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黑龙江省大庆市铁人中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析


2015-2016 学年黑龙江省大庆市铁人中学高二(上)期中数学试卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.下列命题中,真命题是( A.? x0∈R, )
x 2

≤0 B.? x∈R,2 >x

C.a+b=0 的充要条件是 =﹣1

D.a>1,b>1

是 ab>1 的充分条件

2.命题“? x0∈R,log2x0≤0”的否定为( A.? x0∈R,log2x0>0 B.? x0∈R,log2x0≥0 C.? x∈R,log2x≥0 D.? x∈R,log2x>0

)

3.当 m∈N ,命题“若 m>0,则方程 x +x﹣m=0 有实根”的逆否命题是( A.若方程 x +x﹣m=0 有实根,则 m>0 B.若方程 x2+x﹣m=0 有实根,则 m≤0 C.若方程 x +x﹣m=0 没有实根,则 m>0 D.若方程 x +x﹣m=0 没有实根,则 m≤0
2 2 2

*

2

)

4.在△ABC 中,“A=60°”是“

”的(

)

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知命题 p:? x∈R,使 ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧¬q”是假命题; ③命题“¬p∨q”是真命题; ④命题“¬p∨¬q”是假命题. 其中正确的是( )

;命题 q:? x∈R,都有 x2+x+1>0.给出下列结论:

A.②③ B.②④ C.③④ D.①②③

6.函数 f(x)=(a+1)tan2x+3sinx+a2﹣3a﹣4 为奇函数的充要条件是( A.a=4 B.a=﹣1 C.a=4 或 a=﹣1 D.a∈R

)

7.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出 s 的值是(

)

A.1

B.2

C.4

D.7

8.如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数.从 1, 2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( A. B. C. D. )

9.已知函数 f(x)=3x ﹣x﹣1,x∈,在上任取一个数 x0,f(x0)≥1 的概率是( A. B. C. D.

2

)

10.已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投 篮恰有两次命中的概率:先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数,用 1,2,3,4 表示 命中,用 5,6,7,8,9,0 表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经 随机模拟产生了 20 组随机数:

907 431

966 257

191 393

925 027

271 556

932 488

812 730

458 113 )

569 537

683 989

据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( A.0.35 B.0.30 C.0.25 D.0.20

11.设 F1、F2 是椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的左右焦点,P 是直线 x= a 上一点,△F2PF1 )

是底角为 30°的等腰三角形,则椭圆 E 的离心率为( A. B. C. D.

12.椭圆 C:

的左、右顶点分别为 A1、A2,点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取值范围是, ) D.

那么直线 PA1 斜率的取值范围是( A. B. C.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.某学院的 A,B,C 三个专业共有 1200 名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采 用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本.已知该学院的 A 专业有 380 名学生,B 专业有 420 名学生,则在该学院的 C 专业应抽取__________名学生.

14. 甲、 乙两人下棋, 两人下成和棋的概率为 , 乙获胜的概率为 , 甲获胜的概率是__________, 甲不输的概率__________.

15.若“? x∈,m≥tanx”是真命题,则实数 m 的取值范围是__________.

16.已知椭圆 C:

+

=1 的 AB 的中点 M 的坐标为(2,1) ,则直线 AB 的方程为__________.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分. 17. (14 分)椭圆的两个焦点的坐标分别为 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) ,且椭圆经过点( ,﹣ ) (1)求椭圆标准方程. (2)求椭圆长轴长、短轴长、离心率.

18. (14 分)已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) ,B(2,﹣2) ,且圆心 C 在直线 l:x﹣y+1=0 上 (1)求圆 C 的标准方程 (2)求过点(1,1)且与圆相切的直线方程.

19. (14 分)连锁经营公司所属 5 个零售店某月的销售额利润资料如表: 商品名称 销售额 x/千万元 利润额 y/百万元 A 3 2 B 5 3 C 6 3 D 7 4 E 9 5

(1)画出销售额和利润额的散点图 (2)若销售额和利润额具有相关关系,试计算利润额 y 对销售额 x 的回归直线方程. (3)估计要达到 1000 万元的利润额,销售额约为多少万元.

(参考公式: =

=

, = ﹣ x)

20. (14 分)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均为整数) 分成六段后画出如图部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分.

21. (14 分)已知椭圆 C:

,的离心率为

,A、B 分别为椭圆的

长轴和短轴的端点,M 为 AB 的中点,O 为坐标原点,且 (Ⅰ)求椭圆的方程;



(Ⅱ)过(﹣1,0)的直线 l 与椭圆交于 P、Q 两点,求△POQ 的面积的最大时直线 l 的方程.

2015-2016 学年黑龙江省大庆市铁人中学高二(上)期中数学试卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.下列命题中,真命题是( A.? x0∈R, )

≤0 B.? x∈R,2x>x2 D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件

C.a+b=0 的充要条件是 =﹣1

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;全称命题;特称命题;命题的真假判断与 应用. 【专题】计算题. 【分析】利用指数函数的单调性判断 A 的正误; 通过特例判断,全称命题判断 B 的正误; 通过充要条件判断 C、D 的正误; 【解答】解:因为 y=ex>0,x∈R 恒成立,所以 A 不正确; 因为 x=﹣5 时 2 <(﹣5) ,所以? x∈R,2 >x 不成立.
﹣5 2 x 2

a=b=0 时 a+b=0,但是 没有意义,所以 C 不正确; a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件,显然正确. 故选 D. 【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断,全称命题,特称命题,命题的真 假判断与应用,考查基本知识的理解与应用.

2.命题“? x0∈R,log2x0≤0”的否定为( A.? x0∈R,log2x0>0 B.? x0∈R,log2x0≥0 C.? x∈R,log2x≥0 D.? x∈R,log2x>0 【考点】命题的否定. 【专题】简易逻辑.

)

【分析】根据特称命题的否定是全称命题,写出命题 P 的否定¬p 即可. 【解答】解:∵命题 P 是“? x0∈R,log2x0≤0”,

∴它的否定是¬p:“? x∈R,log2x>0”. 故选:D. 【点评】本题考查了特称命题与全称命题的应用问题,解题时应根据特称命题的否定是全称 命题,直接写出答案即可,是基础题.

3.当 m∈N ,命题“若 m>0,则方程 x +x﹣m=0 有实根”的逆否命题是( A.若方程 x2+x﹣m=0 有实根,则 m>0 B.若方程 x2+x﹣m=0 有实根,则 m≤0 C.若方程 x2+x﹣m=0 没有实根,则 m>0 D.若方程 x2+x﹣m=0 没有实根,则 m≤0 【考点】四种命题间的逆否关系. 【专题】简易逻辑. 【分析】直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可.

*

2

)

【解答】解:由逆否命题的定义可知:当 m∈N*,命题“若 m>0,则方程 x2+x﹣m=0 有实根” 的逆否命题是:若方程 x +x﹣m=0 没有实根,则 m≤0. 故选:D. 【点评】本题考查四种命题的逆否关系,考查基本知识的应用.
2

4.在△ABC 中,“A=60°”是“

”的(

)

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】三角函数的求值. 【分析】判断出若“cosA= ”成立,则有“A=60°成立;反之在△ABC 中,若“A=60°成立则 “cosA= ”成立,利用充要条件的定义得到结论. 【解答】解:在△ABC 中,若“cosA= ”成立,则有“A=60°成立; 反之在△ABC 中,若“A=60°成立则有“cosA= ”成立,

所以,“A=60°”是“ 故选 C.

”的充要条件.

【点评】判断一个命题是另一个命题的什么条件,应该先确定出条件,然后两边互推,利用 充要条件的有关定义进行判断.

5.已知命题 p:? x∈R,使 ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧¬q”是假命题; ③命题“¬p∨q”是真命题; ④命题“¬p∨¬q”是假命题. 其中正确的是( )

;命题 q:? x∈R,都有 x2+x+1>0.给出下列结论:

A.②③ B.②④ C.③④ D.①②③ 【考点】复合命题的真假. 【专题】阅读型. 【分析】根据正弦函数的值域及二次不等式的解法,我们易判断命题 p:? x∈R,使 sin x= 与命题 q:? x∈R,都有 x +x+1>0 的真假,进而根据复合命题的真值表,易判断四个结论的
2

真假,最后得到结论. 【解答】解:∵ >1,结合正弦函数的性质,易得命题 p:? x∈R,使 sin x= 为假命题,

又∵x2+x+1=(x+ )2+ >0 恒成立,∴q 为真命题,故非 p 是真命题,非 q 是假命题; 所以①p∧q 是假命题,错; ②p∧非 q 是假命题,正确; ③非 p∨q 是真命题,正确; ④命题“?p∨?q”是假命题,错; 故答案为:②③ 故选 A. 【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假,其中根据正弦函数的值域及二次不等式的解 法,判断命题 p 与命题 q 的真假是解答的关键.

6.函数 f(x)=(a+1)tan x+3sinx+a ﹣3a﹣4 为奇函数的充要条件是( A.a=4 B.a=﹣1 C.a=4 或 a=﹣1 D.a∈R

2

2

)

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】方程思想;定义法;简易逻辑. 【分析】根据充要条件的定义结合函数奇偶性的性质进行求解即可. 【解答】解:∵函数 f(x)=(a+1)tan x+3sinx+a ﹣3a﹣4 为奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) , 即(a+1)tan2x﹣3sinx+a2﹣3a﹣4=﹣, 即(a+1)tan2x+a2﹣3a﹣4=﹣(a+1)tan2x﹣(a2﹣3a﹣4) , 则 ,
2 2

即 则 a=﹣1,

,即



当 a=﹣1 时,f(x)=3sinx 为奇函数, 则函数 f(x)=(a+1)tan x+3sinx+a ﹣3a﹣4 为奇函数的充要条件是 a=﹣1, 故选:B 【点评】本题主要考查充要条件的求解,根据函数奇偶性的定义建立方程关系是解决本题的 关键.
2 2

7.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出 s 的值是(

)

A.1

B.2

C.4

D.7

【考点】程序框图. 【专题】算法和程序框图. 【分析】 由已知中的程序框图及已知中输入 3, 可得: 进入循环的条件为 i≤3, 即 i=1, 2, 3. 模 拟程序的运行结果,即可得到输出的 S 值. 【解答】解:当 i=1 时,S=1+1﹣1=1; 当 i=2 时,S=1+2﹣1=2; 当 i=3 时,S=2+3﹣1=4; 当 i=4 时,退出循环,输出 S=4; 故选 C. 【点评】本题考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循环的变 法,但程序的循环体中变量比较多时,要用表格法对数据进行管理.

8.如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数.从 1, 2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( A. B. C. D. )

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【专题】概率与统计. 【分析】一一列举出所有的基本事件,再找到勾股数,根据概率公式计算即可.

【解答】解:从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,有(1,2,3) , (1,2,4) , (1,2,5) , (1,3,4) , (1,3,5) , (1,4,5) (2,3,4) , (2,3,5) , (2,4,5) , (3,4,5)共 10 种, 其中只有(3,4,5)为勾股数, 故这 3 个数构成一组勾股数的概率为 故选:C 【点评】本题考查了古典概型概率的问题,关键是不重不漏的列举出所有的基本事件,属于 基础题. .

9.已知函数 f(x)=3x ﹣x﹣1,x∈,在上任取一个数 x0,f(x0)≥1 的概率是( A. B. C. D.

2

)

【考点】几何概型. 【专题】转化思想;不等式的解法及应用;概率与统计. 【分析】根据一元二次不等式的解法求出不等式的解,结合几何概型的概率公式进行求解即 可. 【解答】解:由 f(x)≥1 得 3x ﹣x﹣1≥1,即 3x ﹣x﹣2≥0 得(3x+2) (x﹣1)≥0, 得 x≥1 或 x≤﹣ , ∵x∈, ∴﹣1≤x≤﹣ 或 1≤x≤2, 即﹣1≤x0≤﹣ 或 1≤x0≤2,
2 2

则在上任取一个数 x0,f(x0)≥1 的概率 P= 故选:B

= ,

【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的应用,根据一元二次不等式的解法求出不等式 的解是解决本题的关键.

10.已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投 篮恰有两次命中的概率:先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数,用 1,2,3,4 表示

命中,用 5,6,7,8,9,0 表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经 随机模拟产生了 20 组随机数: 907 431 966 257 191 393 925 027 271 556 932 488 812 730 458 113 ) 569 537 683 989

据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( A.0.35 B.0.30 C.0.25 D.0.20 【考点】模拟方法估计概率. 【专题】应用题;概率与统计.

【分析】由题意知模拟三次投篮的结果,经随机模拟产生了如下 20 组随机数,在 20 组随机 数中表示三次投篮恰有两次命中的有可以通过列举得到共 5 组随机数,根据概率公式,得到 结果. 【解答】解:由题意知模拟三次投篮的结果,经随机模拟产生了如下 20 组随机数, 在 20 组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有:191、271、932、812、393. 共 5 组随机数, ∴所求概率为 故选:C. 【点评】本题考查模拟方法估计概率,是一个基础题,解这种题目的主要依据是等可能事件 的概率,注意列举法在本题的应用. =0.25,

11.设 F1、F2 是椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的左右焦点,P 是直线 x= a 上一点,△F2PF1 )

是底角为 30°的等腰三角形,则椭圆 E 的离心率为( A. B. C. D.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,可得|PF2|=|F2F1|,根据 P 为直线 x= a 上 一点,可建立方程,由此可求椭圆的离心率. 【解答】解:∵△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形, ∴|PF2|=|F2F1|

∵P 为直线 x= a 上一点 ∴2( a﹣c)=2c ∴e= = 故选:B.

【点评】本题考查椭圆的几何性质,解题的关键是确定几何量之间的关系,属于基础题.

12.椭圆 C:

的左、右顶点分别为 A1、A2,点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取值范围是, ) D.

那么直线 PA1 斜率的取值范围是( A. B. C.

【考点】直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由椭圆 C: 可知其左顶点 A1(﹣2,0) ,右顶点 A2(2,0) .设 P(x0,y0)

(x0≠±2) ,代入椭圆方程可得

.利用斜率计算公式可得

,再利用

已知给出的

的范围即可解出.

【解答】解:由椭圆 C:

可知其左顶点 A1(﹣2,0) ,右顶点 A2(2,0) .

设 P(x0,y0) (x0≠±2) ,则

,得





=



=





=

=







∴ 故选 B.

,解得



【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关 键.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.某学院的 A,B,C 三个专业共有 1200 名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采 用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本.已知该学院的 A 专业有 380 名学生,B 专业有 420 名学生,则在该学院的 C 专业应抽取 40 名学生. 【考点】分层抽样方法. 【专题】概率与统计. 【分析】根据全校的人数和 A,B 两个专业的人数,得到 C 专业的人数,根据总体个数和要抽 取的样本容量,得到每个个体被抽到的概率,用 C 专业的人数乘以每个个体被抽到的概率, 得到结果. 【解答】解:∵C 专业的学生有 1200﹣380﹣420=400, 由分层抽样原理,应抽取 故答案为:40 【点评】本题考查分层抽样,分层抽样过程中,每个个体被抽到的概率相等,在总体个数, 样本容量和每个个体被抽到的概率这三个量中,可以知二求一. 名.

14.甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率为 ,乙获胜的概率为 ,甲获胜的概率是 ,甲 不输的概率 . 【考点】互斥事件的概率加法公式. 【专题】概率与统计. 【分析】甲获胜和乙不输是对立互斥事件,甲不输与乙获胜对立互斥事件,根据概率公式计 算即可. 【解答】解:甲获胜和乙不输是对立互斥事件, ∴甲获胜的概率是 1﹣( )= ,

甲不输与乙获胜对立互斥事件. ∴甲不输的概率是 1﹣ = , 故答案为: , . 【点评】本题考查了对立互斥事件的概率公式,属于基础题.

15.若“? x∈,m≥tanx”是真命题,则实数 m 的取值范围是,m≥tanx”是真命题, 则 m≥tan 即 m≥1, 故答案为: 【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【专题】方程思想;转化思想;数形结合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 2= , , =k.代入椭圆方程 =1,

可得:

=1,

=1.相减化简整理即可得出.

【解答】解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 2=





=k.

代入椭圆方程可得:

=1,

=1.



+

=0,



=0,解得 k=﹣ . (x﹣2) ,

∴直线 AB 的方程为:y﹣1= 化为:x+2y﹣4=0. 故答案为:x+2y﹣4=0.

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分. 17. (14 分)椭圆的两个焦点的坐标分别为 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) ,且椭圆经过点( ,﹣ ) (1)求椭圆标准方程. (2)求椭圆长轴长、短轴长、离心率. 【考点】椭圆的简单性质;椭圆的标准方程. 【专题】计算题;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)设椭圆的标准方程为 进而求出 b,可得椭圆标准方程. (2)由(1)中椭圆标准方程,可得椭圆长轴长、短轴长、离心率. 【解答】解: (1)设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0) , + =1(a>b>0) ,结合两点之间距离公式,求出 2a,

则 2a= 即 a= ,

+

=2



又∵c=2, ∴b =a ﹣c =6, 故椭圆的标准方程为: (2)由(1)得: + =1,
2 2 2

椭圆的长轴长:2 短轴长 2 离心率 e= , =





【点评】本题考查的知识点是椭圆的简单性质,椭圆的标准方程,难度中档.

18. (14 分)已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) ,B(2,﹣2) ,且圆心 C 在直线 l:x﹣y+1=0 上 (1)求圆 C 的标准方程 (2)求过点(1,1)且与圆相切的直线方程. 【考点】圆的切线方程. 【专题】综合题;转化思想;综合法;直线与圆. 【分析】 (1)设圆心 C(a,a+1) ,根据 CA=CB,可得(a﹣1)2+(a+1﹣1)2=(a﹣2)2+(a+1+2)
2

,解得 a 的值,可得圆心的坐标和半径 CA,从而得到圆 C 的方程.

(2)求出切线的斜率,可得过点(1,1)且与圆相切的直线方程. 【解答】解: (1)∵圆心 C 在直线 l:x﹣y+1=0 上,设圆心 C(a,a+1) , ∵圆 C 经过点 A(1,1)和 B(2,﹣2) ,∴CA=CB, ∴(a﹣1)2+(a+1﹣1)2=(a﹣2)2+(a+1+2)2, 解得 a=﹣3,∴圆心 C(﹣3,﹣2) ,半径 CA=5, ∴圆 C 的方程为 (x+3) +(y+2) =25. (2)因为点 A(1,1)在圆上,且 kAC= 所以过点(1,1)切线方程为 y﹣1=﹣ (x﹣1) ,化简得 4x+3y﹣7=0. 【点评】本题主要考查求圆的标准方程,两个圆的位置关系的判断方法,属于中档题.
2 2

19. (14 分)连锁经营公司所属 5 个零售店某月的销售额利润资料如表: 商品名称 销售额 x/千万元 利润额 y/百万元 A 3 2 B 5 3 C 6 3 D 7 4 E 9 5

(1)画出销售额和利润额的散点图 (2)若销售额和利润额具有相关关系,试计算利润额 y 对销售额 x 的回归直线方程.

(3)估计要达到 1000 万元的利润额,销售额约为多少万元.

(参考公式: =

=

, = ﹣ x)

【考点】线性回归方程. 【专题】对应思想;待定系数法;概率与统计. 【分析】 (1)根据表中所给的数对,在平面直角坐标系中画出散点图即可; (2)求出对应的数值 、 以及 n 方程的系数与方程; (3)根据题意,令 =10,求出 x 的值即可. 、 xiyi、 和n ,代入公式即可求出回归直线

【解答】解: (1)根据表中所给的五对数对,在平面直角坐标系中画出散点图,

如图所示;

(2)∵ = ∴n =5×6×

=6, = =102,



xiyi=3×2+5×3+6×3+7×4+9×5=112,

=32+52+62+72+92=200,

n =

=5×62=180, = =0.5, = ﹣0.5×6= =0.4,

= ﹣

∴利润额 y 对销售额 x 的回归直线方程是 (3)根据题意,令 =0.5x+0.4=10,

=0.5x+0.4

解得 x=19.2(千万元) , ∴销售额约为 19.2 千万元. 【点评】本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题,解题的关键是先判断出两组数据具 有线性相关关系,利用公式求出线性回归方程,是基础题目.

20. (14 分)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均为整数) 分成六段后画出如图部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分.

【考点】频率分布直方图. 【专题】计算题;图表型. 【分析】 (1)在频率分直方图中,小矩形的面积等于这一组的频率,根据频率的和等于 1 建 立等式解之即可; (2)60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组,从而求出抽样学生成绩的合格率,再利用 组中值估算抽样学生的平均分即可. 【解答】解: (Ⅰ)因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率:f4=1﹣ (0.025+0.015*2+0.01+0.005)*10=0.3 (Ⅱ)依题意,60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组, 频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)*10=0.75 所以,抽样学生成绩的合格率是 75% 利用组中值估算抽样学生的平均分 45?f1+55?f2+65?f3+75?f4+85?f5+95?f6

=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71 估计这次考试的平均分是 71.

【点评】本题主要考查了频率及频率分布直方图,考查运用统计知识解决简单实际问题的能 力,数据处理能力和运用意识.

21. (14 分)已知椭圆 C:

,的离心率为

,A、B 分别为椭圆的

长轴和短轴的端点,M 为 AB 的中点,O 为坐标原点,且 (Ⅰ)求椭圆的方程;



(Ⅱ)过(﹣1,0)的直线 l 与椭圆交于 P、Q 两点,求△POQ 的面积的最大时直线 l 的方程. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【专题】综合题. 【分析】 (Ⅰ)根据离心率为 椭圆的方程; (Ⅱ)方法一:设交点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,分类讨论,将直线方程与椭圆方程联立,消 去 y,表示出△POQ 的面积,利用基本不等式求得结论. 方法二:设交点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,分类讨论,将直线方程与椭圆方程联立,消去 x, 表示出△POQ 的面积,利用基本不等式求得结论. , ,建立方程组,求得椭圆的基本量,从而可得

【解答】解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c,则

,解得



所以椭圆的方程为

.?

(Ⅱ)方法一:设交点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=﹣1,则 ? ,

当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y=k(x+1) (k≠0) ,联立椭圆方程

得 (4k2+1) x2+8k2x+4 (k2﹣1) =0, 两个根为 x1, x2,



?



(k≠0) ,

又原点到直线 l 的距离 d=

,?

所以

(k≠0)

= 所以,当直线 l 的方程为 x=﹣1 时,△POQ 面积最大.? 方法二:设交点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=﹣1,则 .?

?

当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y=k(x+1) (k≠0) ,联立椭圆方程 ,两个根为 y1,y2,△>0 恒成立,

,得

,?

?



=

?

所以,当直线 l 的方程为 x=﹣1 时,△POQ 面积最大.?

【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算, 正确表示三角形的面积是关键.


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