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高二数学椭圆及其标准方程3


椭圆及其标准方程

教学目标:
理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程的推导和标 准方程。

通过椭圆方程的推导培养学生的分析探索能力,掌 握解决 解析几何问题的方法——坐标法。

重点:
椭圆的定义和椭圆的标准方程。

难点:
椭圆的标准方程的推导,椭圆的定义中加以限制的 原因。

引入:
1.1997年初,中国科学院紫金山天文 台发布了一条消息,从1997年2月中旬起, 海尔· 波普彗星将逐渐接近地球,过4月 以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它 还将光临地球上空 .1997年2月至3月间, 许多人目睹了这一天文现象,天文学家 是如何计算出彗星出现的准确时间呢? 原来,海尔· 波普彗星运行的轨道是一个 椭圆,通过观察它运行中的一些有关数 据,可以推算出它的运行轨道的方程, 从而算出它运行周期及轨道的的周长。

彗星 太阳

行星运动轨迹

2.取一条一定长的细绳,把它的两个端 点固定在图板上的F1和F2两点,用笔尖 拉紧绳,使笔尖在小黑板上慢慢地移动, 画出一条曲线。

学生演示

1、椭圆的定义:
F1

M

F2

平面内到两个定点F1、F2的距离之和等 于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距。

注意:
(1) 必须在平面内. (2) |F1 F2|<常数

思考:在同样的绳长下,两定点间距离较长,则 扁 (→线段)在同样的绳长下, 所画出的椭圆较 —— 圆 两定点间距离较短,则所画出的椭圆较 ( → 圆)
——

由此可知,椭圆的形状与两定点间距离、绳长有 关.

思考:
当绳长等于|F1 F2|时,笔尖的轨迹是什么?

当绳长小于|F1 F2|时,笔尖的轨迹是什么?

结论:当绳长等于|F1 F2|时,作出的是一条 线段。当绳长小于|F1 F2|时,不能作出 任何曲线。 如何求椭圆的轨迹方程?

思考:
求曲线方程的方法步骤是什么?

建系: 建立适当的直角坐标系; 设点: 设M(x,y)是曲线上任意一点; 列式: 建立关于x,y的方程 f(x,y)=0; 化简: 化简方程f(x,y)=0. 检验: 说明曲线上的点都符合 条件(纯粹性);符合 条件的点都在曲线上.

2、椭圆的标准方程
椭圆的焦距为2c(c>0),M与F1、F2的距离的和为2a 怎样建立平面直角坐标系呢?

y

M ( x, y )
F1?- c,0?

O

F2 ?c,0?

x

MF 1 ? MF 2 ? 2a

2、椭圆的标准方程
以F1、F2所在的直线为x轴,线段F1F2 的中点为原点建立直角坐标系。
F1

y
M ( x, y )
O
F2

x



设M(x,y)是椭圆上任一点,椭圆的焦距为 2c(c>0),M与F1、F2的距离的和等于2a, 则F1(-c,0)、F2(c,0)

?x ? c ?

2

?y ?
2

?x ? c ?

2

? y 2 ? 2a

移项平方整理得 a 2 ? c 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 a 2 ? c 2

?

?

?

?

2a ? 2c,即a ? c, a ? c ? 0
2 2

设a 2 ? c 2 ? b 2 ?b ? 0 ? 得 :

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

y
M F1

o

F

2

x

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

?a ? b ? 0 ?

叫做椭圆的标准方程。

它所表示的椭圆的焦点在x轴上, 焦点是 F1 (?c,0) F2 (c,0) ,中心在坐标原点 2 2 2 的椭圆方程 ,其中 a ? c ? b

注意:
若坐标系的选取不同,可得到椭圆的不同的方程. 如果椭圆的焦点在y轴上(选取方式不同, 调换x,y轴)焦点则变成 F1 (0, ?c), F2 (0, c) ,只要将
方程中
x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

的调换,即可得
y

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b

(a>b>0)也是椭圆的标准方程 .

如图所示:
p .

F2 (0,a)
0 x

x ?y ? 1 2 2 b a

2

2

?a ? b ? 0 ?

F1 (0,-a)

*椭圆的两种标准方程的异同点:
同: 形状相同,大小相同都有a>b>0, a>c>0 , a 2 ? b2 ? c 2 .

异: 两种椭圆相对于坐标系的位置不 它们的焦点坐标也不同.



判定下列椭圆的焦点在?轴, 2 2 并指明a 、b ,写出焦点坐标:

x y ? ?1 25 16
x y ? ?1 144 169
2 2

2

2

答:在 X 轴。(-3,0)和(3,0)

答:在 y 轴。(0,-5)和(0,5)

x y ? 2 ?1 2 m m ?1

2

2

答:在y 轴。(0,-1)和(0,1)

判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则:
焦点在分母大的那个轴上。

例1.椭圆的两个焦点的坐标分别是(-4,0) (4,0),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10, 求椭圆的标准方程。 解: ∵椭圆的焦点在x轴上
.

∴设它的标准方程为:
∵ 2a=10, 2c=8 ∴ a=5, c=4 ∴ b2=a2-c2=52-42=9

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
F1

2

2

y
M

o

F2

x

x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 25 ? 9 ? 1

讲评例题

例2 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是
圆适合下列条件的标准方程。

5 3 (-2,0)、(2,0)并且经过点( , ? ) 求椭 2 2

解: (1)因为椭圆的焦点在 x轴上,所以 2 2 设它的标准方程为 x 2 ? y2 ? 1 (a>b>0) 由椭圆的定义知,
a b
3 2 5 2a ? (? ) ? ( ? 2) 2 ? 2 2 3 1 ? 10 ? 10 2 2 ? 2 10 , ?  a ? 10  . 又c ? 2, ?  b 2 ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6. 3 2 5 (? ) ? ( ? 2) 2 2 2

所以所求椭圆的标准方程为

x y ? ? 1. 10 6

2

2

求椭圆的标准方程 (1)首先要判断类型, (2)用待定系数法求 a , b
利用椭圆的定义求方程,有等 式:a2=b2+c2

例3、已知△ABC的一边BC固定,长为6,周长为16, 求顶点A的轨迹方程。 解:以BC的中点为原点,BC所在的 直线为x轴建立直角坐标系。 根据椭 圆的定义知所求轨迹方程是椭圆, 且焦点在轴上,所以可设椭圆的标 准方程为 : x 2 y 2 ∵ 2a=10, 2c=6 ∴ a=5, c=3 ∴ b2=a2-c2=52-32=16
x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 25 ? 16 ? 1
a
2

.

y
A
B

?

b

2

? 1(a ? b ? 0)

o

C

x

课堂练习

4:课堂练习
x2 y2 ? ? 1上一点P到一个焦点的距离为5, 1 椭圆 25 9
则P到另一个焦点的距离为( A) ?A.5 ?B.6 ?C.4
?D.10

x2 y2 ? 1 的焦点坐标是(C ) 2.椭圆 ? 25 169

A.(±5,0)? C.(0,±12)?

B.(0,±5) ? D.(±12,0)

x2 y2 3.已知椭圆的方程为 ? 2 ? 1,焦点在X轴上, 8 m

则其焦距为( A ) A 2 8 ? m2 C 2 m2 ? 8

B
D

2

2 2?m

2 2 m ?2 2

4. a ? 6, c ? 1 ,焦点在y轴上的椭圆的标准方程
y 2 x2 ? ?1 36 35 是 __________.

1、椭圆的定义(强调2a>|F1F2|)和椭圆的标 准方程 2、椭圆的标准方程有两种,注意区分 3、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法 4、求椭圆标准方程的方法

应注意以下几点: ①椭圆的定义中 2a ? 2c ? 0 , 2a ? 2b ? 0 ; ②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x,y的分母大小 来确定; ③a 、 b、c的几何意义 .

a ? c ?b
2 2

2

b c

a

1、推导焦点在y轴时椭圆的标准方程

2、习题2.1 1、2T

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