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12 2012年江苏省苏州十中高一暑期数学作业之十二基本不等式及其应用


2012 年江苏省苏州十中高一暑期数学作业之十二 必修五 基本不等式及其应用
一.填空题: 1、函数 y ? x (1 ? 3 x )( 0 ? x ?
1 3 ) 的最大值是



2、已知 x ? 0, y ? 0 ,且 x ? 3 y ? 2 ,则

1 x

?

1 y

的最小值是____________

3、已知 x ? 0, y ? 0 且

1 x

?

9 y

? 1 ,则 x ? y 的最小值为



4、已知函数 y ? x ? 5、已知函数 y ? x ?

16 x?2 16

, x ? ( ? 2, ?? ) ,则此函数的最小值为

x?2

, x ? [4, ?? ) ,则此函数的最小值为



6、若正数 a , b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是 7、已知 xy ? 1 且 log 3 x ? log 3 y ? 9 ,则 xy 的最小值为 8、若函数 f ( x ) ?
x x ?a
2

( a ? 0 )在 ?1, ?? ? 上的最大值为

3 3

,则 a 的值为

.

9、下列函数值最小值为 4 的是 4 (1) y ? x ? x (3) y ? e ? 4 e
x ?x

(2) y ? sin x ? (4)

4 sin x

(0 ? x ? ? )

(ln e ? 1)
5 log 2 x

y ? log 3 x ? 4 log x 3( 0 ? x ? 1)

10、函数 f ( x ) ? 2 ? log 2 x ? 二.解答题

(0 ? x ? 1) 的最大值为



11、 (1)若 a ? 0, b ? 0 且满足 ab ? 1 ? a ? b ,求 a ? b 的最小值;
1 a?2 4 3 3

(2)设 M ? a ?

(2 ? a ? 3), N ? x (4 3 ? 3 x)(0 ? x ?

) ,试比较 M , N 的大小。

12、已知 a ? b ? 0 , (1)求 y ? a ?
2

16 b(a ? b)

的最小值; (2)求 y ? a ?

16 b(a ? b)

的最小值。

13、某化工企业 2007 年底投入 100 万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是 0.5 万 元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以后每年的维护费 都比上一年增加 2 万元. (1)求该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用 y (万元) ; (2)问为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备?

14、 (1)已知 a, b 为非零向量根据平面向量数量积的定义证明向量性质: | a ? b |? | a || b | ,并用该性 质证明不等式: ?mp ? nq ? ? ?m ? n
2 2 2

?? p

2

?q

2

?。

(2)探求函数 y ? 4 x ? 1 ? 3 5 ? x 的最大值与最小值。如有最大值与最小值,一并求出何时取到 最大值与最小值。

2012 年江苏省苏州十中高一暑期数学作业之十二 必修五 基本不等式及其应用 参考答案
1、
1 12



2、 3 ?

2;

3、16;

4、6;

5、

20 3



6、 ab ? [9, ?? ) ;

7、 3 ;

6

8、 3 ? 1 ;

9、 (3) ;
a?b 2

10、 f ( x ) max ? 2 ? 2 5 ;
) ?
2

11、解: (1)∵ ab ? (

(a ? b) 4 t
2

2



设 t ? a ? b ? 0 ,则有 1 ? t ?

4

,即 t ? 4 t ? 4 ? 0
2

∴0 ? t ? 2 ?

2 或t ? 2 ?

2。

(2)∵ M ? 4, N ? 4 ,∴ M ? N 。 ;
a 2 a 16 16 ? 4 2 2 ?a ? ? 16 12、解: (1)∵ b ( a ? b ) ? ( ) ? ,∴ y ? a ? 2 2 4 b(a ? b) a
2

(2) y ? a ?

16 b(a ? b)

?a?

16 ? 4 a
2

?

a 2

?

a 2

?

16 ? 4 a
2

? 3 3 16 ? 6 3 2 ;

13、 (1) y ? x ?

100 x

? 1.5 ; (2)10 年;

14、 (1) a, b 为非零平面向量的数量积的定义: a ? b ?| a || b | cos ? ,其中 ? 为两向量的夹角。 ∴ | a ? b |?|| a || b | cos ? |?| a || b | 即 | a ? b |? | a || b |
m ?n ?
2 2

…… 3 分
p ?q .
2 2

? ? ? ? ? ? 设 a ? ? m , n ? , b ? ? p , q ? , 则 a ? b ? mp ? nq , a b ?

? ? ? ? 2 2 2 2 2 由 a ? b ? a b 性质,得 ? mp ? nq ? ? ? m ? n ?? p ? q ? . ??? ? ??? ? (2)法一:设 OA ? ? 4, 3 ? , OB ?

…… 6 分

?

??? ? ??? ? x ? 1, 5 ? x (O 为坐标原点) ,则 OA ? 5, OB ? 2,

?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 所以 y ? OA ? OB ? OA OB cos ? AOB ? 10 cos ? AOB .

…… 8 分

??? ? 因为 1 ? x ? 5 ,所以向量 OB 的终点 B 在以原点为圆心 ,2 为半径的圆在

…… 10 分 ??? ? cos ? 当 O, B 三点共线时, ? AOB 取到最大值为 1, A, 所以 y max ? 10; 当 OB ? ? 0, 2 ? 时, AOB
??? ??? ? ? cos 达到最大, ? AOB 取到最小值, 所以 y 取到最小值。 此时 y min ? OA ? OB ? 4 ? 0 ? 3 ? 2 ? 6.

第一象限的圆弧上。

综上所述,当

5? x x ?1

?

3 4

,即x ?

89 25

时,函数有最大值 10; …… 12 分

当 x ? 1 时,函数有最小值 6


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