分别获得 y1,y2 万元的利润,利润曲线 P1:y1=axn,P2:y2=bx+c 如图所示.

(1)求函数 y1,y2 的解析式. (2)为使投资获得最大利润,应怎样分配投资额,才能获得最大利润? 【解析】(1)P1:y1=axn 过点 所以 所以 y1= ,x∈[0,+∞). , ,

P2:y2=bx+c 过点(0,0),(4,1),所以 所以 y2= x,x∈[0,+∞). (2)设用 x 万元投资甲商品,那么投资乙商品为(10-x)万元,总利润为 y 万元. 根据题意得 y= =- x+ =当 + + (0≤x≤10), = 即 x= =6.25 时,ymax= , + (10-x)

投资乙商品为 10-6.25=3.75 万元. 答:用 6.25 万元投资甲商品,3.75 万元投资乙商品,才能获得最大利润. 8.(2014·临沂高一检测)某公司为了实现 1000 万元利润的目标,准备制定一个 激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到 10 万元时,按销售利润进行奖励,且 奖金 y(万元)随销售利润 x(万元)的增加而增加,但奖励总数不超过 5 万元,同时 奖金不超过利润的 25%,现有三个奖励模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中 哪个模型能符合公司要求? 【解题指南】奖励模型符合公司要求,即当 x∈[10,1000]时,能够满足 y≤5,且 ≤25%,可以先从函数图像得到初步的结论,再通过具体计算,确认结果. 【解析】 借助计算器或计算机作出函数 y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x 的图像 如图所示:

观察图像发现,在区间[10,1000]上模型 y=0.25x,y=1.002x 的图像都有一部分在 y=5 的上方,这说明只有按模型 y=log7x+1 进行奖励才能符合公司要求,下面通过 计算确认上述判断. 首先计算哪个模型的奖金总数不超过 5 万元. 对于模型 y=0.25x,它在区间[10,1000]上是单调递增的,当 x∈(20,1000]时,y>5, 因此该模型不符合要求.

对于模型 y=1.002x,利用计算器,可知 1.002806≈5.005,由于 y=1.002x 是增函数, 故当 x∈(806,1000]时,y>5,因此,也不符合题意. 对 于 模 型 y=log7x+1, 它 在 区 间 [10,1000] 上 单 调 递 增 且 当 x=1000 时,y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过 5 万元的要求. 再计算按模型 y=log7x+1 奖励时,奖金是否超过利润 x 的 25%,即当 x∈[10,1000] 时,利用计算器或计算机作 f(x)=log7x+1-0.25x 的图像,由图像可知 f(x)是减函 数,因此 f(x)<f(10)≈-0.3167<0,即 log7x+1<0.25x. 所以当 x∈[10,1000]时,y<0.25x.这说明,按模型 y=log7x+1 奖励不超过利润的 25%. 综上所述,模型 y=log7x+1 确实符合公司要求. 【变式训练】下面给出 f(x)随 x 的增大而得到的函数值表: x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2x 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1 024 x2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 2x+7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 log2x 0 1 1.585 0 2 2.321 9 2.585 0 2.807 4 3 3.169 9 3.321 9

试回答:(1)随着 x 的增大,各函数的函数值有什么共同的变化趋势? (2)各函数增长的快慢有什么不同? (3)根据以上结论,体会银行的客户存款的年利率,一般不会高于 10%的实际意 义. 【解析】(1)随着 x 的增大,各函数的函数值都在增大. (2) 各函数增长的快慢不同 , 其中 f(x)=2x 在 x>3 时增长最快 , 而且越来越 快;f(x)=log2x 的增长最慢,而且增长的幅度越来越小. (3)按复利计算,存款以指数函数增长,如果年利率设置太高,存款的增长越来越 快,银行将难以承担利息支出.

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