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专题四


专题四

概率与统计

第 1 讲 排列与组合 一.考题为证 1.将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲,乙两地参加社会实践活动,每个小 组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有 ( ) A. 12 种 B. 10 种 C. 9 种 D. 8 种 2.若从 1,2,3,?,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共 有( ) A. 60 种 B. 63 种 C. 65 种 D. 66 种 3.两人进行乒乓球比赛,先赢 3 局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输 赢局次的不同视为不同情形)共有 ( ) A. 10 种 B. 15 种 C. 20 种 D. 30 种 4.在 (2 x ?
2

A. 10
5. ( x ?

1 5 ) 的二项展开式中, x 的系数为 ( ) x B. -10 C. 40 D. -40
1 ) 8 的展开式中常数项为 ( )

2 x

A.

35 16

B.

35 8

C.

35 4

D. 105

二.核心考点 考点 1:两个计数原理 考点 2:排列与组合 考点 3:二项式定理 热点考向聚焦 考向一:分类、分步计数原理 例 1.在神舟九号飞船飞行的过程中, 地面上有 A, B, C, D 四个科研机构在接收其发回的重要 信息, 这四个科研机构两两之间互相接发信息, 但飞船只能随机地向其中一个科研机构发送 信息,每个科研机构都不能同时向两个或两个以上的科研机构发送信息.某日,这四个机构 之间发送了三次信息后,都获得了飞船发回的同一条信息,那么是 A 机构接收到该信息后 与其他机构互相联系的方式共有 ( ) A. 16 种 B. 17 种 C. 34 种 D. 48 种 变式: 若自然数 n 使得作加法 n ? (n ? 1) ? (n ? 2) 运算不产生进位现象, 则称 n 为 “给力数” , 例如:32 是“给力数” ,因为 32+33+34 不产生进位现象;23 不是“给力数” ,因为 23+24+25 产生进位现象,设小于 1000 的所有“给力数”的各数位上的数字组成集合 A ,则用集合 A 中 的数字可组成无重复数字的四位偶数的个数是__________

考向二 排列与组合 例 2:将“你能 HOLD 住吗”8 个汉字及英文字母填入 5 ? 4 的方格内,其中“你”字填入 左上角, “吗”字填入右下角,将其余 6 个汉字及英文字母依次填入方格,要求只能横读或 竖读成一句原话,如图所示为一种填法,则不同的填法有 ( ) A. 32 种 B. 36 种 C. 35 种 D. 38 种

变式:某单位安排 7 位员工在 2012 年 1 月 22 日至 1 月 28 日(即今年除夕到正月初六)值班, 每天安排 1 人,每人值班 1 天.若 7 位员工中的甲,乙排在相邻两天,丙不排在除夕,丁不 排在初一,则不同的安排方案共有 ( ) A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D. 1056 种

考向三 二项式定理 例 3: ( x ? 2)(
2

A. -3

1 ? 1) 5 的展开式的常数项是 ( ) 2 x B. -2 C. 2 D. 3

变式:二项式 (3 x ?

2 x

) n 的展开式中,第 9 项是常数项,则 n 的值是( )

A. 4

B. 8

C. 11

D. 12

三.考技特别课堂 1.已知 x 的值为(
2012

? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a 2 ( x ? 1) 2 ? ? ? a 2012 ( x ? 1) 2012 , a0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a 2012

)

A. 2011

B. 2012
7

C. 2 2011
2

D. 2 2 0 1 2
7

2.已知 (1 ? 2 x) ? a0 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a7 x ,求: ⑴ a1 ? a 2 ? ? ? a7 ⑵ a1 ? a3 ? a5 ? a7 ⑶ | a0 | ? | a1 | ? ?? | a7 | .

四.命题猜想: 1.有 5 盆菊花,其中黄菊花 2 盆,白菊花 2 盆,红菊花 1 盆,现把它们摆放成一排,要求 2 盆黄菊花必须相邻,2 盆白菊花不能相邻,则这 5 盆花不同的摆放种数是( ) A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 2.设( ( x ? 1) (2 x ? 1) ? a0 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a6 x ),则 a 2 ? _________.
5 2 6

第二讲 概率、随机变量及其分布
一.考题为证 1.袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球、2 个白球和 3 个黑球,从袋中 任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 ( )

A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

3 5

2.如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q ,则 点 Q 取自 ?ABE 内部的概率等于 ( )

1 1 2 C. D. 3 2 3 3.在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C , 现作一矩形, 邻边长分别等于线段 AC , CB 的长,

A.

1 4

B.

则该矩形面积大于 20 cm 的概率为 ( )

2

A.

1 6 4 9

B.

1 3 1 3

C.

2 3 2 9

D.

4 5
)

4.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概率是 (

A.

B.

C.

D.

1 9

5.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两 人选择的项目完全相同的概率是_________(结果用最简分数表示). 二.核心考点 考点 1:古典概型 考点 2:几何概型 考点 3:利用事件间的关系来研究事件的概率 考点 4:随机变量的分布列、期望与方差 三.热点考向聚焦 考向一:古典概型 例 1: 有两个不透明的袋子, 每个袋子都装有 4 个完全相同的小球, 球上分别标有数字 2,0,1,2, 甲从其中一个袋子中摸出 1 个球, 乙从另 1 个袋子中摸出一个球, 谁摸出的球标出的数字大 谁就获胜(若数字相同则为平局),求甲获胜的概率.

变式:在一次“知识竞赛”活动中,有 A1 , A2 , B, C 四道题,其中 A1 , A2 为难度相同的容易 题, B 为中档题, C 为较难题,现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答. ⑴求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率; ⑵求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率.

考向二:几何概型 例 2:如图所示,在边长为 1 的正方形 0 ABC 中任取一点 P ,则点 P 恰好取自阴影部分的 概率为( )

A.

1 4

B.

1 5

C.

1 6

D.

1 7

变式:已知直线 AB : x ? y ? 6 ? 0 与抛物线 y ? x 及 x 轴正半轴围成的阴影部分如图所
2

示,若从 Rt?AOB 区域内任取一点 M ( x, y ) ,则点 M 取自阴影部分的概率为___________.

考向三:相互独立事件的概率 例 3: 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和 B , 系统 A 和系统 B 在任 意时刻发生故障的概率分别为

1 和P. 10 49 ,求 P 的值. 50

⑴若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

⑵求系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.

变式:为了拓展网络市场,腾讯公司为 QQ 用户推出了多款 QQ 应用,如 QQ 农场,QQ 音 乐,QQ 读书等,市场调查表明,QQ 用户在选择以上三种应用时,选择农场,音乐,读书 的概率分别为

1 1 1 , , ,现有甲、乙、丙三位 QQ 用户独立任意选择以上三种应用中的一种 2 3 6

进行添加. ⑴求三人中恰好有两人选择 QQ 音乐的概率. ⑵求三人所选择的应用互不相同的概率.

考向四:随机变量的分布列 例 4:已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球得 2 分,取出一个黑球得 1 分,现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出此 3 球所得分数之和. ⑴求 X 的分布列 ⑵求 X 的数学期望 E (X ).

变式:某幼儿园为训练孩子的数字运算能力,在一个盒子里装有标号为 1,2,3,4,5 的卡片各 2 张,让孩子从盒子里任取 3 张卡片,按卡片上最大数字的 9 倍计分,每张卡片被取出的可能 性都相等,用 X 表示取出的 3 张卡片上的最大数字. ⑴求取出的 3 张卡片上的数字互不相同的概率. ⑵求随机变量 X 的分布列及数学期望. ⑶若孩子取出的卡片的计分超过 30 分,就得到奖励,求孩子得到奖励的概率.

四.考技特别课堂 1.某校对新扩建的校园进行绿化,移栽香樟和桂花两种树各 2 棵,若香樟的成活率为 花的成活率为

4 ,桂 5

3 ,假设每棵树成活与否是相互独立的. 4

⑴求两种树各成活一棵的概率. ⑵设 X 表示成活的棵数,求 X 的分布列及数学期望

2.为保护水资源,宣传节约用水,某校 4 名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣 传活动,每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家,且每人的选择相互独立. ⑴求 4 人恰好选择了同一家公园的概率. ⑵设选择甲公园的志愿者的人数为 X ,试求 X 的分布列及数学期望.

五.命题猜想: 1.随着科技的进步,微爆技术正逐步被应用到我们日常生活中的各个方面,某医院为探究微 爆技术在治疗肾结石方面的应用,设计了一个实验:在一个棱长为 1 cm 的正方体的中心放 置微量手术专用炸药,而爆炸的威力范围是一个半径为 r 的球,则爆炸之后形成的碎片全部 落在正方形内部的概率为( )

A.

? 6

B.

? 5

C.

? 4

D.

? 9

2.某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行 4 次考核,规定:按顺序考核,一旦考核 合格就不必参加以后的考核, 否则还需要参加下次考核, 若小李参加每次考核合格的概率依

1 1 的等差数列,他参加第一次考核合格的概率超过 ,且他直到参加第 8 2 9 二次考核才合格的概率为 32
次组成一个公差为 ⑴求小李第一次参加考核就合格的概率 P1 ⑵求小李参加考核的次数 X 的分布列和数学期望 E (X ) .


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