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江苏省南京市六校联考2016届高三上学期12月调研测试 数学


2016 届高三南京市六校联考调研测试 数 学 试 卷(Ⅰ)
命题人 张 海、甘德顺、叶宝江 审核人 甘德顺、叶宝江 2015.12 一、填空题(共 14 小题每小题 5 分共计 70 分.将正确答案填入答题纸的相应横线上 ) ......... 1.设集合 M ? ?2,0, x? ,集合 N ? ?0,1? ,若 N ? M ,则 x ? ▲ .

/>2.已知复数 z 满足 ? 3 ? 4i ? z ? 1 ( i 为虚数单位) ,则 z 的模为



.

3.已知 m 为实数, 直线 l1 : mx ? y ? 3 ? 0 , 则 “ m ?1” 是 “ l1 / / l2 ” 的 l2 : (3m ? 2) x ? my ? 2 ? 0 , 条件(请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空) .



S ?0 For I From 1 To 10
4.根据如图所示的伪代码,最后输出的 S 的值 为 ▲ .

S?S?I End For Pr int S

5.现有 5 道试题,其中甲类试题 2 道,乙类试题 3 道,现从中随机取 2 道试题,则至少有 1 道试题 是乙类试题的概率为 ▲ .

?2 x ? y ≤ 2 ? 6.若实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≥ ?1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? x ? y ≥1 ?





7.已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a2 a8 ? 2a3a6 , S5 ? ?62 ,则 a1 的值是
·1·



.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8.已知 a ? 1, b ? 2 , a 与 b 的夹角为 120? , a ? b ? c ? 0 ,则 a 与 c 的夹角为





9.已知 cos(75? ? ?) ?

1 ,则 cos(30? ? 2? ) 的值为 3





10.设椭圆

x2 y 2 ? ?1 PQ ? l (a ?b ? 0) 的左右焦点分别为 F1、F2 , 左准线为 l , P 为椭圆上的一点, a2 b2

于点 Q ,若四边形 PQF1 F2 为平行四边形,则椭圆离心率的取值范围是 ▲ .

11.若 x、y 均为正实数,且 x ? 2 y ? 4 ,则

x2 2 y2 的最小值是 ? x ? 2 y ?1





??? ? ???? 12. 在 ?ABC 中,已知 BC ? 2 , AB ? AC ? 1 ,则 ?ABC 面积的最大值是



.

13.已知圆 O : x2 ? y 2 ? 4 ,直线 l : x ? y ? 4 ? 0 , A 为直线 l 上一点,若圆 O 上存在两点 B、 C ,使得
?BAC ? 60? ,则点 A 的横坐标的取值范围是



.

·2·

?3x ? a, x ?1 ? 14.若函数 f ( x) ? ? 2 恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是 2 ? ? x ? 3ax ? 2a , x ? 1





二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题纸 指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证 ... 明过程或演算步骤.) r 3 r 15. (本小题满分 14 分)已知向量 a = (sin x, ), b = (cos x, - 1) . 4 ? ? ? (1)当 a / / b 时,求 tan( x ? ) 的值;

4 r r r ? (2)设函数 f ( x) = 2 a + b ? b ,当 x ?[0, ] 时,求 f ( x) 的值域. 2

(

)

16.(本小题满分 14 分)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是菱形, AC , BD 相交于点 O , EF / / AB , AB ? 2EF ,平面 BCF ? 平面 ABCD , BF ? CF ,点 G 为 BC 的中点. (1)求证:直线 OG / / 平面 EFCD ; E F (2)求证:直线 AC ? 平面 ODE .

D O A B G

C

17.(本小题满分 15 分)如图,椭圆 C : 点到右准线的距离为

x2 y2 2 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? ,椭圆 C 的右焦 a2 b2 3

2 ,椭圆 C 的下顶点为 D . 4 (1)求椭圆 C 的方程; (2) 若过 D 点作两条互相垂直的直线分别与椭圆 C 相交于点 P、M .求证: 直线 PM 经过一定点.
y

M
·3·

P o x

18.(本小题满分 15 分)如图,某广场中间有一块边长为 2 百米的菱形状绿化区 ABCD ,其中 BMN

2? ? 上选一点 P . 管理部门欲在该地从 M 到 D 修建小路: 在 MN (异 3 于 M 、 N 两点) ,过点 P 修建与 BC 平行的小路 PQ .
是半径为 1 百米的扇形, ?ABC ?

? 与线段 PQ 及线段 QD 的总长度 l ; (1)设 ?PBC ? ? ,试用 ? 表示修建的小路 MP
(2)求 l 的最小值. A P M D Q

B

N (第 18 题)

C

19.(本题满分 16 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且对一切正整数 n 都有 Sn ? n2 ? (1)求证: an ?1 ? an ? 4n ? 2 ( n ? N * ) ; (2)求数列 ?an ? 的通项公式;

1 an . 2

(3)是否存在实数 a ,使不等式 (1 ?

1 1 1 2a 2 ? 3 )(1 ? )?(1 ? ) ? 对一切正整数 n 都成立?若存 a1 a2 an 2a 2n ? 1 在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由。

20.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? e x ? ax 2 ? bx ? 1 ,其中 a , b ? R , e 为自然对数的底数. (1)若函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 y ? ? e ? 1? x ? 1 ,求实数 a 及 b 的值; (2)设 g ( x) 是函数 f ( x) 的导函数,求函数 g ( x) 在区间 ?0,1? 上的最小值; (3)若 f (1) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 ? 0,1? 内有零点,求 a 的取值范围.

·4·

2016 届高三南京市六校联考调研测试
数 学 试 卷(Ⅱ) (加试题)
21.【选做题】本题包括 A 、 B 、 C 、 D 四小题,请选定其中两题,并在答题卡指定区域内作答, 若多做,则按作答的前两题评分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A(选修 4—1 :几何证明选讲) (本小题满分 10 分) 、 CGE都是 ? O 的割线,已知 如图, AB 是 ? O 的一条切线,切点为 B ,直线 ADE、 CFD AC ? AB. 求证: FG / / AC .
G O C

F
D A

E
B
第 21—A 题图

B.(选修 4—2 :矩阵与变换) (本小题满分 10 分)

? 1 ?1 0 ? ,B ? ? 已知矩阵 A ? ? ? ? ?0 2? ?0
直线 l ? 的方程.

1? 2 ? ,若矩阵 AB 对应的变换把直线 l : x ? y ? 2 ? 0 变为直线 l ? ,求 ? 1?

C.(选修 4—4 :坐标系与参数方程) (本小题满分 10 分)

? ?x ? ? ? 在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为 ? ?y ? ? ? ?

2 ? r cos? , 2 (? 为参数, r ? 0) ,以 O 为 2 ? r sin ? 2

·5·

极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? 线 l 的最大距离为 3 ,求 r 的值.

?
4

) ? 1,若圆 C 上的点到直

D.(选修 4—5 :不等式选讲) (本小题满分 10 分) 已知实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 2, 求 2 x2 ? 3 y 2 ? z 2 的最小值.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分)袋中装有围棋黑色和白色棋子共 7 枚,从中任取 2 枚棋子都是白色的概率

1 . 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子。甲先摸,乙后取,然后甲再取,??,取后均不放 7 回,直到有一人取到白棋即终止. 每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的。用 X 表示取棋子
为 终止时所需的取棋子的次数. (1)求随机变量 X 的概率分布列和数学期望 E ( X ) ; (2)求甲取到白球的概率.

23.(本小题满分 10 分)设 f (x) 是定义在 R 上的函数,已知 n ? N * ,且

0 1 2 n 0 1 2 n g ( x) ? Cn f ( )x0 (1 ? x)n ? Cn f ( ) x1 (1 ? x)n?1 ? Cn f ( ) x2 (1 ? x)n?2 ? ? ?Cn f ( ) xn (1 ? x)0 . n n n n (1)若 f ( x) ? 1 ,求 g ( x) ; (2)若 f ( x) ? x ,求 g ( x) .

·6·

2016 届高三南京市六校联考调研测试
数学试卷(Ⅰ)参考答案及评分标准
1 ? 9 ; 3、充分不必要; 4、55; 5、 ; 6、1; 7、 ?2 ; 8、 ; 10 5 2 7 1 1 9、 ; 10、 ( , 1; ) 11、 2 ; 12、 2 ; 13、 [0, 4] ; 14、 a ?[ , 1 ) ? [3 ?,?. ) 9 2 2 ? ? r 3 r 15.解:(1)∵ a = (sin x, ), b = (cos x, - 1) , a / / b , 4 3 3 ∴ ? sin x ? cos x ? 0 ,∴ tan x ? ? , ??????????????3 分 4 4 3 ? ?1 ? tan x ? 1 ∴ tan( x ? ) ? ??????????????6 分 ? 4 ? ?7 . 4 1 ? tan x 1 ? 3 4 ? ? ? ? ? ?2 3 (2)方法 1, f ( x) ? 2(a ? b) ? b ? 2a ? b ? 2b ? 2sin x cos x ? ? 2cos2 x ? 2 ???8 分 2 3 ? 3 ? sin 2 x ? cos2x ? ? 2 sin(2 x ? ) ? . ???????????10 分 2 4 2 2 ? ? ? ? 5? ? sin(2 x ? ) ? 1 ??????12 分 ∵ x ?[0, ] ,∴ ? 2 x ? ? ,∴ ? 2 4 2 4 4 4 1 3 1 3 ∴ ? f ( x) ? ? 2 ,即函数 f ( x) 的值域为 [ , ? 2] . ????????14 分 2 2 2 2
1、1; 2、 方法 2, r r 3 1 a + b = (sin x, ) + (cos x,- 1) = (sin x + cos x,- ) , 4 4

? ? ? 1 1 f ( x) ? 2(a ? b) ? b ? 2(sin x ? cos x, ? ) ? (cos x, ?1) ? 2sin x cos x ? 2cos2 x ? 4 2
???????????8 分

3 ? 3 ? sin 2 x ? cos2x ? ? 2 sin(2 x ? ) ? . ???????????10 分 2 4 2 2 ? ? ? ? 5? ? sin(2 x ? ) ? 1 ??????12 分 ∵ x ?[0, ] ,∴ ? 2 x ? ? ,∴ ? 2 4 2 4 4 4 1 3 1 3 ∴ ? f ( x) ? ? 2 ,即函数 f ( x) 的值域为 [ , ? 2] . ??????14 分 2 2 2 2

·7·

16.解:方法 1, (1)证明:四边形 ABCD 是菱形 AC ? BD ? O
? OG / / DC OG ? 平面 EFCD 又 EF ? 平面 EFCD (2)证明:

? O 为 BD 的中点

又 点 G 为 BC 的中点 ?????????????3 分 ? OG / / 平面 EFCD .?????7 分

? ? ? ? ? ? FG ? BC ? G为BC的中点? ? ? ? ???????????????9 分 又FG ? 平面BFC ? ? FG ? 平面ABCD ? ? ? ? FG ? AC . ????????10 分 ? 平面BFC ? 平面ABCD ? ? ? 平面BFC ? 平面ABCD =BC ? ? ? ? 又 AC ? 平面ABCD ? BF ? CF
O、G 分别为 CA、CB 的中点 ? OG / / AB 且 AB ? 2OG ? EF / / OG 且 EF ? OG . EF / / AB 且 AB ? 2EF 又 ? 四边形 OGEF 是平行四边形 ? EO / / FG ????????????????? 11 分 ? AC ? EO 又 FG ? AC ? AC ? 平面 ODE . 四边形 ABCD 是菱形 ? AC ? BD ,即 AC ? DO EO ? DO ? O 又 ???????????????????????14 分 方法,2, 证明: (1)∵四边形 ABCD 是菱形, AC ? BD ? O ,∴点 O 是 BD 的中点, ∵点 G 为 BC 的中点 ∴ OG / / CD , ????????3 分 又∵ OG ? 平面 EFCD , CD ? 平面 EFCD ,∴直线 OG / / 平面 EFCD .?????7 分 (2)∵ BF ? CF ,点 G 为 BC 的中点,∴ FG ? BC . ∵平面 BCF ? 平面 ABCD ,平面 BCF ? 平面 ABCD ? BC , FG ? 平面 BCF , FG ? BC ∴ FG ? 平面 ABCD , ??????9 分
∵ AC ? 平面 ABCD ,∴ FG ? AC , ∵ OG / / AB, OG ?
E F

1 1 AB , EF / / AB, EF ? AB , 2 2

∴ OG / / EF , OG ? EF , ∴四边形 EFGO 为平行四边形, ∴ FG / / EO , ??????11 分
A

D O B G

C

∵ FG ? AC , FG / / EO ,∴ AC ? EO , ∵四边形 ABCD 是菱形,∴ AC ? DO ,
·8·

∵ AC ? EO , AC ? DO , EO ? DO ? O , EO、 DO 在平面 ODE 内, ∴ AC ? 平面 ODE . ??????14 分

c 2 2 8 ? ,则 c2 ? a 2 ,??????????????2 分 a 3 9 2 x2 a 2 ?c ? 又 ,且 a 2 ? b 2 ? c 2 ,∴ b ? 1 ,则 a ? 3 ,∴方程为 ? y 2 ? 1 .????5 分 9 c 4 (2) 方法 1, 由题意知直线 PD、 MD 的斜率存在且不为 0, 设直线 PD 的斜率为 k , 则 PD :y ? kx ? 1 ,
17.解: (1)依题意知 e ?

? y ? kx ? 1, y 18k 9k 2 ? 1 ? P ( , ) 由 ? x2 得 ,???? 7 分 2 9k 2 ? 1 9k 2 ? 1 ? ? y ? 1, ?9 ?18k 9 ? k 2 1 , ) ,????9 分 M 用 ? 去代 k ,得 M ( 2 P k ? 9 k2 ? 9 k 2 2 9k ? 1 9 ? k ? 2 2 o 2 9 k ? 1 k ? 9 ? k ? 1 ,??????11 分 ∴ k PM ? 18k 18k 10k ? 2 2 9k ? 1 k ? 9 D 9 ? k 2 k 2 ?1 18k ? (x ? 2 ) ,????12 分 ∴ PM : y ? 2 k ? 9 10k k ?9 k 2 ?1 4 x ? ,????????????????14 分 即y? 10 k 5 4 ∴直线 PM 经过定点 T (0, ) .????????????15 分 5 方法 2,由题意知直线 PD, MD 的斜率存在且不为 0,设直线 PD 的斜率为 k ,则 PD : y ? kx ? 1 ,

x

? y ? kx ? 1, 18k 9k 2 ? 1 ? P ( , 2 ) ,????????7 分 由 ? x2 得 2 2 9 k ? 1 9k ? 1 ? y ? 1, ? ?9
?18k 9 ? k 2 1 , ) ,?????????9 分 去代 k ,得 M ( 2 k ? 9 k2 ? 9 k 作直线 l 关于 y 轴的对称直线 l ? ,此时得到的点 P ? 、 M ? 关于 y 轴对称, 9 4 9 4 则 PM 与 P ?M ? 相交于 y 轴,可知定点在 y 轴上,当 k ? 1 时, P( , ) , M (? , ) , 5 5 5 5 4 此时直线 PM 经过 y 轴上的点 T (0, ) ,?????????10 分 5 2 9k ? 1 4 ? 2 k 2 ?1 , ∵ k PT ? 9k ? 1 5 ? ???????????12 分 18k 10k 9k 2 ? 1
用?

·9·

9 ? k2 4 ? 2 k 2 ?1 kMT ? k ? 9 5 ? , ??????????????14 分 18k 10 k ? 2 k ?9 ∴ k PT ? kMT ,∴ P、M 、T 三点共线,即直线 PM 经过点 T , 4 故直线 PM 经过定点 T (0, ) .?????????????15 分 5

18.解: (1)连接 BP ,过 P 作 PP 1 ,过 Q 作 QQ 1, 1 ? BC 垂足为 P 1 ? BC 垂足为 Q
? ? 2π ? ? 依题意知: ?PBN ? ? 0 ? ? ? 2π , MP 3 3

?

?

???????2 分 D P M Q

A 若 0 ? ? ? ? ,在 Rt ?PBP 1 中, PP 1 ? sin ?,BP 1 ? cos ? 2 若 ? ? ? ? 2? , 则 PP 1 ? sin? , BP 1 ? cos(? ? ? ) ? ? cos? , 2 3 ∴ PQ ? 2 ? cos? ? 3 sin ?

3

???????4 分 B

(注:未讨论 ? 的范围扣 1 分.)

3 sin ? , CQ ? 2 3 sin ? , 在 Rt ?CBQ1 中, QQ1 ? PP 1 ? sin ? ,C Q 1 ? 3 3 DQ ? 2 ? 2 3 sin ? . 3
总路径长 l ? f (? ) ? ???????????6 分

Q1 N P1 (第 18 题)

C

2? 2? ????????8 分 ? ? ? 4 ? cos? ? 3sin ? (0 ? ? ? ), 3 3 ? 2? ???????????10 分 f ?(? ) ? sin? ? 3 cos? ? 1 ? 2sin(? ? ) ? 1 (0 ? ? ? ), 3 3 ? 令 f ' ?? ? ? 0 ,得 ? ? ,
2 方法 1,列表验证如下:

?
f ?(? )
f (? )
依表格知:当 ? ?

(0, ) 2
?
?
极小值

?

?
2
0

? 2? ( , ) 2 3
?

?
6

?4? 3

?

?
2

时, f (? ) 最小, [ f (? )]min ?

?
6

? 4 ? 3 . ??????????14 分

答:当 BP ? BC 时,总路径长 l 的最小值为

?
6

? 4 ? 3 .?????????????15 分

·10·

方法 2,当 0 ? ? ? ? 时, f ' ?? ? ? 0 , f (? ) 在 (0, ) 内单调递减; 2 2

?

? 当 ? ? ? ? 2π 时, f ' ?? ? ? 0 , f (? ) 在 (0, ) 内单调递增. 2 3 2
?
时, f (? ) 最小, [ f (? )]min ?

∴ 当? ?

???????????14 分 ?4? 3 . 2 6 (注:此处若未强调函数 f (? ) 的单调性,只是由 f ' ?? ? ? 0、f ' ?? ? ? 0 就下结论,扣 1 分.) 答:当 BP ? BC 时,总路径长 l 的最小值为

?

?
6

? 4 ? 3 . ????????????15 分

1 1 an ( n ? N * )① ∴ Sn?1 ? (n ? 1)2 ? an?1 ( n ? N )② 2 2 1 1 1 1 2 2 由② ? ①得 Sn?1 ? Sn ? [(n ? 1) ? an?1 ] ? (n ? an ) ? 2n ? 1 ? an?1 ? an ( n ? N * ) , 2 2 2 2 ∴ an ?1 ? an ? 4n ? 2 ( n ? N * ). ????????????4 分
19.解: (1)证明:∵ Sn ? n2 ? (2)解:方法 1,∵ an ?1 ? an ? 4n ? 2 ( n ? N * )??③ ∴ an? 2 ? an?1 ? 4n ? 6 ( n ? N ) , ??④ ④—③,得 an ? 2 ? an ? 4. ( n ? N * ) ???????????6 分 从而 数列 {an } 的奇数项依次成等差数列,且首项为 a1 ? 2 ,公差为 4; 数列 {an } 的偶数项也依次成等差数列,且首项为 a2 ,公差为 4.

1 1 2 2 在③中令 n ? 1 得 a2 ? 2 ? 4 ? 2 ,∴ a2 ? 4. ?????????????7 分 n ?1 ∴当 n ? 2 k ? 1 ( k ? N * )时, k ? , an ? a2 k ?1 ? a1 ? 4(k ? 1) ? 4k ? 2 ? 2n ; ??8 分 2 n ∴当 n ? 2k ( k ? N * )时, k ? , an ? a2 k ? a2 ? 4(k ? 1) ? 4k ? 2n ;???????9 分 2 综上所述, an ? 2n ( n ? N * ). ??????????????10 分
在①中令 n ? 1 得 S1 ? 12 ? a1 ,又∵ S1 ? a1 ,∴ a1 ? 1 ? a1 ? a1 ? 2. 方法 2,由③式知, an?1 ? (2n ? 2) ? ?(an ? 2n) ( n ? N * ) , ???????????7 分 记 bn ? an ? 2n ( n ? N * ) ,则 bn?1 ? ?bn . ( n ? N * ) ,

1 1 2 2 从而 b1 ? 2 ? 2 ?1 ? 0 ,∴ bn ? 0 ( n ? N * ) 即 an ? 2n ( n ? N * ). ???????10 分
在①中令 n ? 1 得 S1 ? 12 ? a1 ,又∵ S1 ? a1 ,∴ a1 ? 1 ? a1 ? a1 ? 2. (3)解:令 f (n) ? (1 ? 且

1 1 1 )(1 ? )?(1 ? ) ? 2n ? 1 ( n ? N * ) ,则 f (n) ? 0 a1 a2 an

4n2 ? 8n ? 3 f (n ? 1) 1 2n ? 3 (2n ? 1) 2n ? 3 ? ? 1 ???????12 分 ? ? (1 ? ) 4n2 ? 8n ? 4 f ( n) an ?1 2n ? 1 (2n ? 2) 2n ? 1
·11·

(或 f (n ? 1) ? f (n)

? (1 ?

1 1 1 1 1 1 1 )(1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 2n ? 3 ? (1 ? )(1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? 2 n ? 1 a1 a2 an an ?1 a1 a2 an

1 1 1 1 2n ? 1 ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? ( 4n 2 ? 8n ? 3 ? 4n 2 ? 8n ? 4) ? 0 ???12 分) 2 4 6 2n 2n ? 2 3 ∴ f (n ? 1) ? f (n) ,∴ f (n) 单调递减,∴ [ f ( n) max ? f (1) ? . ?????????13 分 2 1 1 1 2a 2 ? 3 3 ∴不等式 (1 ? )(1 ? )?(1 ? ) ? 对一切正整数 n 都成立等价于 f (n) ? a ? 对一切正 a1 a2 an 2a 2a 2n ? 1
3 3 3 ? a ? . ????????14 分 ,即 2a 2 2a 2 2a ? 3a ? 3 (a ? 3)(2a ? 3) 3 ? 0 ,即 ? 0 ,解之得 a ? 3, 或 ? ? a ? 0. ∴ 2a a 2 3 ,0) ? ( 3, ??). 综上所述,存在实数 a 适合题意, a 的取值范围是 ( ? 2 ????????????????????16 分 x 2 20.解: (1) 由 f ( x) ? e ? ax ? bx ? 1 得 f ?( x) ? e x ? 2ax ? b ,??????????1 分
整数 n 都成立等价于 [ f (n)]max ? a ? ∴ f ?1? ? e ? a ? b ? 1 , f ? ?1? ? e ? 2a ? b ,. ??????????????2 分 ∵函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 y ? ? e ? 1? x ? 1 ,

?a ? 0 ??????????3 分 ?? . ?b ?1 (2)由 f ( x) ? e x ? ax 2 ? bx ? 1 得 f ?( x) ? e x ? 2ax ? b ,∴ g ( x) ? f ?( x) ? e x ? 2ax ? b , ∴ g ?( x) ? e x ? 2a .
方法 1, (ⅰ)当 2a ? 0 即 a ? 0 时, g ?( x) ? e x ? 2a ? 0 对一切 x ?[0,1] 恒成立, ∴ g ( x) 在 [0,1] 内单调递增, ∴ g ( x) 在 [0,1] 上的最小值是 g (0) ? 1 ? b ; ?????????????4 分 (ⅱ)当 2a ? 0 即 a ? 0 时,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ln(2a) ,从而有

?e ? a ? b ? 1 ? e ? 1 ? 1 ? a ? b ? 1 ∴? 即? ? 2a ? b ? 1 ?e ? 2a ? b ? e ? 1

1 时,列表如下: 2 (0,1) x 0 1 g ?( x) ? g ( x) 1 ? b e ? 2a ? b ? 依表格知 g ( x) 在 [0,1] 上的最小值是 g (0) ? 1 ? b ; ????????????5 分 1 e ② 当 0 ? ln(2a) ? 1 即 ? a ? 时,列表如下: 2 2 x 0 (0,ln(2a)) ln(2a) (ln(2a ),1) 1 0 ? ? g ?( x) 1? b ? e ? 2a ? b g ( x) 2a ? 2a ln(2a) ? b ? 依表格知 g ( x) 在 [0,1] 上的最小值是 g (ln(2a)) ? 2a ? 2a ln(2a) ? b ;??????7 分 e ③ 当 ln(2a ) ? 1 即 a ? 时,列表如下: 2
① 当 ln(2a) ? 0 即 0 ? a ?
·12·

(0,1) 0 x 1 g ?( x) ? g ( x) 1 ? b e ? 2a ? b ? 依表格知 g ( x) 在 [0,1] 上的最小值是 g (1) ? e ? 2a ? b .
综上所述: 当a?

??????????8 分

1 时, g ( x) 在 [0,1] 上的最小值是 g (0) ? 1 ? b ; 2 1 e 当 ? a ? 时, g ( x) 在 [0,1] 上的最小值是 g (ln(2a)) ? 2a ? 2a ln(2a) ? b ; 2 2 e 当 a ? 时, g ( x) 在 [0,1] 上的最小值是 g (1) ? e ? 2a ? b . ???????????9 分 2 方法 2,当 x ?[0,1] 时, g ?( x) ?[1 ? 2a, e ? 2a] . ??????????????4 分 1 ① 当 a ? 时, g ?( x) ? 0 ,且 g ( x) 不是常数函数,所以 g ( x) 在 [0,1] 上单调递增, 2 因此 g ( x) 在 [0,1] 上的最小值是 g (0) ? 1 ? b ; ?????????????5 分 e ② 当 a ? 时, g ?( x) ? 0 ,且 g ( x) 不是常数函数,所以 g ( x) 在 [0,1] 上单调递减, 2 因此 g ( x) 在 [0,1] 上的最小值是 g (1) ? e ? 2a ? b ; ??????????????6 分 1 e ③ 当 ? a ? 时,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ln(2a) ? (0,1) , 2 2 x ? [0,ln(2 a)) 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? (ln(2a),1] 时, g ?( x) ? 0 且当 所以函数 g ( x) 在区间 [0,ln(2a)) 上单调递减,在区间 (ln(2a ),1] 上单调递增, 于是 g ( x) 在 [0,1] 上的最小值是 g (ln(2a)) ? 2a ? 2a ln(2a) ? b . ????????8 分
综上所述:

1 时, g ( x) 在 [0,1] 上的最小值是 g (0) ? 1 ? b ; 2 1 e 当 ? a ? 时, g ( x) 在 [0,1] 上的最小值是 g (ln(2a)) ? 2a ? 2a ln(2a) ? b ; 2 2 e 当 a ? 时, g ( x) 在 [0,1] 上的最小值是 g (1) ? e ? 2a ? b .???????????9 分 2 (3) f ( x) ? e x ? ax 2 ? bx ? 1 , g ( x) ? f ?( x) ? e x ? 2ax ? b ,
当a? 由 f (1) ? 0 ? e ? a ? b ? 1 ? 0 ? b ? e ? a ? 1 ,∴ g ( x) ? e x ? 2ax ? e ? a ? 1 ,又 f (0) ? 0 . 若函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内有零点,设 x0 为 f(x)在区间 (0,1) 内的一个零点, 则由 f (0) ? f ( x0 ) ? 0 可知,

f ( x) 在区间 (0, x0 ) 内不可能单调递增,也不可能单调递减. 则 g ( x) 在区间 (0, x0 ) 内不可能恒为正,也不可能恒为负. 故 g ( x) 在区间 (0, x0 ) 内存在零点 x1 . 同理 g ( x) 在区间 ( x0 ,1) 内存在零点 x 2 . 故函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内至少有三个单调区间,g(x)在区间 (0,1) 内至少有两个零点. ?????????????????10 分 1 e 由(2)知当 a ? 或 a ? 时,函数 g ( x) 即 f ?( x) 在区间 [0,1] 内单调, 2 2 不可能满足“函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内至少有三个单调区间”这一要求. ?????????????????11 分
·13·

1 e ? a ? ,此时 g ( x) 在区间 (0,ln(2a)) 内单调递减,在区间 (ln(2a ),1) 内单调递增. 2 2 因此 x1 ? (0,ln(2a)) , x2 ? (ln(2a),1) , 又 [ g ( x)]min ? g (ln(2a)) ? 2a ? 2a ln(2a) ? e ? a ? 1 ? 3a ? 2a ln(2a) ? e ? 1 , 1 e 令 h( x) ? 3x ? 2 x ln(2 x) ? e ? 1 ( ? x ? ) , 2 2 e 1 则 h?( x) ? 3 ? 2ln(2 x) ? 2 x ? ? 2 ? 1 ? 2ln(2 x) ,令 h?( x) ? 0 得 x ? ,列表如下: 2 2x 1 e e e e x ( , ) ( , ) 2 2 2 2 2 ? h?( x) 0 ?


? ? e ? e ?1 1 e 依表格知:当 ? x ? 时, [h( x)]max ? e ? e ? 1 ? 0 , 2 2 ∴ [ g ( x)]min ? 3a ? 2a ln(2a) ? e ? 1 ? 0 恒成立,??????????????14 分

h( x )

e e ?1 ?1 ?2 ? a ? 2 ?2 ? a ? 2 ? ? 于是,函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内至少有三个单调区间 ? ? g (0) ? 0 即 ? 2 ? e ? a ? 0 ? g (1) ? 0 ??a ? 1 ? 0 ? ? ? ? ? e ? 2 ? a ?1. 综上所述: a 的取值范围为 (e ? 2,1). ?????????????????16 分

2016 届高三南京市六校联考调研测试
数学试卷(Ⅱ)参考答案及评分标准
21A 证明: ∵ AB 为切线,AE 为割线, ∴ AB 2 ? AD ? AE , 又∵ AC ? AB ,∴ AD ? AE ? AC 2 .????4 分
G O C

AD AC ? ,又∵ ?EAC ? ?CAD , AC AE ∴ △ ADC ∽ △ ACE ,
∴ ∴ ?ADC ? ?ACE , 又∵ ?ADC ? ?EGF , ∴ ?EGF ? ?ACE , ∴ GF ? AC . ????????????10 分 1? ? 1 ?1 0 ? ? 21B 解:∵ A ? ? 2 ? ,∴ ?,B ? ? ? ?0 2? ?0 1 ?

F
D A

E
B
第 21—A 题图

1? ? 1? ? 1 ?1 0 ? ?1 ? ? AB ? ? = ???????????4 分 2 2? . ? ?0 2? ?0 1 ? ?0 2 ? ? ? ? ? ? l P ( x , y ) 在直线 上任取一点 ,它是由 l 上的点 P0 ( x0 , y0 ) 经矩阵 AB 所对应的变换所得,
·14·

则一方面,∵点 P0 ( x0 , y0 ) 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上,∴ x0 ? y0 ? 2 ? 0 .??①

1 1? ? ? 1 ? x0 ? ? x ? ? x0 ? ? x ? ? x0 ? y0 ? x ? ? , ??????????7 分 AB ? ? ? ? ? ,即 2 2 ? ? ? ? ? ,∴ ? ? ? ? y0 ? ? y ? ? y0 ? ? y ? ? ?0 2 ? ?2 y0 ? y 1 ? x0 ? x ? y ? ? 4 ??② ∴? ?y ? 1 y 0 ? 2 ? 1 1 将②代入①得 x ? y ? y ? 2 ? 0 ,即 4 x ? y ? 8 ? 0 , 4 2 ∴直线 l ? 的方程为 4 x ? y ? 8 ? 0 . ???????????10 分

? ?x ? ? ? 21C 解:圆 C 的参数方程为 ? ?y ? ? ? ?
2 2

2 ? r cos ? , 2 (? 为参数, r ? 0) ,消去参数 ? 得 2 ? r sin ? 2

? ? 2? ? 2? 2 2? 2 x ? ? y ? ? r r ? 0 ,所以圆心 ,半径为 r .????3 分 C ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ?
直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ?

?
4

) ? 1,化为普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 . ?????6 分
? 2 2 ? ? 2 2 2

? 2 2? ? 2 ,??8 分 , ? ? 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ? ? 2 2 ? 2 ? ? ∵圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3,即 d ? r ? 3 ,∴ r ? 3 ? d ? 3 ? 2 ? 1 . ?????????????10 分 21D 解:由柯西不等式得 2 2 2 ? ?( 1 ) 2 ? ( 1 ) 2 ? 12 ? ( x ? y ? z )2 ≤ ? ? , ?????????5 分 ?( 2 x) ? ( 3 y ) ? z ? ? ? 3 ? 2 ? 24 因为 x + y + z ? 2 ,所以 2 x2 ? 3 y 2 ? z 2 ≥ , 11 2x 3y z 6 4 12 ? ? ,即 x ? , y ? , z ? 时,等号成立, 当且仅当 1 1 1 11 11 11 2 3 24 所以 2 x2 ? 3 y 2 ? z 2 的最小值为 . ????????????10 分 11
圆心 C ? ?

x( x ? 1) 2 C 1 x 2 ?1 ? 1 , 22.解:设袋中白球共有 x 个, x ? N * ,则依题意知: 2 ? ,∴ 7?6 C7 7 7 2 ?1
即 x 2 ? x ? 6 ? 0 ,解之得 x ? 3 ( x ? ?2 舍去).???????????????1 分
·15·

(1)袋中的 7 枚棋子 3 白 4 黑,随机变量 X 的所有可能取值是 1,2,3,4,5. 1 1 1 A1 3 A4 A3 2 A42 A3 6 , , , P( x ? 1) ? 3 ? P ( x ? 2) ? ? P ( x ? 3) ? ? 1 3 A7 7 A72 7 A7 35
3 1 A4 A3 3 A4 A1 1 ? , P( x ? 5) ? 4 5 3 ? . 4 A7 35 A7 35 ???????????????????????5 分 (注:此段 4 分的分配是每错 1 个扣 1 分,错到 4 个即不得分.) 随机变量 X 的概率分布列为: 1 2 3 4 5 X 3 2 6 3 1 P 7 7 35 35 35

P( x ? 4) ?

所以 E( x) ? 1? ? 2 ? ? 3 ?

3 7

2 7

6 3 1 ? 4 ? ? 5 ? ? 2 .?????????????6 分 35 35 35

(2)记事件 A ? “甲取到白球” ,则事件 A 包括以下三个互斥事件: A1 ? “甲第 1 次取球时取出白球” ;

A2 ? “甲第 1 次取球时取出白球” ; A3 ? “甲第 1 次取球时取出白球”.
1 1 1 A3 A42 A3 A44 A3 3 6 1 ? P ( A ) ? ? P ( A ) ? ? ,??????9 分 , , 2 3 1 3 5 A7 7 A7 35 A7 35 (注:此段 3 分的分配是每错 1 个扣 1 分,错到 3 个即不得分.) 所以,甲取到白球的概率为 3 6 1 22 P( A) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? ? ? ? . 7 35 35 35 ????????????10 分

依题意知: P ( A1 ) ?

23.解: (1)∵ f ( x) ? 1 ,所以 f ( ) ? f ( ) ? ??? ? f ( ) ? 1 ,

0 n

1 n

n n

?????????1 分

0 0 1 1 2 2 n n x (1 ? x)n ? Cn x (1 ? x)n?1 ? Cn x (1 ? x)n?2 ? ? ? Cn x (1 ? x)0 ? [(1 ? x) ? x]n ? 1. ∴ g ( x) ? Cn

∵ 00 无意义,∴ g ( x) ? 1,且 x ? 0 , x ? 1 , x ? R . (注:不写 x 的取值范围不扣分.)
r ?r? (2)∵ rCn

??????????4 分

n! n! (n ? 1)! r ?1 ? ? n? ? nCn ?1 , r !(n ? r )! (r ? 1)!n! (r ? 1)![(n ? 1) ? ( r ? 1)]!

其中 r ? 1, 2,?, n .
r r ?1 r ? 1, 2,?, n ). ? nCn ∴ rCn ?1 (

??????????6 分

又∵ f ( x) ? x ,
·16·

0 1 2 n ∴ g ( x) ? Cn ? 0 ? x0 (1 ? x)n ? Cn ? ? x1 (1 ? x)n?1 ? Cn ? ? x2 (1 ? x)n?2 ? ? ? Cn ? ? xn (1 ? x)0

1 n

2 n

n n

1 1 1 2 2 r r n n ? [Cn x (1 ? x)n?1 ? 2Cn x (1 ? x)n?2 ? ? ? rCn x (1 ? x)n?r ? ? ? nCn x (1 ? x)0 ] . n 1 0 1 n ?1 1 2 n ?2 r ?1 r n ?r n ?1 n 0 ? ? n[Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ?1 x (1 ? x) ?1 x (1 ? x) ?1 x (1 ? x) ?1 x (1 ? x) ] n
??????????????8 分
0 0 n ?1 1 1 n ?2 r ?1 r ?1 n ?1 n ?1 ? x[Cn ? Cn ? ? ? Cn (1 ? x)( n?1) ?( r ?1) ? ? ? Cn (1 ? x)0 ] ?1 x (1 ? x) ?1 x (1 ? x) ?1 x ?1 x

? x[(1 ? x) ? x]n?1 ? x .
即 g ( x) ? x. 且 x ? 0 , x ?1, x? R .

??????????????????????10 分 (注:不写 x 的取值范围不扣分.)

·17·


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