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河南省濮阳市2015届高三数学上学期期末摸底考试试题 理 新人教A版


河南省濮阳市 2015 届高三上学期期末摸底考试 理科数学
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. )
2 1、已知集合 ? ? x 1 ? x ? 5 , ? ? x x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 ??? ? (

?

?

>
?

?



A. x 2 ? x ? 5 2、复数 A. i

?

?

B. x 2 ? x ? 5 )

?

?

C. x 2 ? x ? 5

?

?

D. ?

2?i 的虚部是( 1 ? 2i

B. ?i )

C. 1

D. ?1

3、函数 y ? 1 ? x ? x 的定义域为( A. x x ? 1

?

?

B. x x ? 0

?

?

C. x x ? 1或x ? 0

?

?

D. x 0 ? x ? 1

?

?

4、如图,在正方形 ??? C 内任取一点,取到函数 y ? 与 x 轴正半轴之间(阴影部分)的点的概率等于( A. C.

x 的图象


1 2 3 4
2 2

B. D.

2 3 4 5
2

5、已知双曲线 C : x ? y ? m ( m ? 0 ) ,直线 l 过 C 的一个焦 点,且垂直于 x 轴,直线 l 与双曲线 C 交于 ? ,? 两点, 则 等于( A. 1 ) B. 2 C. 2 D.

?? 2m

1 2


6、若程序框图如图示,则该程序运行后输出 k 的值是( A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

7、 已知等比数列 ?an ? 中,a1 ? a6 ? 33 ,a2 a5 ? 32 , 公比 q ? 1 , 则 a3 ? a8 ? ( A . 66 ) B . 132
第 页 共 11 页

C . 64 1

D. 128 8、已知函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? 周期不可能是( A. ) B.

? ?

??

? ? ( ? ? 0 )的一条对称轴是 x ? 8 ,则函数 f ? x ? 的最小正 4?

? 9

? 5
3 2 3 4

C. ?

D. 2? )

9、一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( A. 1 C. B. D.

1 2

10、抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,点 ? ? x, y ? 为该抛物线上的动 点,又已知点 ? ? 2, 2? 是一个定点,则 ?? ? ?F 的最小值是 ( A. 4 D. 1 ) B. 3 C. 2

11、已知一个三棱柱,其底面是正三角形,且侧棱与底面垂直,一个体积为 所有面均相切,那么这个三棱柱的表面积是( A. 6 3 B. 12 3 ) C. 18 3

4? 的球与棱柱的 3

D. 24 3

12、下图展示了一个由区间 ? 0,1? 到实数集 R 的映射过程:区间 ? 0,1? 中的实数 m 对应数轴上 的点 ? (点 ? 对应实数 0 ,点 ? 对应实数 1 ) ,如图①;将线段 ?? 围成一个圆,使两端点 ? 、

? 恰好重合,如图②;再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在 y 轴上,点 ? 的坐标为

? 0,1? ,在图形变化过程中,图①中线段 ?? 的长度对应于图③中的弧 ?D? 的长度,如图③,
图③中直线 ?? 与 x 轴交于点 ? ? n,0? ,则 m 的象就是 n ,记作 f ? m? ? n .给出下列命题: ① f ? ? ? 1 ;② f ? 题的序号

?1? ?4?

?1? ? ? 0 ;③ f ? x ? 是奇函数;④ f ? x ? 在定义域上单调递增,则所有真命 ?2?
是( )



页 共 11 页

2

A.①② B.②③ C.①④ 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13、二项式 ? x ? 1? ? x ?

D.②④

? ?

2? ? 的展开式中的常数项是 x?

6



14、已知 a , b 是平面向量,若 a ? a ? 2b , b ? b ? 2a ,则 a 与 b 的夹角是 15、函数 y ? log 1 2 x 2 ? 3x ?1 的递减区间为
2

?

?

?

?



?

?



16、在 ??? C 中, 2sin

2

? ?C ? 3 sin ? , sin ? ?? C? ? 2cos ? sin C ,则 ? 2 ??



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 成等比数列.

17、 (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 ,且 a2 , a3 , a4 ? 1

? ? ? 求数列 ?an ? 的通项公式;
? ?? ? 设 bn ?
2 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . n ? an ? 2 ?

18、 (本小题满分 12 分)已知三棱柱 ??C ? ?1?1C1 中,侧棱垂直于底面, ?? ? 5 , ?C ? 4 ,

? ? ? 若 D 是 ?? 中点,求证: ?C1 // 平面 ?1CD ; ? ?? ? 当 ?? ? 5 时,求二面角 ? ? CD ? ?1 的余弦值.
?D 1

? C ? 3 , ??1 ? 4 ,点 D 在 ?? 上.

19、 (本小题满分 12 分)为了响应学校“学科文化节”活动,数 学组举办了一场数学知识竞赛,共分为甲、乙两组.其中甲组得满分的有 1 个女生和 3 个男生, 乙组得满分的有 2 个女生和 4 个男生.现从得满分的学生中,每组各任选 2 个学生,作为数学 组的活动代言人.
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3

? ? ? 求选出的 4 个学生中恰有1 个女生的概率; ? ?? ? 设 ? 为选出的 4 个学生中女生的人数,求 ? 的分布列和数学期望.

x2 y 2 3 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的离心率为 , F 是椭圆的 2 a b 2 2 3 焦点,点 ? ? 0, ?2 ? ,直线 ? F 的斜率为 , ? 为坐标原点. 3 ? ? ? 求椭圆 C 的方程;
20、 (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

? ?? ? 设过点 ? 的直线与 C 相交于 ? 、 Q 两点,当 ???Q 的面积最大时,求 l 的方程.

21、 (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ?

? ? ? 当 a ? 1 时,讨论函数 f ? x ? 的单调性; ? ?? ?
? ?
1

1? a 2 x ? ax ? ln x ( a ? R ) . 2

?a 若对任意 a ? 3, 4 及任意 x , x ? 1,2 ,恒有
2

? ?

2

? 1?

求实数 m 的取值范围.

2

m ? ln 2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立,

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按 所做的第一题计分. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?? 是 ? 的一条切线,切点为 ? ,直线 ?D ? ,CFD ,
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4

CG? 都是 ? 的割线,已知 ?C ? ?? . ? ? ? 求证: FG//?C ;

? ?? ? 若 CG ? 1 , CD ? 4 .求 GF 的值.

D?

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知曲线

? ? x ? ?2 ? ? 2 C: ?sin ?? a (a ? 0) ,过点 ? ? ?2, ?4? 的直线 l 的参数方程为 ? 2 c o? s ? y ? ?4 ? ? ? 参数) ,直线 l 与曲线 C 分别交于 ? 、 ? 两点. ? ? ? 写出曲线 C 和直线 l 的普通方程;

2 t 2 ( 是 t 2 t 2

? ?? ? 若 ?? , ?? , ?? 成等比数列,求 a 的值.

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? 2x ?1 ? x ? 4 .

? ? ? 解不等式 f ? x? ? 0 ; ? ?? ? 若 f ? x? ? 3 x ? 4 ? m 对一切实数 x 均成立,求 m 的取值范围.



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5

河南省濮阳市 2015 届高三上学期期末摸底考试 理科数学参考答案 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 ) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案

题号 答案

1 B

2 C

3 D

4 B

5 A

6 A

7 B

8 D

9 C

10 B

11 C

12 D

填在题后的横线上。 ) 13、160 14、

?
3

15、

?1, ? ??

16、

1 ? 13 2
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17、解:(Ⅰ)设数列 ?a n ? 的公差为 d ,由 a1 ? 2 和 a 2 , a3 , a 4 ? 1 成等比数列,得

(2 ? 2d ) 2 ? ?2 ? d ??3 ? 3d ? , 解得 d ? 2 ,或 d ? ?1 ????????2 分
当 d ? ?1 时, a3 ? 0 ,与 a 2 , a3 , a 4 ? 1 成等比数列矛盾,舍去.????????4 分

? d ? 2 , ? a n ? a1 ? ?n ? 1?d ? 2 ? 2?n ? 1? ? 2n,
即数列 ?a n ? 的通项公式 a n ? 2n. ??6 分 (Ⅱ) bn ?

2 2 1 1 1 ? ? ? = ???????????8 分 n ? (a n ? 2) n(2n ? 2) n(n ? 1) n n ? 1
????????12 分

Sn ? 1 ?

1 1 1 1 1 n ? ? ? ??? ? ? ? 2 2 3 n n ?1 n ?1

18、证明:(Ⅰ)证明:连结 BC1,交 B1C 于 E,连结 DE. ∵ 直三棱柱 ABC-A1B1C1,D 是 AB 中点, ∴侧面 BB1C1C 为矩形,DE 为△ABC1 的中位线 ∴ DE// AC1. ???2 分 ∵DE ? 平面 B1CD, AC1 ? 平面 B1CD ∴AC1∥平面 B1CD?????????4 分
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6

(Ⅱ)∵ AC⊥BC, 所以如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C- xyz . 则 B (3, 0, 0),A (0, 4, 0),A1 (0, 4, 4),B1 (3, 0, 4). 设 D (a, b, 0)( a ? 0 , b ? 0 ), ∵点 D 在线段 AB 上,且 ∴a ? ????????6 分

BD 1 1 ? , 即 BD ? BA . AB 5 5 12 4 B1C ? (?3, 0, ?4) , BA ? (?3, 4, 0) , CD ? ( , , 0) . ??8 分 5 5

12 4 ,b ? . 5 5

平面 BCD 的法向量为. n ? ?0,0,1? , 设平面 B1CD 的法向量为 n 2 ? ( x, y,1) ,

? ?3 x ? 4 z ? 0 ? 由 B1C ? n 2 ? 0 , CD ? n 2 ? 0 , 得 ?12 , 4 x? y ?0 ? 5 ?5
所以 x ? ?

4 4 , y ? 4 , n2 ? (? , 4,1) .???????10 分 3 3

设二面角 B ? CD ? B1 的大小为 ? , cos ? ?

n1 ? n2 n1 n2

?

3 13

所以二面角 B ? CD ? B1 的余弦值为

3 .??????????????12 分 13

19、 解:(Ⅰ)设“从甲组内选出的 2 个同学均为男同学;从乙组内选出的 2 个同学中,1 个是男同 学,1 个为女同学”为事件 A ,“从乙组内选出的 2 个同学均为男同学;从甲组内选出的 2 个同学 中 1 个 是 男 同 学 ,1 个 为 女 同 学 ” 为 事 件 B , 由 于 事 件 A ? B 互 斥 , 且

P( A) ?

1 1 1 2 C32C2 C4 4 C3 C4 1 ? , P ( B ) ? ? ---4 分 2 2 2 2 C4 C6 15 C4 C6 5

∴选出的 4 个同学中恰有 1 个女生的概率为:

P( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ?

4 1 7 ? ? 15 5 15

-------------------------------------6 分

(Ⅱ) X 可能的取值为 0,1,2,3,
1 7 3 1 P( X ? 0) ? , P( X ? 1) ? , P( X ? 2) ? , P( X ? 3) ? 5 15 10 30

-----------------------8 分

∴ X 的分布列为

X

0

1

2


3
页 共 11 页

7

P

1 5

7 15

3 10

1 30
-----------------------10 分

∴ X 的数学期望 EX ?

7 3 1 7 ? 2 ? ? 3? ? 15 10 30 6

---------------------------- 12 分

20、解:(Ⅰ)设 F (c, 0) ,由题意 k AF ?

2 2 3 , ? c 3

∴c ?

3 ,又∵离心率

c 3 ,∴ a ? 2 , ? a 2

∴b ?

a 2 ? c 2 ? 1 ,椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ; -----------------------4 分 4

(Ⅱ)由题意知,直线的斜率存在,设直线的斜率为 k ,方程为 y ? kx ? 2 ,

? x2 ? ? y2 ? 1 联立直线与椭圆方程: ? 4 ,化简得: ? y ? kx ? 2 ?

(1 ? 4 k 2 ) x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 ,
由 ? ? 16(4k 2 ? 3) ? 0 ,∴ k ?
2

3 , 4 16k 12 , x1 ? x2 ? ,--------------------6 分 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ∴ PQ = 1 ? k 2 x1 ? x2 = 1 ? k 2 ?

4 4k 2 ? 3 , 1+4k 2
2


坐标原点 O 到直线的距离为 d ?

k 2 ?1

S ?OPQ
分 令t ?

2 1 2 4 4k 2 ? 3 2 4 4k ? 3 ,------------------------------- 8 ? 1? k ? ? ? 2 1+4k 2 1+4k 2 k 2 ?1

4k ? 3 (t ? 0) ,则
2

S ?OPQ ?

4t 4 ? t ?4 t? 4 , t
2



页 共 11 页

8

4 4 ? 4 ,当且仅当 t ? ,即 t ? 2 时等号成立, t t 7 3 2 ∴ S ?OPQ ? 1 ,故当 t ? 2 , 即 4k 2 ? 3 ? 2 , k ? ? , 4 4
∵t ? ∴k ? ?

7 ?OPQ 时 的面积最大,-------------------------------- 10 分 2 7 x?2 2
-----------------------------12 分

此时直线的方程为 y ? ?

21、解:(Ⅰ) f ' ( x) ? (1 ? a ) x ? a ?

(1 ? a ) x ? ax ? 1 1 ? ? x x
2

(1 ? a)( x ?

1 )( x ? 1) a ?1 --2 分 x



(1 ? x) 2 1 ? 0, f ( x) 在定义域上是减函数; ? 1 ,即 a ? 2 时, f ' ( x) ? ? x a ?1

1 1 1 ' 或 x ? 1; 令 f ( x) ? 0, 得 ? 1 ,即 a ? 2 时,令 f ' ( x) ? 0, 得 0 ? x ? ? x ? 1. a ?1 a ?1 a ?1 1 1 当 ? 1 , 即 1 ? a ? 2 时 , 令 f ' ( x ) ? 0, 得 0 ? x ? 1 或 x ? ; 令 f ' ( x) ? 0, 得 a ?1 a ?1 1 1? x ? . a ?1
当 综上,当 a ? 2 时, f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数;

1 1 ) 和 (1, ??) 单调递减,在 ( ,1) 上单调递增; a ?1 a ?1 1 1 当 1 ? a ? 2 时, f ( x) 在 (0,1) 和 ( , ??) 单调递减,在 (1, ) 上单调递增------ 6 分 a ?1 a ?1
当 a ? 2 时, f ( x) 在 (0, (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a ? (3, 4) 时, f ( x) 在 [1, 2] 上单调递减, f (1) 是最大值, f (2) 是最小值;

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (2) ?

a 3 ? ? ln 2 2 2



------------------------------------------ 10 分

?

(a 2 ? 1) a 3 a ?3 m ? ln 2 ? ? ? ln 2 ,而 a ? 0 ,经整理得 m ? 2 , 2 2 2 a ?1
1 a ?3 1 所以 m ? . ? , 2 15 a ? 1 15
-----------------------------------12

由3 ? a ? 4得0 ? 分



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9

2 22、解:(Ⅰ)因为 AB 为切线, AE 为割线, AB ? AD ? AE ,
2 又因为 AC ? AB ,所以 AD ? AE ? AC .

AD AC ? ,又因为 ?EAC ? ?DAC , AC AE 所以 △ ADC ∽ △ ACE ,所以 ?ADC ? ?ACE , ?ADC ? ? EGF 又 因 为 , 所
所以



?EGF ? ? ACE

,





FG // AC ------------------------------5 分
(Ⅱ)由题意可得: G , E , D, F 四点共圆,? ?CGF ? ?CDE , ?CFG ? ?CED .

? ?CGF ∽ ?CDE . DE CD . ? ? GF CG
又∵ CG ? 1, CD ? 4 ,

?

DE GF
2

=4

---------------------------------------------10 分 23、解:(Ⅰ)曲线 C 的普通方程为 C : y ? 2ax, 直线的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 -------------------4 分 (Ⅱ)将直线的参数表达式代入抛物线得

1 2 t ? 4 2 ? 2a t ? 16 ? 4a ? 0 , 2


?

?

? t1 ? t2 ? 8 2 ? 2 2a, t1t2 ? 32 ? 8a
--------------------------------------------------------6 分 又

| PM |?| t1 |, | PN |?| t 2 |, | MN |?| t1 ? t 2 | ,
2 2

由题意知, | t1 ? t 2 | ?| t1t 2 |? (t1 ? t 2 ) ? 5t1t 2 , 代入得 a ? 1 ---------------------------------------------------10 分

24、解:(Ⅰ)当 x ? 4 时 f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0 得 x>-5,所以 x ? 4 成立 当?

1 ? x ? 4 时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0 2
第 页 共 11 页

得 x>1,所以 1<x<4 成立 10

当x? ?

1 时 f(x)=-x-5>0 得 x<-5 所以 x<-5 成立, 2
-----------------------------------------5 分

综上,原不等式的解集为{x|x>1 或 x<-5}

(Ⅱ)f(x)+ 3 x ? 4 =|2x+1|+2|x-4| ?| 2 x ? 1 ? (2 x ? 8) |? 9 当?

1 ? x ? 4时等号成立 2

所 以 m≤9 --------------------------------------------------------------------------10 分



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