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上海市2016届高考数学一轮复习 专题突破训练 数列 理


上海市 2016 届高三数学理一轮复习专题突破训练 数列
一、填空、选择题 2 2 2 1、 (2015 年上海高考)记方程①:x +a1x+1=0,方程②:x +a2x+2=0,方程③:x +a3x+4=0,其中 a1, a2,a3 是正实数.当 a1,a2,a3 成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无实根的是( ) A.方程①有实根,且②有实根 B. 方程①有实根

,且②无实根 C.方程①无实根,且②有实根 D. 方程①无实根,且②无实根 2 、( 2014 年上海高考)设无穷等比数列 ?an ? 的公比为 q ,若 a1 ? lim? a3 ? a4 ? ? ? a n ? ,则
n ??

q?

.

3、(2013 年上海高考)设非零常数 d 是等差数列 x1 , x2 , x3 ,?, x19 的公差,随机变量 ? 等可能地取 值 x1 , x2 , x3 ,?, x19 ,则方差 D? ? _______ 4、(静安、青浦、宝山区 2015 届高三二模)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 An ,等比数列 ?bn ? 的 前 n 项和为 Bn ,若 a3 ? b3 , a4 ? b4 ,且

A5 ? A3 a ?a ? 7 ,则 5 3 ? B4 ? B2 b5 ? b3
2 an ? 2an ? 2 ? 1(n ? N? ) ,则使不等式

5、(闵行区 2015 届高三二模)已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

a2015 ? 2015 成立的所有正整数 a1 的集合为
6、 (浦东新区 2015 届高三二模) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? n 2 ? n , 则该数列的通项公式 an ?

2n

.
2

7、(徐汇、松江、金山区 2015 届高三二模)已知函数 f ( x) ? x ? sin x ,各项均不相等的数列 ?xn ? 满足 xi ?

(i ? 1, 2,3,?, n) .令 2 F (n) ? ( x1 ? x2 ??? xn ) ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? f ( xn )? (n ? N * ) .给出下列三个命题:
n

?

(1)存在不少于 3 项的数列 ?xn ? ,使得 F (n) ? 0 ;

? 1? * (2)若数列 ?xn ? 的通项公式为 xn ? ? ? ? ? n ? N * ? ,则 F (2k ) ? 0 对 k ? N 恒成立; ? 2? * (3)若数列 ?xn ? 是等差数列,则 F (n) ? 0 对 n ? N 恒成立.
其中真命题的序号是( ) (A)(1)(2) (B)(1)(3) (C) (2)(3) (D)(1)(2)(3)

8、 (长宁、嘉定区 2015 届高三二模)设等差数列 ?an ? 满足 a5 ? 11,a12 ? ?3 ,?an ? 的前 n 项和 Sn 的最大值为 M ,则 lg M =__________
1

9、(虹口区 2015 届高三上期末)设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,若 Sn ?1 , Sn , Sn ? 2 成等 差数列,则 q ? 10、 (金山区 2015 届高三上期末)等差数列{an}中,a2=8,S10=185,则数列{an}的通项公式 an= (n?N*). ▲

11、(静安区 2015 届高三上期末)已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2 2?n ? 2 n?1 (其中 n ? N * ), 则该数列的前 n 项和 S n ? 12、(青浦区 2015 届高三上期末)设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S7 ? 42 ,则 a4 ? 13、 (徐汇区 2015 届高三上期末) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若 a1 ? 1 ,S n ? 则 ?an ? 的通项公式为 14、 (黄浦区 2015 届高三 4 月模拟考试(二模))在等差数列 ?an ? 中,若 a8 ? ?3, a10 ? 1,am ? 9 , 则正整数 m ? 15、 ()把正整数排列成如图 ? a ? 的三角形数阵,然后擦去第偶数行中的所有奇数、第奇数行中的所 有偶数,可得到如图 ? b ? 的三角形数阵,现将图 ? b ? 中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列

1 an ?1 ? 0(n ? N * ) , 2

?an ? ,若 ak ? 2015 ,则 k ? __________ .
1 2 5 10 17 26 3 6 4 7 8 9 1 2 5 4 7 9

11 12 13 14 15 16 18 19 20 21 22 23 27 28 29 30 31 32 24 33 25 34 35 36

10 12 14 16 17 19 21 23 25 26 28 30 32 34 36

?a?

?b?

二、解答题 * 1、 (2015 年上海高考)已知数列{an}与{bn}满足 an+1﹣an=2(bn+1﹣bn) ,n∈N .
2

(1)若 bn=3n+5,且 a1=1,求数列{an}的通项公式; (2)设{an}的第 n0 项是最大项,即 a
n *

≥an(n∈N ) ,求证:数列{bn}的第 n0 项是最大项;

*

(3)设 a1=λ <0,bn=λ (n∈N ) ,求 λ 的取值范围,使得{an}有最大值 M 与最小值 m,且 ∈(﹣ 2,2) .

2、(2014 年上海高考) 已知数列 ?an ? 满足 an ? an ?1 ? 3an , n ? N , a1 ? 1 .
*

1 3

(1) 若 a2 ? 2 , a3 ? x , a4 ? 9 ,求 x 的取值范围; (2) 设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an . 若 Sn ? S n ?1 ? 3S n , n ? N ,求 q 的
*

1 3

取值范围; (3) 若 a1 , a2 , ? , ak 成等差数列,且 a1 ? a2 ? ? ? ak ? 1000 ,求正整数 k 的最大值,以及 k 取最 大值时相应数列 a1 , a2 , ? , ak 的公差.

3、 (2013 年上海高考)给定常数 c ? 0 ,定义函数 f ( x) ? 2 | x ? c ? 4 | ? | x ? c | ,数列 a1 , a2 , a3 ,? 满足 an?1 ? f (an ), n ? N * . (1)若 a1 ? ?c ? 2 ,求 a2 及 a3 ;(2)求证:对任意 n ? N * , an?1 ? an ? c ,; (3)是否存在 a1 ,使得 a1 , a2 ,?an ,? 成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1 ,若不存在,说明 理由.

4、(静安、青浦、宝山区 2015 届高三二模)设 ?an ? 是公比为 q(q 意两项之积仍是该数列中的项,那么称 ?an ? 是封闭数列. (1)若 a1

? 1) 的等比数列,若 ?an ? 中任

? 2,q ? 3 ,判断 ?an ? 是否为封闭数列,并说明理由;
? ?1 ,使 a1 ? q
m

(2)证明 ?an ? 为封闭数列的充要条件是:存在整数 m (3)记 ? n 是数列 ?an ? 的前 n 项之积, bn



? log2 ?n ,若首项为正整数,公比 q ? 2 ,试问:
3

是否存在这样的封闭数列 ?an ? ,使 lim ? 若不存在,说明理由.

?1 1 1 ? 11 ? ? ??? ? ? ? ,若存在,求 ?an ? 的通项公式; n ?? b bn ? 9 ? 1 b2

5、(闵行区 2015 届高三二模)各项均为正数的数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,且对任意正整数 n ,都 有 2Sn ? bn (bn ? 1) . (1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)如果等比数列 ?an ? 共有 m(m ? 2, m ? N? ) 项,其首项与公比均为 2 ,在数列 ?an ? 的每相邻两 项 ai 与 ai ?1 之间插入 i 个 (?1)i bi (i ? N* ) 后,得到一个新的数列 ?cn ? .求数列 ?cn ? 中所有项的和; (3)如果存在 n ? N ,使不等式 bn ?
?

1 1 成立,求实数 ? 的范围. ? (n ? 1)? ? bn?1 ? bn bn?1

6、(浦东新区 2015 届高三二模)

记无穷数列 ?an ? 的前 n 项 a1 , a2 ,?, an 的最大项为 An ,第 n 项之
2

后的各项 an?1 , an?2 ,? 的最小项为 Bn ,令 bn ? An ? Bn .

(1)若数列?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 7n ? 6 ,写出 b1、b2 ,并求数列?bn ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 1 ? 2n ,判断 ?an?1 ? an ? 是否等差数列,若是,求出公差;

若不是,请说明理由; (3)若 ?bn ? 为公差大于零的等差数列,求证: ?an?1 ? an ? 是等差数列.

?1? 7、(普陀区 2015 届高三二模)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? 0 , an ? Sn ? ? ? ? n ? N* ? ?4?

n

(1)若 bn ? 1 ? log 2 ? Sn ? an ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ; (2)若 0 ? ?n ?

?
2

, 2n ? an ? tan ?n ,求证:数列 ??n ? 为等比数列,并求出其通项公式;

(3)记 cn ? a1 ? 取值范围.

1 1 1 1 ? a2 ? ? a3 ? ? ? ? an ? ,若对任意的 n ? N* , cn ? m 恒成立,求实数 m 的 2 2 2 2

4

8、(长宁、嘉定区 2015 届高三二模)已知数列 {an } 中, a1 ? 3 , a2 ? 5 , {an } 的前 n 项和为 Sn , 且满足 Sn ? Sn ? 2 ? 2Sn ?1 ? 2n ?1 ( n ? 3 ). (1)试求数列 {an } 的通项公式;

1 2n ?1 , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,证明: Tn ? ; 6 an ? an ?1 ? 1? (3)证明:对任意给定的 m ? ? 0 , ? ,均存在 n0 ? N? ,使得当 n ? n0 时,(2)中的 Tn ? m ? 6?
(2)令 bn ? 恒成立.

9、(宝山区 2015 高三上期末)设数列 ?an ? 的首项 a 1 为常数,且 an?1 ? 3n ? 2an (n ? N*) . (1)证明: ?an ?

? ?

3n ? ? 是等比数列; 5?

(2)若 a1 ? 3 , ?an ? 中是否存在连续三项成等差数列?若存在,写出这三项,若不存在说明理由. 2 (3)若 ?an ? 是递增数列,求 a 1 的取值范围.

10、(崇明县 2015 高三上期末)已知等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 . (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)若 m ?
n ? 1, ?1, 2an ,数列 ?bn ? 满足关系式 bn ? ? ,求数列 ?bn ? 的通项公式; n ?2 2 ?bn ?1 ? m, n ? 2,

(3)设(2)中的数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ,对任意的正整数 n , ?1 ? n ? ? ? Sn ? n ? 2? ? ? n ? p ? 2n?1 ? 2 恒 成立,求实数 p 的取值范围. 11、(奉贤区 2015 高三上期末)为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用若干年 时间更换一万辆燃油型公交车。每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合 动力型车。今年初投入了电力型公交车 128 辆,混合动力型公交车 400 辆,计划以后电力型车每年 的投入量比上一年增加 50% ,混合动力型车每年比上一年多投入 a 辆.设 an 、 bn 分别为第 n 年投 入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,设 Sn 、Tn 分别为 n 年里投入的电力型公交车、混合 动力型公交车的总数量。 (1)求 S n 、 Tn ,并求 n 年里投入的所有新公交车的总数 Fn ; (2)该市计划用 7 年的时间完成全部更换,求 a 的最小值.

5

12、 (奉贤区 2015 高三上期末) 对于正项数列 {an } , 若 对 n ? N * 也恒成立是真命题. (1)若 a1 ? 1 , an ? 0 ,且 (2)若 x1 ? 4 , xn ?

an ?1 则 an ? a1 ? qn?1 ? q 对一切 n ? N * 恒成立, an

an ?1 1 ? (3c) n 1 ; ? 3c(c ? , c ? 1) ,求证:数列 {an } 前 n 项和 Sn ? 1 ? 3c an 3

2 2 2 xn?1 ? 3(n ? 2, n ? N * ) ,求证: 3 ? ( ) n ?1 ? xn ? 3 ? ( ) n ?1 . 3 3

13 、 ( 虹 口 区 2015 高 三 上 期 末 ) 已 知 各 项 均 不 为 零 的 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 且

4Sn ? an ? an?1 ? 1? n ? N ? ? ,其中 a1 ? 1 .
(1)求证: a1 , a3 , a5 成等差数列; (2)求证:数列 ?an ? 是等差数列; ( 3 )设数列 ?bn ? 满足 2bn ? 1 ?
2Tn ? log 2 an ?1 恒成立.

1 ? n ? N ? ? ,且 Tn 为其前 n 项和,求证:对任意正整数 n ,不等式 an

14 、 ( 上 海 市 八 校

2015

届 高 三

3

月 联 考 ) 在 数 列 {an } 中 ,

a1 ? 1,an ? 2an?1 ?

n?2 (n ? 2,n ? N * ) 。 n(n ? 1)

(1)若数列 {bn } 满足 bn ? an ?

1 (n ? N * ) ,求证:数列 {bn } 是等比数列; n ?1

6

(2) 设 cn ?

7 2n , 记 Sn ? c1 ? c2 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? cn?1 , 求使 S n ? 的最小正整数 n 的值。 9 (n ?1 ) an ? 1

15、 (黄浦区 2015 届高三 4 月模拟考试(二模))已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 有 am? p ? am ? a p . (1)求数列 ?an ? ( n ? N )的递推公式;
*

1 ,对任意 m、p ? N* 都 2

(2)数列 ?bn ? 满足 an ?

b b b1 b ? 2 2 ? 3 3 ? ? ? ? (?1) n ?1 n n ( n ? N* ),求通项公式 bn ; 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1
*

(3)设 cn ? 2n ? ?bn , 问是否存在实数 ? 使得数列 ?cn ? ( n ? N )是单调递增数列?若存在, 求出 ? 的 取值范围;若不存在,请说明你的理由.

参考答案 一、填空、选择题 2 2 1、 解:当方程①有实根,且②无实根时,△1=a1 ﹣4≥0,△2=a2 ﹣8<0, 2 2 2 即 a1 ≥4,a2 <8,∵a1,a2,a3 成等比数列,∴a2 =a1a3, 即 a3= ,则 a3 =(
2 2

)=

2



即方程③的判别式△3=a3 ﹣16<0,此时方程③无实根,

7

故选:B 2、【解析】: a1 ?

a3 5 ?1 a q2 ?1 ? 5 ,∵ 0 ? q ? 1 ,∴ q ? ? 1 ? q2 ? q ?1 ? 0 ? q ? 2 1? q 1? q 2 d2 2 2 (9 ? 8 ? ? ? 12 ? 02 ? 12 ? ? ? 92 ) ? 30 | d | . 19

3、【解答】 E? ? x10 , D? ? 4、 ?

4 5

? 5、 n | n ? 2015, n ? N

?

?

6、 2 n

7、D

8、2

9、-2 14、14 15、1030

10、3n+2

n 11、 4(2 ?

1 ) 2n

12、6

13、 an ? ?

?1, n ? 1 ?2 ? 3
n?2

, n ? 2, n ? N *

二、解答题 1、 (1)解:∵an+1﹣an=2(bn+1﹣bn) ,bn=3n+5, ∴an+1﹣an=2(bn+1﹣bn)=2(3n+8﹣3n﹣5)=6, ∴{an}是等差数列,首项为 a1=1,公差为 6, 则 an=1+(n﹣1)×6=6n﹣5; (2)∵an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1 =2(bn﹣bn﹣1)+2(bn﹣1﹣bn﹣2)+…+2(b2﹣b1)+a1 =2bn+a1﹣2b1, ∴ ∴ ∴数列{bn}的第 n0 项是最大项; (3)由(2)可得 ①当﹣1<λ <0 时, , 单调递减,有最大值 单调递增,有最小值 m=a1=λ , ∴ ∴ ∈(﹣2,2) ,∴λ ∈ . , ; , .

②当 λ =﹣1 时,a2n=3,a2n﹣1=﹣1, ∴M=3,m=﹣1, (﹣2,2) ,不满足条件. ③当 λ <﹣1 时,当 n→+∞时,a2n→+∞,无最大值; 当 n→+∞时,a2n﹣1→﹣∞,无最小值.

8

综上所述,λ ∈(﹣ ,0)时满足条件. 2、【解析】:(1)依题意, a2 ? a3 ? 3a2 ,∴ 综上可得 3 ? x ? 6 ; (2)由已知得 an ? q n?1 ,又 a1 ? a2 ? 3a1 ,∴ 当 q ? 1 时, Sn ? n , 当 1 ? q ? 3 时, Sn ?

1 3

2 1 ? x ? 6 ,又 a3 ? a4 ? 3a3 ,∴ 3 ? x ? 27 , 3 3 1 ?q?3 3

1 3

1 n Sn ? S n ?1 ? 3S n ,即 ? n ? 1 ? 3n ,成立 3 3

qn ?1 1 1 q n ? 1 q n?1 ? 1 qn ?1 , S n ? S n ?1 ? 3S n ,即 , ? ?3 q ?1 3 3 q ?1 q ?1 q ?1



?3q n?1 ? q n ? 2 ? 0 1 q n?1 ? 1 ,∵ q ? 1 , ? n ? 3 ,此不等式即 ? n?1 n 3 q ?1 ?q ? 3q ? 2 ? 0

∴ 3qn?1 ? qn ? 2 ? qn (3q ?1) ? 2 ? 2qn ? 2 ? 0 , 对于不等式 qn?1 ? 3qn ? 2 ? 0 ,令 n ? 1 ,得 q2 ? 3q ? 2 ? 0 ,解得 1 ? q ? 2 , 又当 1 ? q ? 2 时, q ? 3 ? 0 , ∴ qn?1 ? 3qn ? 2 ? qn (q ? 3) ? 2 ? q(q ? 3) ? 2 ? (q ?1)(q ? 2) ? 0 成立, ∴1 ? q ? 2



1 1 ? qn 1 1 1 ? q n 1 ? q n?1 1 ? qn ? q ? 1 时, Sn ? , S n ? S n ?1 ? 3S n ,即 , ? ?3 3 3 1? q 3 1? q 1? q 1? q

即?

?3q n?1 ? q n ? 2 ? 0
n ?1 n ?q ? 3q ? 2 ? 0
n?1

, 3q ? 1 ? 0, q ? 3 ? 0

∵ 3q

? qn ? 2 ? qn (3q ?1) ? 2 ? 2qn ? 2 ? 0

qn?1 ? 3qn ? 2 ? qn (q ? 3) ? 2 ? q(q ? 3) ? 2 ? (q ?1)(q ? 2) ? 0
1 ? q ? 1 时,不等式恒成立 3 1 综上, q 的取值范围为 ? q ? 2 3
∴ (3)设公差为 d ,显然,当 k ? 1000, d ? 0 时,是一组符合题意的解, ∴ kmax ? 1000 ,则由已知得

1 ? (k ? 2)d ? 1 ? (k ? 1)d ? 3[1 ? (k ? 2)d ] , 3

9

∴?

? (2k ? 1)d ? ?2 2 2 ,d ? ? ,当 k ? 1000 时,不等式即 d ? ? , 2k ? 1 2k ? 5 ?(2k ? 5)d ? ?2
2 k (k ? 1)d ? 1000 , , a1 ? a2 ? ... ? ak ? k ? 2k ? 1 2

∴d ? ?

∴ k ? 1000 时, d ?

2000 ? 2k 2 , ?? k (k ? 1) 2k ? 1

解得 1000 ? 999000 ? k ? 1000 ? 999000 ,∴ k ? 1999 , ∴ k 的最大值为 1999 ,此时公差 d ?

2000 ? 2k 1998 1 ?? ?? k (k ? 1) 1999 ?1998 1999

3、【解答】:(1)因为 c ? 0 , a1 ? ?(c ? 2) ,故 a2 ? f (a1 ) ? 2 | a1 ? c ? 4 | ? | a1 ? c |? 2 ,

a3 ? f (a1 ) ? 2 | a2 ? c ? 4 | ? | a2 ? c |? c ? 10
(2)要证明原命题,只需证明 f ( x) ? x ? c 对任意 x ? R 都成立,

f ( x) ? x ? c ? 2 | x ? c ? 4 | ? | x ? c |? x ? c
即只需证明 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c 若 x ? c ? 0 ,显然有 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c=0 成立; 若 x ? c ? 0 ,则 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c ? x ? c ? 4 ? x ? c 显然成立 综上, f ( x) ? x ? c 恒成立,即对任意的 n ? N , an?1 ? an ? c
*

(3)由(2)知,若 {an } 为等差数列,则公差 d ? c ? 0 ,故 n 无限增大时,总有 an ? 0 此时, an?1 ? f (an ) ? 2(an ? c ? 4) ? (an ? c) ? an ? c ? 8 即d ? c?8 故 a2 ? f (a1 ) ? 2 | a1 ? c ? 4 | ? | a1 ? c |? a1 ? c ? 8 , 即 2 | a1 ? c ? 4 |?| a1 ? c | ?a1 ? c ? 8 , 当 a1 ? c ? 0 时,等式成立,且 n ? 2 时, an ? 0 ,此时 {an } 为等差数列,满足题意; 若 a1 ? c ? 0 ,则 | a1 ? c ? 4 |? 4 ? a1 ? ?c ? 8 , 此时, a2 ? 0, a3 ? c ? 8,?, an ? (n ? 2)(c ? 8) 也满足题意;

10

综上,满足题意的 a1 的取值范围是 [?c, ??) ? {?c ? 8} . 4、解:(1) ?an ? 不是封闭数列,因为 an ? 2 ? 3n?1 ,…………………………………… 1 分 对任意的 m, n ? N ? ,有 an ? am ? 4 ? 3m?n?2 ,…………………………………… 2 分 若存在

p ,使得 an ? am ? ap ,即 3 p ?m?n?1 ? 2 , p ? m ? n ? 1 ? log3 2 ,该式左边为整数,右边是

无理数,矛盾.所以该数列不是封闭数列…………………………………… 4 分 (2) 证明: (必要性) 任取等比数列的两项 as , at ? s ? t ? , 若存在 ak 使 as at ? ak , 则 a1 ? qs ?t ?2 ? qk ?1 , 解得 a1 ? qk ?s ?t ?1 .故存在 m ? k ? s ? t ? 1? Z ,使 a1 ? q m ,…… 6 分 下面证明整数 m ? ?1 . 对 q ? 1 ,若 m ? ?1 ,则取 p ? ?m ? 2 ,对 a1 , a p ,存在 au 使 a1a p ? au , 即 q m ? q p ?1 ? qu ?1 , q?1 ? qu ?1 ,所以 u ? 0 ,矛盾, 故存在整数 m ? ?1 ,使 a1 ? q m .…………………………………… 8 分 (充分性)若存在整数 m ? ?1 ,使 a1 ? q m ,则 an ? q n?m?1 , 对任意 s, t ? N * ,因为 as at ? q( s ?t ?m?1)?m?1 ? as ?t ?m?1 , 所以 ?an ? 是封闭数列. …………………………………… 10 分 (3)由于 ? n ? a1 ? a2 ??? an ? a1n ? 2
n (n ?1) 2

,所以 bn ? n log 2 a1 ?

n(n ? 1) ,……………11 分 2
m

因为 ?an ? 是封闭数列且 a1 为正整数,所以,存在整数 m ? 0 ,使 a1 ? 2 ,

b ? 若 a1 ? 1 ,则 n b ? 若 a1 ? 2 ,则 n b ? 若 a1 ? 4 ,则 n
lim(

1 1 1 1 n( n ? 1) lim( ? ? ? ? ) n ?? b1 b2 bn 没有意义…12 分 2 ,此时 b1 不存在.所以

1 1 1 11 n( n ? 1) lim( ? ? ? ? ) ? 2 ? bn 9 ,………………… 13 分 2 ,所以 n?? b1 b2 1 2 n(n ? 3) ? ,于是 bn n(n ? 3) , 2

所以 n??

1 1 1 11 ? ?? ? ) ? b1 b2 bn 9 ,…………………………………… 16 分

11

b ? 若 a1 ? 4 ,则 n
lim(

1 2 n(n ? 3) ? ,于是 bn n(n ? 3) , 2

所以 n??

1 1 1 11 ? ?? ? ) ? b1 b2 bn 9 ,…………………………………… 17 分

综上讨论可知: a1 ? 4 , an ? 4 ? 2n?1,(n ? N * ) ,该数列是封闭数列.……… 18 分 5、[解] (1)(文理)当 n ? 1 时,由 2S1 ? b1 (b1 ? 1) 得 b1 ? 1 当 n ? 2 时,由 2Sn ? bn (bn ? 1) , 2Sn?1 ? bn?1 (bn?1 ? 1) 得 …………1 分

(bn ? bn?1 )(bn ? bn?1 ) ? bn ? bn?1
因数列 ?bn ? 的各项均为正数,所以 bn ? bn?1 ? 1 所以数列 ?bn ? 是首相与公差均为 1 等差数列 所以数列 ?bn ? 的通项公式为 b n ? n . (2)(理)数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n 当 m ? 2k ? 1(k ? 2, k ? N? ) 时,数列 ?cn ? 共有 ………………………………4 分 ……………………5 分 ………………………………3 分

(2k ?1) ? 1 ? 2 ? ? ? (2k ? 2) ? k (2k ?1) 项,其所有项的和为

Sk (2k ?1) ? (2 ? 22 ??? 22k ?1 ) ? [?1? 22 ? 32 ? 42 ??? (2k ? 3)2 ? (2k ? 2)2 ]
? 2(22k ?1 ?1) ? [3 ? 7 ? ? ? (4k ? 5)] ? 22k ? 2 ? (2k ?1)(k ?1)
? 1 m(m ? 1) ? 2m ?1 ? 2 2
?

………………………………8 分

当 m ? 2k (k ? N ) 时,数列 ?cn ? 共有

2k ? 1 ? 2 ? ? ? (2k ? 1) ? k (2k ? 1) 项,其所有项的和为

Sk (2k ?1) ? Sk (2k ?1) ? 22k ? (2k ?1)2
? 22k ? 2 ? (2k ?1)(k ?1) ? 22k ? (2k ?1)2 ? 22k ?1 ? k (2k ?1) ? 2
1 ? ? m(m ? 1) ? 2m ?1 ? 2 2
(文)数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n 数列 ?cn ? 中一共有 ……………………………11 分 …………………………5 分

2015 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2014 ? 1008 ? 2015 项,其所有项的和为

S1008?2015 ? (2 ? 22 ??? 22015 ) ? [?1 ? 22 ? 32 ? 42 ??? 20132 ? 20142 ] ……8 分

12

? 2(22015 ? 1) ? (3 ? 7 ? 11 ? ? ? 4027) ? 22016 ? 2 ?

3 ? 4027 ?1007 2

? 22016 ? 2015 ?1007 ? 2 ? 22016 ? 2029103
(3)(理)由 bn ?

……………………………11 分

1 1 得 ? (n ? 1)? ? bn?1 ? bn bn?1

n?

1 1 n ? ? ? 1? , n ? 1, 2,3,? n ?1 (n ? 1) 2 n?

……………………………13 分

1 n , B ? 1 ? 1 , n ? 1, 2,3,? 记 An ? n n ?1 (n ? 1) 2
由 An ? An ?1 ?

2?n , n(n ? 1)(n ? 2)

Bn ? 1 ?

2n ? 3 1 递减(或 Bn ? Bn ?1 ? )………………………15 分 2 (n ? 1) 2 (n ? 2) 2 (n ? 1)

得A 1 ? A 2 ? A 3, A 3 ? A4 ? A 5 ? ?, B 1 ? B2 ? B3 ? ? 所以实数 ? 的范围为 ? A2 , B1 ? ,即 ? , ? . 6 4 (文) 由 (n ? 1) ? bn ?

?5 5? ? ?

……………………………18 分

? ?

8 bn

? 20 得 ? ? (n ? 1)? ? bn?1 ? bn ?1 ?
……………………………13 分

n?

8 20 ? ? ? 1? , n ? 1, 2,3,? n (n ? 1)2 8 20 , Bn ? 1 ? , n ? 1, 2,3,? n (n ? 1)2

记 An ? n ?

因为 An ? n ?

8 8 ? 4 2 ,当 n ? 2 2 取等号,所以 An ? n ? 取不到 4 2 n n 8 2 的最小值为 A3 ? 5 n 3

当 n ? 3 时, An ? n ?

Bn ? 1 ?

20 20 ? ( n ? N )递减, Bn ? 1 ? 的最大值为 B1 ? 6 …………15 分 2 (n ? 1) (n ? 1)2
?

所以如果存在 n ? N ,使不等式 (n ? 1) ? bn ?

? ?

8? 20 成立 ? ? (n ? 1)? ? bn?1 ? bn ? bn ?1
?17 ?

实数 ? 应满足 A3 ? ? ? B1 ,即实数 ? 的范围应为 ? , 6? .………………………18 分 ?3 ?

13

6、解:(1)因为数列 ?an ? 从第 2 项起单调递增, a1 ? 1, a2 ? 0, a3 ? 3 , ………………………2 分 所以 b1 ? a1 ? a2 ? 1 ? 0 ? 1 ; b2 ? a1 ? a3 ? 1 ? 3 ? ?2 ; 当 n ? 3 时, bn ? an ? an?1 ? 5 ? 4n

? ? n ? 2? ? ?2, ……………………………………………………4 分 bn ? ? 5 ? 4 n , n ? 1 或 n ? 3 ? ? ? ? (2)? 数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 1 ? 2n ,? bn 递减且 bn ? 0 .
由定义知, An ? an , Bn ? an?1 ……………………………………………………6 分

0 ? bn ? An ? Bn ? an ? an?1

? an?1 ? an ,数列 ?an ? 递增,即 a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? ? ………………8 分
(an?2 ? an?1 ) ? (an?1 ? an ) ? ?(an?1 ? an?2 ) ? (an ? an?1 ) ? ?bn?1 ? bn ? ?(bn?1 ? bn )
(3)①先证数列 ?an ? 递增,利用反证法证明如下: 假设 ak 是 ?an ? 中第一个使 an ? an?1 的项,

? ?? ?? ?1 ? 2n ? ? ?1 ? 2n ? ? ??2

…………………………………………………10 分

a1 ? a2 ? ? ? ak ?2 ? ak ?1 ? ak ,……………………………………………………12 分 Ak ? Ak ?1 ? ak ?1 , Bk ?1 ? Bk bk ? bk ?1 ? ( Ak ? Bk ) ? ( Ak ?1 ? Bk ?1 )

? ? Ak ? Ak ?1 ? ? ? Bk ?1 ? Bk ? ? Bk ?1 ? Bk ? 0

与数列 ?bn ? 是公差大于 0 的等差数列矛盾. 故数列 ?an ? 递增. ……………………………………………………………………14 分 ② 已证数列 ?an ? 递增,即 a1 ? a2 ? ? ? an ? ?,

An ? an ; Bn ? an?1 ,………………………………………………………………16 分
设若 ?bn ? 的公差为 b ,则

(an?2 ? an?1 ) ? (an?1 ? an ) ? ?(an?1 ? an?2 ) ? (an ? an?1 ) ? ?( An?1 ? Bn?1 ) ? ( An ? Bn ) ? ?bn?1 ? bn ? ?(bn?1 ? bn ) ? ?b
………………………………………………………18 分 故 ?an?1 ? an ? 是等差数列.

7、解:(1) bn ? 1 ? 2n, n ? N* (2)由 2n ? an ? tan ?n得an ?
?1? * ? ?n ? N ? 代入 an ? Sn ? ? ?4?
n

tan ?n 2n

14

得 Sn ?

1 1 1 ? n ?1 ,当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n , 2 tan ? n 2 tan ? n ?1 2 tan ? n
n

tan ?n ? ,代入上式整理得 tan ?n?1 ? tan ? 2?n ? , 0 ? ?n ? n 2 2 ?n 1 ? ? 0 的常数. 所以 ? n ?1 ? 2? n , ? n ?1 2
因为 an ?
1 ? ?1? 当 n ? 1 时, a1 ? S1 , a1 ? a1 ? ? ? ,? an ? 0 ? a1 ? , tan ?1 ? 1, ?1 ? 4 2 4 ? ?

所以数列 ?? n ? 是等比数列,首项为

? 1 ,公比为 ,其通项公式为 4 2
?n ? ? ?1?
? ? 4 ?2?
n ?1

?1? ?? ? ? ?2?

n ?1

, n ? N*

(3)由(2)得 an ? 所以

1 ? tan n?1 , n ? N* ,它是个单调递减的数列, n 2 2 1 1 1 1 an ? a1 ? , an ? ? 0 ? an ? ? ? an , 2 2 2 2
cn ? a1 ? ? n ? Sn 2 1 1 1 1 ? a2 ? ? a3 ? ? ? ? an ? 2 2 2 2

对任意的 n ? N* , cn ? m 恒成立,所以 m ? ? cn ?min . 由 cn ?1 ? cn ?
n ?1 ?n ? 1 ? Sn ?1 ? ? ? Sn ? ? ? an ?1 ? 0 知, cn ?1 ? cn 2 ?2 ? 2

所以数列 ?cn ? 是单调递增的, c n 最小值为 c1 ? 0 , m ? ? cn ?min ? 0 因此,实数 m 的取值范围是 ? ??,0? . 8、(1)由 Sn ? Sn ? 2 ? 2Sn ?1 ? 2n ?1 ( n ? 3 ),得 Sn ? Sn ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? 2 ? 2n ?1 ( n ? 3 ), 所以 an ? an ?1 ? 2n ?1 ( n ? 3 ), 即 an ? an ?1 ? 2n ?1 ( n ? 3 ) ……………………(2 分) 又 a2 ? a1 ? 2 ,所以 an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1

2(1 ? 2n ?1 ) ? 3 ? 2n ? 1. ……………………(4 分) 1? 2 2n ?1 1? 1 1 ? 2n ?1 (2) bn ? ? n ? ? n ? n ?1 ? ,………………(2 分) n ?1 an ? an ?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 2 ? 1 2 ? 1 ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 所以, Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? n ?1 ?? 2 ?? 3 5 ? ? 5 9 ? ? 2 ? 1 2 ? 1 ?? ? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? ? ? 22 ? 2 ? 3 ?

1?1 1 ? ? ? ? n ?1 ? . 2 ? 3 2 ?1? 1 所以, Tn ? . 6

…………………………………………………………(5 分)

15

(3)由(2), Tn ?

2n 1?1 1 ? ? 0 ,所以 Tn 随着 n 的 ? ? n ?1 ? ,因为 Tn ?1 ? Tn ? n ?1 2 ? 3 2 ? 1? (2 ? 1)(2n ? 2 ? 1)

增大而增大. ………………………………………………(1 分)

1 ? 6m 1 1?1 1 ? ? n ?1 , …………(2 分) ? ? n ?1 ? ? m ,化简得 3 2 ?1 2 ? 3 2 ?1? 3 ? 1? n ?1 ?1, 因为 m ? ? 0 , ? ,所以 1 ? 6m ? 0 ,所以 2 ? 1 ? 6m ? 6? ? 3 ? ……………………………………(4 分) n ? log2 ? ? 1? ? 1 , ? 1 ? 6m ? 1 ? 3 ? 当 log2 ? ? 1? ? 1 ? 1,即 0 ? m ? 时,取 n0 ? 1 即可. …………(5 分) 15 ? 1 ? 6m ? 1 1 ? 3 ? ? 3 ? 当 log2 ? ? 1? ? 1 ? 1,即 ? m ? 时,记 log2 ? ? 1? ? 1的整数部分为 p , 15 6 ? 1 ? 6m ? ? 1 ? 6m ? 取 n0 ? p ? 1即可. ……………………………………………………………(7 分)
若 Tn ? m ,则 综上可知,对任意给定的 m ? ? 0 , 立.

? ?

1? ? ? ,均存在 n0 ? N ,使得当 n ? n0 时,(2)中的 Tn ? m 恒成 6?
……………………………………(8 分)

1 n ?1 ? 3? ? 3n ? 5 9、证明:(1)因为 ? ?2 ,所以数列 ?an ? ? 是等比数列;……3 分 1 n 5? ? an ? ? 3? 5 an ?1 ?
(2) ?an ?

? ?

3n ? 3 9 ? 是公比为-2,首项为 a1 ? ? 的等比数列. 5? 5 10

3n ? 3? 3n 9 n?1 通项公式为 an ? ? ? a1 ? ? (?2) ? ? (?2)n?1 , …………………4 分 5 ? 5? 5 10
若 ?an ? 中存在连续三项成等差数列,则必有 2an?1 ? an ? an? 2 , 即 2[

3n ?1 9 3n 9 3n?2 9 ? (?2) n ] ? ? (?2) n ?1 ? ? (?2) n ?1 5 10 5 10 5 10

解得 n ? 4 ,即 a 4 , a5 , a 6 成等差数列. ………………………………………7 分

3n?1 ? 3? 3n ? 3? n (3) 如果 an?1 ? an 成立, 即 ? ? a1 ? ? (?2) ? ? ? a1 ? ? (?2)n?1 对任意自然数均成立. 5 ? 5? 5 ? 5?
4 n 3 ? 3 ? ?(a1 ? )( ?2) n …………………………………………9 分 15 5 3 4 3 n ( ) , 当 n 为偶数时 a1 ? ? 5 15 2 3 4 3 n ( ) 是递减数列,所以 p(n) max ? p(2) ? 0 , 因为 p ( n) ? ? 5 15 2
化简得
16

即 a1 ? 0 ;

……………………………………………………………10 分

当 n 为奇数时, a1 ?

3 4 3 n 3 4 3 ? ( ) ,因为 q(n) ? ? ( ) n 是递增数列, 5 15 2 5 15 2

所以 q(n) min ? q(1) ? 1,即 a1 ? 1;………………………………………11 分 故 a 1 的取值范围为 (0,1) . …………………………………………………12 分 10、解:(1)等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 得?

? a1 ? 2d ? 7 ?2a1 ? 10 d ? 26

所以 ?

?a1 ? 3 , an ? 2n ? 1 (n ? N ? ) ?d ? 2
n ?1

(2) m ? 2

1 n ?1 ? bn ? ? n ?1 n?2 ?bn ?1 ? 2
由上 n ? 2 时, bn ? 2 n ? 1
1 ? 由于当 n ? 1 时, 2 ? 1 ? 1 ? b1 ,所以 bn ? 2 n ? 1 (n ? N )

(3)由 ( 1 ? n) ? (Sn ? n ? 2)+(n ? p) 2n?1 ? 2 得p?

1 ? 1 对一切 (n ? N ? ) 恒成立, n 2

由于

1 1 ? 1 (n ? N ? ) 为减函数,所以 p ? lim ( n ? 1) ? ?1 ,取值范围是 ?? ?,?1?。 n 2 2 n ??

11、(1)设 an 、 bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量, 依题意知,数列 {an } 是首项为 128 、公比为 1 ? 50% ? 数列 {bn } 是首项为 400 、公差为 a 的等差数列,

3 的等比数列; 2

1分 2分

3 128[1 ? ( ) n ] 2 ? 256[( 3 )n ? 1] , 所以数列 {an } 的前 n 和 Sn ? 3 2 1? 2 n(n ? 1) a, 数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? 400n ? 2

4分

6分

17

所以经过 n 年,该市更换的公交车总数

3 n(n ? 1) Fn ? Sn ? Tn ? 256[( ) n ? 1] ? 400n ? a; 2 2
(2)因为 256[( ) ? 1] 、 400n ?
n

7分

3 2

n(n ? 1) a(a ? 0) 是关于 n 的单调递增函数, 9 分 2
10 分 11 分 12 分 13 分 2分 4分
n ?1

因此 Fn 是关于 n 的单调递增函数, 所以满足 a 的最小值应该是 F7 ? 10000 , 即 256[( ) ? 1] ? 400 ? 7 ?
7

3 2

3082 7?6 a ? 10000 ,解得 a ? , 21 2

又 a ? N ,所以 a 的最小值为 147.
*

12、(1)?

an?1 n ?1 ? 3c,? an ? a1 ? ?3c ? , an
n ?1

? a2 ? 3c, a3 ? 9c 2 ,? an ? ? 3c ?

, ,

S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ? 3c ? 9c 2 ? ? 3c ?

6分 7分

1 ? ? 3c ? ; ? Sn ? 1 ? 3c
n

(2) x n ? 3 ?

2 xn ?1 ? 3 ? 3 ?
2 xn ?1 ? 3 , 3
n ?1

?

2 xn?1 ? 3 ? 3

??

2 xn ?1 ? 3 ? 3

2 xn?1 ? 3 ? 3

??

2 xn?1 ? 3 2 xn ?1 ? 3 ? 3

, 10 分

? xn ? 3 ?

11 分

? 2? ? xn ? 3 ? x1 ? 3 ? ? ? ? 3?
?2? ? xn ? 3 ? ? ? ?3?
n ?1



12 分

13 分
n ?1

? 2? ?3 ? ? ? ? 3?

n ?1

? 2? ? xn ? 3 ? ? ? ? 3?



14 分

13、(1)解: 4Sn ? an an?1 ? 1 ①; 4Sn?1 ? an?1an ? 1 ②;①-②得 an?1 ? an?1 ? 4 ,得证; (2)解:由 a1 ? 1 ,得 a2 ? 3 ,结合第(1)问结论,即可得 {an } 是等差数列; (3)解:根据题意, bn ? log 2

2n 2 4 6 2n , Tn ? log 2 ? ? ? … ? ; 2n ? 1 1 3 5 2n ? 1 2 4 6 2n ? ? ? …? ? 2n ? 1 ; 1 3 5 2n ? 1

要证 2Tn ? log2 an?1 ? log2 (2n ? 1) ,即证 当 n ? 1 时, 2 ? 3 成立;

18

假设当 n ? k 时, 当 n ? k ? 1 时,

2 4 6 2k ? ? ? …? ? 2k ? 1 成立; 1 3 5 2k ? 1

2k ? 2 2 4 6 2k 2k ? 2 2k ? 2 ? ? ? …? ? ? 2k ? 1 ? ; ? 1 3 5 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1

要证

2k ? 2 ? 2k ? 3 ,即证 (2k ? 2)2 ? (2k ? 1)(2k ? 3) ,展开后显然成立, 2k ? 1

所以对任意正整数 n ,不等式 2Tn ? log 2 an ?1 恒成立; 14、(1)因为 bn ? an ?

1 1 n?2 ,所以 an ? bn ? ,代入 an ? 2an ?1 ? 得 n ?1 n ?1 n(n ? 1)
------2 分

b?

1 1 n?2 ? 2(bn?1 ? ) ? (n ? 2, n ? N * ) n ?1 n n(n ? 1)

化简得: bn ? 2bn?1

------4 分 ------5 分 -------6 分

1 3 ? 2 2 3 所以 {bn } 是以 为首项, 2 为公比的等比数列。 2
又 b1 ? a1 ? (2)由(1)得 bn ?

3 n ?1 3 1 ? 2 ,所以 an ? ? 2n ?1 ? 2 2 n ?1

------8 分

4 2n 由 cn ? ,得 cn ? 3(n ? 1) (n ? 1)an ? 1 cn ? cn?1 ? 16 16 1 1 ? ( ? ) 9(n ? 1)(n ? 2) 9 n ? 1 n ? 2

-------9 分

------10 分

所以 S n ? c1 ? c2 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? cn ?1 ?

16 1 1 1 1 1 1 [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 9 2 3 3 4 n ?1 n ? 2
-------12 分

?

16 1 1 8 16 ( ? )? ? 。 9 2 n ? 2 9 9(n ? 2)

若 Sn ?

7 8 16 7 16 1 ? ,即 ? ,得 n ? 14 ,则 ? 9 9 9(n ? 2) 9 9(n ? 2) 9
-------14 分

所以满足条件的最小正整数 n 等于 15 。 15、解(1) ? 对任意 m、p ? N 都有 am? p ? am ? a p 成立,
*

∴令 m ? n, p ? 1 ,得 an?1 ? a1 ? an , n ? N .
*

19

1 ? ?a1 ? , ∴数列 ?an ? ( n ? N )的递推公式是 ? 2 ?a ? a ? a , n ? N*. ? n?1 1 n
*

(2)由(1)可知,数列 ?an ? ( n ? N )是首项和公比都为
*

1 1 * 的等比数列,于是 an ? n ( n ? N ) . 2 2

b b b1 b ? 2 2 ? 3 3 ? ? ? ? (?1) n ?1 n n ( n ? N* ),得 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 b b ?1 b b an ?1 ? 1 ? 2 2 ? 3 3 ? ? ? ? (?1) n n ?n ( n ? 2 ). 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 1 ?1 bn 1 n ?1 ? bn ? (?1) n ( n ? 1)(n ? 2) . 故 an ? an ?1 ? (?1) n 2 ?1 2 b1 3 ? b1 ? . 当 n ? 1 时, a1 ? 2 ?1 2
由 an ?

?3 , (n ? 1) ? ?2 所以 bn ? ? ?(?1) n ( 1 ? 1). (n ? 2, n ? N* ) ? ? 2n
(3) ∵ cn ? 2n ? ?bn , ∴当 n ? 3 时, cn ? 2 ? (?1) (
n n

1 ? 1)? , 2n 1 cn ?1 ? 2n ?1 ? (?1) n ?1 ( n ?1 ? 1)? , 2
n ?1

依据题意,有 cn ? cn ?1 ? 2

? (?1)n ? (2 ?

2n ?1 3 n ) ? 0 ( ? 1) ? ? ? ,即 . 3 2n ?2 2n

n ?1 10 当 n 为大于或等于 4 的偶数时,有 ? ? ? 2

n ?1 恒成立,又 2 随 n 增大而增大,则 3 3 ?2 ?2 2n 2n

? ? 128 ? 2n?1 ? 128 ; (n ? 4) ,故 ? 的取值范围为 ? ? ? ? 3 ? ? 35 35 ? n ?2? ?2 ?min
n ?1 32 20 当 n 为大于或等于 3 的奇数时,有 ? ? 2 恒成立,故 ? 的取值范围为 ? ? ; 19 3

2n

?2

5 3 30 当 n ? 2 时,由 c2 ? c1 ? (22 ? ? ) ? (2 ? ? ) ? 0 ,得 ? ? 8 . 4 2 128 32 ??? 综上可得,所求 ? 的取值范围是 ? . 35 19

20


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