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【最新精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编(第3期)专题11 概率与统计 理(1)


【精选+详解】2013 届高三数学名校试题汇编(第 3 期)专题 11 概率 与统计 理
一.基础题 1.【安徽省 2013 届高三开年第一考】某校高一(4)班有男生 28 人,女生 21 人,用分层抽 样的方法从全体学生中抽取一个调查小组,调查该校学生对 2013 年元月 1 日起执行的新交规 的知晓情况。已知某男生被抽中的概率为 A.1 B.3 C.4 D.7

1 ,则抽取的女生人数为( 7



2.【 2013 安徽省省级示范高中名校高三联考】为了调查学生每天零花钱的数量(钱数取整数 元) ,以便引导学生树立正确的消费观.样本容量 1000 的频率分布直方图如图所示,则样本

数据落在[6,14)内的频数为( ) A. 780 B. 680 C. 648 D. 460

3.【安徽省皖南八校 2013 届高三第二次联考】 已知某 8 个数的平均数为 5,方差为 2,现又加 入一个新数据 5,此时这 9 个数的平均数为 x , 方差为 S ,则 A. x ? 5, s 2 ? 2 【答案】A 【解析】∵ x ? B. x ? 5, s 2 ? 2 C. x ? 5, s 2 ? 2 D. x ? 5, s 2 ? 2
2

8 ? 2 ? (5 ? 5) 2 16 8? 5 ? 5 ? ?2 ? 5 , s2 ? 9 9 9

4.【惠州市2013届高三第三次调研考试】某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛, 他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动 员的中位数分别为( ) A.19、13 B.13、19 C.20、18 D.18、20 【答案】A

【解析】甲中位数为 19,甲中位数为 13.故选 A. 5.[2012-2013 学年河南省平顶山许昌新乡三市高三(上)第一次调研考试](5 分)某学校对 高一新生的体重进行了抽样调查.右图是根据抽样调查后的数据绘制的频率分布直方图,其 中体重(单位:kg)的范围是[45,70],样本数据分组为[45,50) ,[50,55) ,[55,60) , [60,65) ,[65,70],已知被调查的学生中体重不足 55kg 的有 36,则被调查的高一新生体重 在 50kg 至 65kg 的人数是. ( )

A.90

B.75

C.60

D.45

6.【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】为了了解“预防禽流感疫苗”的 使用情况,某市卫生部门对本地区 9 月份至 11 月份注射疫苗的所有养鸡场进行了调查,根 据下图表提供的信息,可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为 万 只.

7.【广东省肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第一学期统一检测题】 某班有学生 40 人,将其数学期中考试成绩平均分为两组,第一组的平均分为 80 分,标准差 为 4,第二组的平均分为 90 分,标准差为 6, 则此班 40 名学生的数学期中考试成绩平均分 方差为 【答案】85, 51 【解析】成绩平均分 85 ,方差为 51 8. 【广东省潮州市 2012-2013 学年度第一学期期末质量检测】 某校有 4000 名学生, 各年级男、 女生人数如表,已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手,抽到高一男生的概率是 0.2 ,现 用分层抽样的方法在全校抽取 100 名奥运志愿者,则在高二抽取的学生人数为______.

高一 女生 男生

高二

高三

600 x

y
z

650 750
x ? 0.2 ,于是 x ? 800 , 4000

【解析】依表知 x ? y ? z ? 4000 ? 2000 ? 2000 ,

y ? z ? 1200 ,高二抽取学生人数为 1200 ?

1 ? 30 . 40

二.能力题 1.【深圳市南山区 2013 届高三上学期期末考试】将一枚骰子抛掷两次,所得向上点数分别为 m 和 m,则函数 y = A.

1 2

2 mx 3 ? nx +1 在[1,+∞)上为增函数的概率是 3 2 3 5 B. C. D. 3 4 6

2. 【河南省三门峡市 2013 届高三第一次大练习】 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同, 且在两次罚球中之多命中一次的概率为 A.

16 ,则该队员的每次罚球命中率为 25

1 2

B.

3 5

C.

3 4

D.

4 5
2

【答案】B 【解析】设该队员的每次罚球命中率为 p ,则两次罚球中之多命中一次的概率为 1 ? p = 解得 p =

16 , 25

3 ,故选 B. 5

3.【广州市 2013 届高三年级 1 月调研测试】在区间 ?1,5? 和 ? 2, 4 ? 分别取一个数,记为 a,b , ? ? ? ? 则方程

3 x2 y2 ? 2 ? 1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的椭圆的概率为 2 2 a b

A.

1 2

B.

15 32

C.

17 32

D.

31 32

4.【2012-2013 学年云南省昆明市高三(上)摸底调研测试】变量 U 与 V 相对应的一组样本数 据为(1,1.4)(2,2.2)(3,3)(4,3.8) , , , ,由上述样本数据得到 U 与 V 的线性回归分析, 2 2 R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,则 R =( ) A. B. C.1 D.3

【答案】C 2 【解析】在线性回归中,相关指数 R 等于相关系数, 由 x1=1,x2=2,x3=3,x4=4 得: y1=1.4,y2=2.2,y3=3,y4=3.8 得: 所以相关系数 , ,

=

故选 C. 5.【 2013 安徽省省级示范高中名校高三联考】在棱长分别为 1,2,3 的长方体上随机选取两 个相异顶点,若每个顶点被选的概率相同,则选到两个顶点的距离大于 3 的概率为( ) A、

4 7

B、

3 7

C、

2 7

D、

3 14

【答案】B
2 【解析】 从 8 个顶点中任取两点有 C 8 ? 28 种取法,其线段长分别有 1,2,3, 5 , 10 ,

13 , 14 ,①其中 12 条棱线,长度都 ? 3 ;②其中 4 条,边长(1, 2)对角线 ? 5 ? 3 ;
故长度 ? 3 的有 28 ? 12 ? 4 ? 12 ,故两点距离大于 3 的概率 P ?

12 3 ? . 28 7

6.【2012-2013 学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试(零诊) 】在长为 10 cm 的线段 AB 2 2 上任取一点 C,并以线段 AC 为边作正方形,这个正方形的面积介于 25 cm 与 49 cm 之间的概 率为 .

三.拔高题 1.【2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】某车间为了规定工时定额,需 要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验.根据 收集到的数据(如下表) ,由最小 二乘法求得回归直线方程

表中有一个数据模糊不清,请你推断出该数据的值为______ . 填 68 . 【解析】设遮住部分的数据为 m , x =

10 + 20 + 30 + 40 + 50 ? 30 , 5

? 由 y = 0.67 x + 54.9 过 ? x, y ? 得 y = 0.67 ? 30 + 54.9 = 75


62 + m + 75 + 81+ 89 = 75 ,故 m ? 68 . 5
满足

2. 【 四 川 省 成 都 市 2013 届 高 中 毕 业 班 第 一 次 诊 断 性 检 测 】 已 知 数 列

,一颗质地均匀的正方体骰子,其六 个面上的点数分别为 1,2, 3 , 4 , 5 , 6 , 将 这 颗 骰 子 连 续 抛 掷 三 次 , 得 到 的 点 数 分 别 记 为 a,b,c 则 满 足 集 合 {a,b,c}={a1,a2,a3} 的概率是

(A)

(B)

(C)

(D)

3.[2012-2013 学年河南省中原名校高三(上)第三次联考](12 分)甲、乙两篮球运动员进 行定点投篮,每人各投 4 个球,甲投篮命中的概率为 ,乙投篮命中的概率为 (Ⅰ)求甲至多命中 2 个且乙至少命中 2 个的概率; (Ⅱ)若规定每投篮一次命中得 3 分,未命中得﹣1 分,求乙所得分数 η 的概率分布和数学 期望. 解: (Ⅰ)甲至多命中 2 个且乙至少命中 2 个包含的两个事件是相互独立事件, 设“甲至多命中 2 个球”为事件 A,“乙至少命中两个球”为事件 B,由题意得:

∴甲至多命中 2 个球且乙至少命中 2 个球的概率为:

(Ⅱ)乙所得分数为 η η 可能的取值﹣4,0,4,8,12, P(η =﹣4)= P(η =0)= P(η =4)=C4 P(η =8)= P(η =﹣4)= 分布列如下: =
2

=

, = = =

∴Eη =



4. 【惠州市2013届高三第三次调研考试】 (本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取

40 名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六
段:

50 60 100 ? 40 , ? , ?50 , ? ,?, ?90 , ? 后得到如下图的频率分布直方图.

(1)求图中实数 a 的值; (2)若该校高一年级共有学生 640 人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分 的人数; (3)若从数学成绩在

50 100 ? 40 , ? 与 ?90 , ? 两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这

两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率。

则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为

2 2 C2 ? C4 ? 7

??11分

所以所求概率为

P?M ? ?

7 15 .??????????????????????????13

分 5.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】 (本小题满分12分) PM2. 5是指大气中直径小于或等于2. 5微米的颗粒物,也称为 可人肺颗粒物.我国PM2. 5标 准采用世卫组织设定的最宽限 值, 即PM2.5日均值在35微克/立方米 以下空气质量为一级; 在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气 质量为二级;在 75微克/立方米以上空气质量为超标. 某市环保局从市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中 随机抽取15 天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为 茎,个位为叶) (I)从这15天的数据中任取3天的数据,记 表示其中空气质量达到 一级的天数,求 的 分布列;

6.【 2013 安徽省省级示范高中名校高三联考】 (本小题满分 12 分) NBA 总决赛采用 7 战 4 胜制,即两队中有一队胜 4 场则整个比赛结束.假设 2013 年总决 赛在甲、乙两个球队间进行,根据以往总决赛的战绩,甲、乙两队在每场比赛中获胜的概率 都是

1 ,记需要比赛的场数为 X. 2

(I)求 X 的最小值,并求 X 取最小值时的概率; (II)求 X 的分布列和数学期望. 解析: (Ⅰ)依题意可知: X 的最小值为 4.

当 X ? 4 时,整个比赛只需比赛 4 场就结束,这意味着甲连胜 4 场或乙连胜 4 场,于是由互
4 斥事件的概率计算公式可得 P ? X ? 4 ? ? 2C4 ( ) 4 ?

1 2

1 .?????? 5 分 8

7.【广州市 2013 届高三年级 1 月调研测试】某市 A, B, C , D 四所中学报名参加某高校今年 自主招生的学生人数如下表所示: 中学 人数

A 30

B 40

C 20

D 10

为了了解参加考试的学生的学习状况,该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四 所中学的学生当中随机抽取 50 名参加问卷调查. (1)问 A, B, C , D 四所中学各抽取多少名学生? (2)从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学 的概率; (3)在参加问卷调查的 50 名学生中,从来自 A, C 两所中学的学生当中随机抽取两名学 生,用 ? 表示抽得 A 中学的学生人数,求 ? 的分布列. (本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识,考查数据处理、 推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想) (1)解:由题意知,四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为 100 名,

抽取的样本容量与总体个数的比值为

50 1 ? . 100 2

∴应从 A, B, C , D 四所中学抽取的学生人数分别为 15, 20,10,5 . ????? 4 分

(3) 解:由(1)知,在参加问卷调查的 50 名学生中,来自 A, C 两所中学的学生人数分别 为 15,10 . 依题意得, ? 的可能取值为 0,1, 2 , ????? 8 分

P ?? ? 0 ? ?

2 C2 C10 C1 C1 9 1 7 , P ?? ? 1? ? 15 2 10 ? , P ?? ? 2 ? ? 15 ? . ? 2 2 C25 60 2 C25 C25 20

????? 11 分 ∴ ? 的分布列为:

?
? ? ? ??

0
9 60 1 2

2

P

7 20

12 分

8.【广东省潮州市 2012-2013 学年度第一学期期末质量检测】 近年来,政府提倡低 碳减排,某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念.若 生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ,否则称为“非低碳族” .数据如下表(计算过 程把频率当成概率) .

A 小区 频率 p

低碳族

非低碳族

0.5

0.5

B 小区 频率 p

低碳族

非低碳族

0.8

0.2

(1)如果甲、乙来自 A 小区,丙、丁来自 B 小区,求这 4 人中恰有 2 人是低碳族的概率; (2) A 小区经过大力宣传,每周非低碳族中有 20% 的人加入到低碳族的行列.如 果 2 周后随机地从 A 小区中任选 25 个人,记 X 表示 25 个人中低碳族人数,求 E ( X ) .

9. 【广东省肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第一学期统一检测题】 2012 年“双节”期间,高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车 中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查,将 他们在某段高速公路的车速(km/t)分成六段: [60, 65),[65, 70), [70, 75), [75,80),[80,85),

[85,90) 后得到如图 4 的频率分布直方图.问: (1)某调查公司在采样中,用到的是什么抽样
方法?(2)求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. (3)若从车速在 [60, 70) 的 车辆中任抽取 2 辆,求抽出的 2 辆车中速车在 [65, 70) 的车辆数 ? 的分布列及其均值(即数学 期望) . 解:(1)系统抽样 (2)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 77.5 (2 分) (4 分)

设图中虚线所对应的车速为 x ,则中位数的估计值为:

0.01? 5 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? 5 ? 0.06 ? ( x ? 75) ? 0.5 ,解得 x ? 77.5
即中位数的估计值为 77.5 (6 分)

10. 【河南省三门峡市 2013 届高三第一次大练习】 (本小题满分 12 分)甲有一个放有 3 个红球、 2 个白球、1 个黄球共 6 个球的箱子,乙也一个放有 3 个红球、2 个白球、1 个黄球共 6 个球 的箱子. (Ⅰ)若甲、乙两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色,规定同色时为甲胜,异色时乙胜, 求甲获胜的概率; (Ⅱ)若甲在自己的箱子里任意取球,取后不放回,每次只取一只,直到取到红球为止,求甲 取球次数 ? 的数学期望.

11.【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】 (本小题满分 12 分) 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题, 按照题目要求独立完成全部实验操作。规定:至少正确完成其中 2 题的便可提交通过。已知 6 道备选题中考生甲有 4 道题能正确完成, 道题不能完成; 2 考生乙每题正确完成的概率都是 ,
3 2

且每题正确完成与否互不影响。 (Ⅰ)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望; (Ⅱ)试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成 2 题的概率分析比较两位 考生的实验操作能力. 解: (Ⅰ)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为 ? ,? ,则 ? 的取值分别为 1、2、3,

? 的取值分别,0、1、2、3,
P(? ? 1) ?
1 2 C4 C2 1 C 2C 1 3 C 3C 0 1 ? , P(? ? 2) ? 4 3 2 ? , P(? ? 3) ? 4 3 2 ? 3 C6 5 C6 5 C6 5

所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为:

?
P

1

2

3

1 5

3 5

1 5

1 3 1 ??????5 分 E (? ) ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 5 5 5 2 因为? ~ B (3, ) ,所以考生乙正确完成实验操作的题数的概率分布列为: 3 ? 0 1 2 3 1 6 12 8 P 27 27 27 27 1 6 12 8 ??????8 分 E (? ) ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ?2 27 27 27 27

(Ⅱ)因为 P (? ? 2) ?

3 1 4 12 8 20 ? ? , P(? ? 2) ? ? ? 5 5 5 27 27 27
??????10 分

所以 P (? ? 2) ? P (? ? 2)

从做对题的数学期望考察,两人水平相当;从至少正确完成 2 题的概率考察,甲通过的可能 性大,因此可以判断甲的实验操作能力较强。 ??????10 分 12.【湖北省黄冈市 2012 年秋季 2013 届高三年级期末考试】 (本小题满分 12 分)盒中有大小 相同的编号为 1,2,3,4,5,6 的六只小球,规定:从盒中一次摸出'2 只球,如果这 2 只球 的编号均能被 3 整除,则获一等奖,奖金 10 元,如果这 2 只球的编号均为偶数,则获二等奖, 奖金 2 元,其他情况均不获奖. (1)若某人参加摸球游戏一次获奖金 x 元,求 x 的分布列及期望; (2)若某人摸一次且获奖,求他获得一等奖的概率. (1)易知 X 的可能取值为 0,2, 10, X 的分布列为 X P(X) 0 2 10

16 期望 EX= (元)???6 分 15 (2)设摸一次得一等奖为事件 A,摸一次得二等奖为事件 B, 则 P ( A) ?

1 1 ? 2 C 6 15

P( B) ?

C 32 1 ? C 62 5
所以 P ( A ? B ) ?

某人摸一次且获奖为事件 A ? B ,显然 A、B 互斥 故某人摸一次且获奖,他获得一等奖的概率为:

1 1 4 ? ? 15 5 15

P( A | A ? B) ?

P( A) 1 4 1 ? ? ? ??????12 分 P( A ? B) 15 15 4

13.【河北省唐山市 2012—201 3 学年度高三年级期末考试】 (本小题满分 12 分) 从某节能灯生产线上随机抽取 100 件产品进行寿命试验,按连续使用时间(单位:天) 共分 5 组,得到频率分布直方图如图. (I)以分组的中点数据作为平均数据,用样本估计该生产线所生产的节能灯的预期连续 使用寿命; (II)将以上统诗结果的频率视为概率,从该生产线所生 产的产品中随机抽取 3 件, X 表示连续使用寿命高于 350 用 天的产品件数,求 X 的分布列和期望. 解: (Ⅰ)样本数据的平均数为: 175×0.05+225×0.15+275×0.55+325×0.15+375 ×0. 1=280. 因此,该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命为 280 天. ?5 分

14.【湖北武汉武昌 2013 届高三期末调研考试】 某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示:全市 100 000 名男生的身高服从正态分布 N(168,16).现从某学校高三年级男生中随机抽取 50 名测量身高,测量发现被测学生身 高全部介于 160 cm 和 184 cm 之间, 将测量结果按如下方式分成 6 组: 第一组 [160, 164], 第二组[164,168],?,第 6 组[180,184],下图是按上述分组方法得到的频率分布直 方图. (Ⅰ)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况; (Ⅱ)求这 50 名男生身高在 172 cm 以上(含 172 cm)的人数; (Ⅲ)在这 50 名男生身高在 172 cm 以上(含 172 cm)的人中任意抽取 2 人,该 2 人中 身高排名(从高到低)在全市前 130 名的人数记为 ? ,求 ? 的数学期望.

(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由直方图,经过计算该校高三年级男生平均身高为

(162 ?


5 7 8 2 2 1 ? 166 ? ? 170 ? ? 174 ? ? 178 ? ? 182 ? ) ? 4 ? 168.72 100 100 100 100 100 100

高于全市的平均值 168(或者:经过计算该校高三年级男生平均身高为 168.72,比较接 近全市的平均值 168). ??????????????????????(4 分) (Ⅱ)由频率分布直方图知,后三组频率为(0.02+0.02+0.01)×4=0.2,人数为 0.2×5

=10,即这 50 名男生身高在 172 cm 以上(含 172 cm)的人数为 10 人. ?????(6 分)


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