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梁单元有限元分析


梁单元-有限元分析
一、有限元法介绍 有限元法的基本思想是将结构离散化, 用有限个容易分析的单元来表示复杂 的对象,单元之间通过有限个节点相互连接,然后根据变形协调条件综合求解。 由于单元的数目是有限的,节点的数目也是有限的,所以称为有限元法(FEM, Finite Element Method)。是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性 力学问题的数值求解方法。 有限元法是最重要的工程分析技术之一。它广泛应用于弹塑性力学、断裂力 学、流体力学、热传导等领域。有限元法是 60 年代以来发展起来的新的数值计 算方法,是计算机时代的产物。虽然有限元的概念早在 40 年代就有人提出,但 由于当时计算机尚未出现,它并未受到人们的重视。 随着计算机技术的发展, 有限元法在各个工程领域中不断得到深入应用,现 已遍及宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、海洋等工业,是机械产品动、静、 热特性分析的重要手段。早在 70 年代初期就有人给出结论:有限元法在产品结 构设计中的应用, 使机电产品设计产生革命性的变化,理论设计代替了经验类比 设计。目前,有限元法仍在不断发展,理论上不断完善,各种有限元分析程序包 的功能越来越强大,使用越来越方便。 二.梁单元的分类 所谓梁杆结构是指其长度比横截面尺寸大很多的梁和杆件、 以及由它们组成 的系统,这一类结构的应力、应变和位移都是一个坐标的函数,所以属于一维单 元问题。 1.平面桁架 特点:杆件位于一个平面内,杆件间用铰节点连接,作用力也在该平面内。 单元特性:只承受拉力或压力。 单元划分: 常采用自然单元划分。 即以两个铰接点之间的杆件作为一个单元。 为使桁架杆件只产生轴力,桁架的计算常作以下假定: ①桁架中每根杆件的两端由理想铰联结; ②每根杆件的轴线必须是直线; ③所有杆件的轴线都只交于所联理想铰的几何中心。

④荷载均只作用于理想铰的几何中心。 在此条件下所算得的各种应力称为主应力。 实际上各种桁架结构不可能完全 满足上述各假定, 因而杆件将产生弯曲,由这种弯曲而在杆件中所引起的轴向应 力称为次应力。钢桁架如设计得较合理,次应力一般不太大;钢筋混凝土或预应 力混凝土桁架,由于其结点刚度大、杆件粗短,次应力的影响不能忽视。 2.平面刚架 特点:与平面桁架的不同在于杆件之间以刚性铰接点作为连接。 单元特性:除承受拉、压轴向载荷外,还要承受剪力和弯矩。 单元划分: 除采用自然单元划分外。即以两个刚接点之间的杆件作为一个单 元。 同时也要考虑在集中载荷作用位置、截面突变位置和分布载荷突变的位置增 设节点。 多用钢筋混凝土或钢材建造,刚架结构多为空间刚架,但许多空间刚架可分 解为平面刚架进行计算。 刚架可分为静定刚架和超静定刚架,但工程中所应用的 主要是超静定刚架。 3.连续梁 特点:简化了的刚架。 特性: 不考虑轴向变形, 只考虑垂直于轴线的线位移和轴线平面内的转角位 移。 单元划分:同刚架。 4.欧拉-伯努利梁有两点假设: A.粱在变形前垂直于粱轴线的横截面,变形后仍然为平面(刚性横截面假 定) ; B.横截面变形后的平面仍与变形后的轴线相互垂直。 也就是说欧拉梁忽略了剪切变形和转动惯量, 认为初始垂直于中性轴的截平 面在变形时仍保持为平面垂直于中性轴(Kirchhoff 假设),即认为截面的转动等 于挠度曲线切线的斜率。适用于梁的高度远小于跨度情况下。 5.铁木辛柯(Timoshenko)梁理论: A.粱在变形前垂直于粱轴线的横截面,变形后仍然为平面(刚性横截面假 定) ;

B.由于欧拉-伯努利梁的第二个假设忽略了梁的剪切变形,对于有效长度 较短或复合材料梁板桥时, 忽略剪切变形是不妥的,铁木辛柯提出让梁的应力应 变关系得到满足,即考虑剪切变形与转动惯量。 在铁木辛柯梁中, 需要考虑横向剪切变形影响的情况,如高度相对跨度不太 小的高梁。此时梁内的横向剪切力 Q 所产生的剪切变形将引起梁的附加挠度, 并使原来垂直于中性面的截面变形后不再与中性面垂直,且发生翘曲。 三.连续梁单元刚度矩阵 节点位移向量 ?? ? 节点力向量 ?F ? 1.位移模式 每个单元四个自由度,所以可以有 4 个待定系数
v ? a 0 ? a1 x ? a 2 x ? a 3 x
2 3

e

? vi

?

?i
M

vj Vj

?j?
M

T

(1-1) (1-2)

e

? Vi

?

i

j

?

T

(1-3)

有材料力学知,挠度与转角之间的关系是:
? ?
dv dx ? a1 ? 2 a 2 x ? 3a 3 x
2

(1-4)

将 i、j 节点的位移代入,求得待定系数:
? 1 ?a0 ? ? 0 ? ? ? a1 ? ? ?3 ? ? ? ? 2 ? l ?a 2 ? ? 2 ?a ? ? 3? ? 3 ? l 0 1 ? 2 l 1 l
2

0 0 3 l ? 2 l
3 2

0 ? ?? vi ? 0 ? ? ? ? 1 ?? i ? ?? ? l ??v j ? 1 ? ?? ? j ? 2 ?? l ?

(1-5)

所以
? 1 ? 0 ? ?3 ? 2 ? l ? 2 ? 3 ? l 0 1 ? 2 l 1 l
2

0 0 3 l ? 2 l
3 2

v ? 1

?

x

x

2

x

3

?

0 ? ?? vi ? 0 ? ? ? ? 1 ?? i ? ? ? ? ? ? N ??? l ??v j ? 1 ? ?? ? j ? 2 ?? l ?

?

e

(1-6)

其中[N]为形函数矩阵
N ?1? 3x l
2 2

i1

?

2x l
3

3

? 2x x N i2 ? x?1 ? ? 2 ? l l ?

2

? ? ? ?

N

j1

?

3x l
2

2

?

2x l
3

3

N

j1

? x x? ? x? 2 ? ? ? ? l ? ? l
2

(1-7)

它也满足前面形函数的性质。 2.节点位移表示应变、应力 梁弯曲变形时,若忽略剪切的影响,由材料力学知道:
u ? ?y dv dx

(1-8)

将它代入到几何方程,得:
?
? du dx ? ?y d v dx
2 2

x

(1-9)

换入位移插值公式
?
x

?? 6 12 x ? ? ? y ?? ? 2 ? 3 ? l ? ?? l B2 B3

6x ? ? 4 ? 2 ? ?? l ? ? l
e e

12 x ? ? 6 ? 2 ? 3 ? l ? ?l

6x ? 2 ? 2 ?? l ? l

?? e ? ? ?? ? ??

(1-10)

? ?B 1

B 4 ??? ? ? ? B ??? ?

单向应力状态,所以
?
x

? E ? x ? E ? B ??? ?

e

(1-11)

3.单元刚度矩阵

? K ?e

?

??? ?B ? ?D ??B ?dxdydz
T

(1-12)
y dydz ? I
2

代入[B]矩阵和[D]=E,并考虑 ??
? 12 ? 3 l ? 6 ? 2 ? EI ? l ? ? 12 ? l3 ? 6 ? 2 ? l
? 12 EI GA s l
2

6 l 4
2

? 12 l ?6 l 12 l ?6 l
2 3 2 3

? K ?e

l ?6 l 2 l
2

6 ? 2 ? l 2 ? ? l ? ? 6? 2 l ? 4 ? ? l ?

(1-13)

其中: ?

——剪切影响系数,As 为有效的抗剪切面积。

四.梁单元的例题分析 有一外伸梁及其承载情况如图所示,其中, m
F ? 10 kN

? 10 kN ? m

,q

? 10 kN / m



。对该梁进行分析,画出弯矩图和剪力图。

Me F

q

A
A

1m B

1m C

1m D

A

图 1. 外伸梁结构示意图

用材料力学计算所得剪力和弯矩图如下(以供对照) :

7.5KN F
S:

10KN

7.5KN?m M :

2.5KN 5KN?m

5KN?m 图 2. 外伸梁的剪力图和弯矩图

利用有限元软件 ANSYS 对此外伸梁及其承载情况进行分析。 步骤概括: 1.创建节点 1)创建梁的各个节点; 2)显示各个节点。 2.定义单元类型和材料 1)定义单元类型-2D elastic 3;

2)定义材料特性- Isotropic, 在 EX 后的文本框内输入数值 207e5 作为弹 性模量; 3)定义几何参数。 3.创建单元 1)创建单元; 2)显示单元资料。 4.施加约束和载荷 1)施加集中载荷 F; 2)施加弯矩 M; 3)施加分布载荷 q。 5.求解 1)改变分析类型; 2)求解。 6.后处理 1)显示梁单元变形结果; 2)建立元素结果表: ①创建单元表,计算节点弯矩; ②创建单元表,计算节点剪力。 3)列出所有表格资料: ①列出资料; ②画剪力图;

图 3. 外伸梁的剪力图

③画弯矩图。

图 4. 外伸梁的弯矩图

7.退出程序。 将理论的弯矩图和剪力图与 ansys 软件分析出的结果是一致的,通过对 比,我们可以看出有限元的优越性。


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