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[原创]高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测1


考点-1
集合与简易逻辑 YT CUO TI TAN JIU TI KAI FANG TI 集合的概念与性质 集合与不等式 集合的应用 简易逻辑 充要条件 集合的运算 逻辑在集合中的运用 集合的工具性 真假命题的判断 充要条件的应用 经典易错题会诊 命题角度 1 集合的概念与性质 2 1. (典型例题 )设全集 U=R,集合 M= {x|x> 1} , P={ x|x

> 1 } ,则下列关系中正确的是 ( ) A.M=P B.P ? M C.M ? P D.CU M ? P=? [考场错解] D [专家把脉] 忽视集合 P 中,x<-1 部分. 2 [对症下药] C ∵x >1 ∴x>1 或 x<-1.故 M ? P. 2.(典型例题)设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a+b|a ? P,b ? Q} ,若 P{0, 2,5} ,Q={1,2,6} ,则 P+Q 中元素的个数是( ) A.9 B.8 C.7 D.6 [考场错解] A P 中元素与 Q 中元素之和共有 9 个. [专家把脉] 忽视元素的互异性,即和相等的只能算一个. [对症下药] B P 中元素分别与 Q 中元素相加和分别为 1,2,3,4,6,7,8,11 共 8 个.
?= 3. (典型例题)设 f(n)=2n+1(n ? N), P= {l, 2, 3, 4, 5} , Q={3, 4, 5, 6, 7},记 P {n ? N|f(n)
? ={n ? N|f(n) ? ,Q ? P} ? ) ? (Q ? ? CN P ? ? CN Q ? )等于 ( 则( P

)

A. {0,3} C. {3,4,5} [考场错解] D

B. {1,7} D. {1,2,6,7} P ? CNQ={6,7} .Q ? CNP={1,2} .故选 D.

? 的意义. [专家把脉] 未理解集合 P

[对症下药]

? ={3,5,7} ? ={1}. P ? ={7} ? ={1,3,5} ? ? CN Q ? ? CN Q B ∵P .Q .∴ P .故

选 B. 4.(典型例题)设 A、B 为两个集合,下列四个命题: ①A B ? 对任意 x ? A,有 x ? B;②A B ? A ? B=?;③A B ? A B;④A B ? 存在 x ? A,

使

得 x ? B.其中真命题的序号是_____. [考场错解] ∵A B,即 A 不是 B 的子集,对于 x ? A,有 x ? B;A ? B=?,故①②④正确. [专家把脉] 对集合的概念理解不清.∵A B,即 A 不是 B 的子集,但是 A,B 可以有公共 部分,即存在 x ? A,使得 x ? B.不是对任意 x ? A,有 x ? B,故④正确. “A B”是“任意 x ? A,有 x ? B”的必要非充分条件.②同①.

-1-

[对症下药] 画出集合 A,B 的文氏图或举例 A={1,2} ,B={2,3,4} ,故①、②均不成 立,③A{1,2,3} ,B={1,2},∴A B 但 B ? A,故也错.只有④正确,符合集合定义.故填④ 5. (典型例题Ⅰ)设 A、 B、 I 均为非空集合, 且满足 A ? B ? I, 则下列各式中错误的是 ( ) A. (CIA) ? B=I B.(CIA) ? (CIB)=I C.A ? (CIB)=? D.(CIA) ? (CIB)= CIB [考场错解] 因为集合 A 与 B 的补集的交集为 A,B 的交集的补集.故选 D. [专家把脉] 对集合 A,B,I 满足 A ? B ? I 的条件,即集合之间包含关系理解不清. [对症下药] 如图是符合题意的韦恩图. 从图中可观察 A、C、D 均正确,只有 B 不成立.或运用特例法,如 A={1,2,3} ,B={1, 2,3.4} ,I={1,2,3,4,5} .逐个检验只有 B 错误. 专家会诊 1.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用 描述法给出的集合{x|x ? P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 P;要重 视发挥图示法的作用,充分运用数形结合 (数轴,坐标系,文氏图)或特例法解集合与集合的 包含关系以及集合的运算问题,直观地解决问题. 2.注意空集 ? 的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性, 如 A ? B,则有 A=? 或 A ? ? 两种可能,此时应分类讨论. 考场思维训练 1 全集 U=R,集合 M={1,2,3,4},集合 N= ? x | x ?
? ? ? ? ,则 M ? (CUN)等于 2 ?1 ? 1

(

)

A.{4} C.{2,3,4}

B.{3,4} D. {1,2,3,4}
? ? ? ?, 得N ? x | x ? 2 ? 1, CUN= x | x ? 2 ? 1 ,? M ? (CU N ) ? ?3,4? 2 ? 1? 1

答案:B 解析:由 N= ? x | x ?

?

?

?

?

2 设集合 M={x|x=3m+1, m∈Z}, N=y|y{=3n+2,n∈Z},若 x0∈M,y0∈N, 则 x0y0 与集合 M,N 的关系是 ( ) A.x0y0∈M B.x0y0 ? MMM C.x0y0∈N D.x0y0 ? N 答 案 : C 解 析 : ∵ xo
? M ? xo ? 3m ? 1, yo ? N ,? yo ? 3n ? 2,? x0 yo ? (3m ? 1)(3n ? 2) ? 9mn ? 6m ? 3n ? 2 ? 3(3mn ? 2m ? n) ? 2 ? N.故选C.

3 设 M={x|x4a,a∈R},N={y|y=3 ,x∈R},则 A.M∩N=? B.M=N C. M ? N D. M ? N 答案:B

x

(

)

解析:M= x | x ? 4a , a ? R ? M ? ?x | x ? 0? ? ?y | y ? 0? ? N .

?

?

选B

4 已知集合 A={0,2,3},B={x|x=ab,a、b∈A 且 a≠b},则 B 的子集的个数是 A.4 B.8 C.16 D.15 2 答案:解析: ? B ? ?0,6?, 它的子集的个数为 2 =4。
5 2

(

)

5 设集合 M={(x,y)|x=(y+3)·|y-1|+(y+3),- ≤y≤3} ,若(a,b)∈M,且对 M 中的

-2-

其他元素(c,d),总有 c≥a,则 a=_____. 答 案 : 解 析 : 依 题 可 知 , 本 题 等 价 于 求 函 数 不 胜 数 x=f(y)=(y+3).|y-1|+(y+3) 在
? 5 ? y ? 3时的最小值 . 2 5 2 1 2 25 5 9 , 所以y ? ? 时, xm in ? . 4 2 4

(1) 当 ? ? y ? 1时, x ? ( y ? 3)(1 ? y) ? ( y ? 3) ? ? y2 ? y ? 6 ? ?( y ? )2 ? 1 ≤
2

y



3
3 2



, )2

x=(y+3)(y-1)+(y+3)=y +3y=(y+

9 9 5 9 9 , 所以当y ? 1时, xm in ? 4.而4 ? ,因此当y ? ? 时, x有最小值 ,即a ? . 4 4 2 4 4

命题角度 2 集合与不等式 1.(典型例题)集合 A= ? ?x |
? ? x ?1 ? 0 ? ,B={x|x-b|<a=,若“a=1”是“A∩B≠?”的充分 x ?1 ?

条件,则 b 的取值范围是 ( ) A.-2≤b<2 B.-2<b≤2 C.-3<b<-1 D.-2<b<2 [考场错解] A 当 a=l 时,A={x|-1<x<1=且 B={x|b-1<x<b+1=.A∩B≠?.b-1<1 且 b+1≥-1.故-2≤b<2.∴只有 A 符合. [专家把脉] A∩B≠? 时,在点-1 和 1 处是空心点,故不含等于. [对症下药] D 当 a=1 时,A={x|-1<x<1=.B={x|b-1<x<b+1=.此时 A∩B≠? 的充 要条件是 b-1<1 且 b+1>-1.即-2<b<2.故只有 D 符合. 2.(典型例题)(1)设集合 A={x|4x-1≥9,x∈R},B={x| [考场错解] [专家把脉] [对症下药] {x|x≤-3 或 x≥ }. ∵
x ≥0∴x(x+3)≥0.而此时 x+3≠0.故不含 x=-3. x?3 x ≥0,x∈R},则 A∩B=_____. x?3

5 2

A={x|x≤-3 或 x≥ }.B={x|x-3 或 x≥0}.∴A∩B=≤-3 或 x≥ }.
2x ? a x2 ? 2

5 2

5 2

3.(典型例题)已知 f(x)=

(x∈R)在区间[-1,1]上为增函数.

(1)求实数 a 的值所组成的集合 A; (2)设关于 x 的方程 f(x)=
1 2 的两根为 x1,x2,试问:是否存在实数 m,使得不等式 m +tm+1 x

≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理 由. [考场错解] (1)因为 f(x)=
2

2x ? a x ?2
2

(x∈R),所以 f(x)=

? 2 x 2 ? 2ax ? 4 ( x 2 ? 2)2

,依题意 f(x)≥0 在

[-1,1]上恒成立,即 2x -2ax-4≤0 在[-1,1]上恒成立. 当 x=0 时,a∈R;当 0<x≤1 时,a≥xy=x2 2 恒成立,又 y=x- 在(0,1)上单调递增,所以 x x

2 2 的最大值为-1,得 a≥-1,当-1≤x<0 时 x- 恒成立,由上知 a≤1.综上:a∈R(注意 x x

-3-

应对所求出的 a 的范围求交集). (2)方程 f(x)=
2

1 2 变形为 x -ax-2=0,|x1-x2|= a 2 ? 8 ,又-1≤a≤1,所以|x1-x2|= a 2 ? 8 的 x
2

取大值为 3,m +tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立等价于 m +tm+1≥3 在 t∈[-1, 1]恒成立,当 m=0 时,显然不成立,当 m>0 时,t≥ 2;当 m<0 时,t≤
2 ? m2 2 ? m2 恒成立,所以-1≥ ,解得 m≥ m m

2 ? m2 2 ? m2 恒成立,所以 1≤ ,解得 m≤-2. m m
2

综上:故不存在实数 m,使得不等式 m +tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立. [专家把脉] (1)讨论 x 求参数的范围,最后应求参数的交集而不是并集.因为 x∈[-1, 1]时,f(x)≥0 恒成立.(2)注意对求出的 m 的值范围求并集而不是交集. [对症下药] (1)因为 f(x)=
2

2x ? a x2 ? 2

(x∈R),所以 f′(x)=

? 2 x 2 ? 2ax ? 4 ( x 2 ? 2)2

,依题意 f′(x)

≥0 在[-1,1]上恒成立,即 2x -2ax-4≤0 在[-1,1]上恒成立. 当 x=0 时,a∈R;当 0<x≤1 时,a≥xy=x2 2 恒成立,又 y=x- 在(0,1)上单调递增,所以 x x

2 2 的最大值为-1,得 a≥-1;当-1≤x<0 时 a≤x- 恒成立,由上知 a≤1.综上≤a≤1(注 x x

意应对所求出的 a 的范围求交集). (2) 方 法 1 : 方程 f(x)=
1 2 变形 为 x -ax-2=0 , |x1-x2|= a 2 ? 8 , 又 -1 ≤ a ≤ 1 ,所以 x
2 2

|x1-x2|= a 2 ? 8 的最大值为 3, m +tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1, 1]恒成立等价于 m +tm+1 ≥3 在 t∈[- 1,1]恒成立,当 m=0 时,显然不成立,当 m>0 时,t≥ ≥
2 ? m2 恒成立,所以-1 m

2 ? m2 2 ? m2 2 ? m2 ,解得 m≥2;当 m<0 时,t≤ 恒成立,所以 1< ,解得 m≤-2. m m m
2

综上:存在实数 m,使得不等式 m +tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立,m 的 取值范围是{m|m≥2 或 m≤-}2(注意对求出的 m 的取值范围求并集). 方法 2: 方程 f(x)=
2

1 2 变形为 x -ax-2=0, |x1-x2|= a 2 ? 8 ,又-1≤a≤1, 所以|x1-x2|= a 2 ? 8 x
2

的最大值为 3, m +tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1, 1]恒成立等价于 m +tm+1≥3 在 t∈[-1, 2 2 2 1]恒成立, 令 g(t)=tm+m -2, 有 g(-1)=m +m-2≥0, g(1)=m -m-2≥0, 解得{m|m≥2 或 m≤-2}. (注 意对求出的 m 的取值范围求交集). 专家会诊 讨论参数 a 的范围时,对各种情况得出的参数 a 的范围,要分清是“或”还是“且”的关 系,是“或”只能求并集,是“且”则求交集. 考场思维训练 2 1 设[x]表示不超过 x 的最大整数,则不等式[x] -5[x]+6≤0 的解集为 ( ) A.(2,3) B.[2,3] C.[2,4] D.[2,4] 2 答案:C 解析:由[x] -5[x]+6≤0,解得 2≤[x] ≤3,由[x]的定义知 2≤x<4 所选 C. 2 已知不等式 |x-m|<1 成立的充分非必要条件是
1 1 ? x ? ,则实数 m 的取值范围是 3 2

-4-

(

)
? A. ? ?? 3 , 2 ? 4 1 ? ?
1? C. ? ? ? ?, ? ? ? 2?

? B. ? ?? 2 , 3 ? 1 4 ? ? ? D. ? ? ,?? ? 4 ?3 ?
1 3 , 1 2

? ?m ? 1 ? 答案: B 解析: 因不等式|x-m|<1 等价于 m-1<x<m+1,依题意有 ? ? ?m ? 1 ? ? ?

??

1 4 ? m ? , 所以选B. 2 3

3 设 A、B 是两个集合,定义 A-B={x|x∈A,且 x ? B}.若 M={x|x+1≤2},N={x|x=sinα | α ∈等 R},则 M-N 等于 ( ) A.[-3,1] B.[-3,0] C.[0,1] D. [-3,0] 答案:B 4 已知集合 A={x|(x-2)[x-(3a+1)]<0=, B={x|
x ? 2a x ? (a 2 ? 1) ? 0 }.

(1)当 a=2 时,求 A∩B; (2)求使 B ? A 的实数 a 的取值范围. 解析: (1)当 a=2 时,A=(2,7) ,B=(4,5)∴ A ? B ? (4,5). (2)∵B=(2a,a +1),当 a< 时A ? (3a ? 1,2)要使B ? A, 必须? ?
2

1 3

?2a ? 3a ? 1 1 , 此时a ? ?1;当a ? 时, A ? ?, 2 3 ? a ? 1 ? 2 ?

使 B ? A的a不存在;当a ? 时, A ? (2,3a ? 1) 要使 B ? A, 必须? ?
1 3

?2a ? 2

, 此时1 ≤a≤3. 2 ? ?a ? 1 ? 3a ? 1

综上可知,使 B ? A 的实数 a 的取值范围为[1,3] ? | ?1 | 命题角度 3 集合的应用 1.(典型例题)ω 是正实数,设 Sω ={θ |f(x)=cos[ω (x+θ )]是奇函数},若对每个实数 a,Sω ∩(a,a+1)的元素不超过 2 个, 且有 a 使 Sω ∩(a, a+1)含 2 个元素, 则ω 的取值范围是_____. [考场错解] (π ,2π ) [专家把脉] 间端点. [对症下药] 由 Sω ∩(a,a+1)的元素不超过两个,∴周期 使 Sω ∩(a,a+1)含两个元素,∴
2? 2?

∵a 使 Sω ∩(a,a+1)含两个元素,如果

2?

?

>1 时,则超过 2 个元素,注意区

?

× <1.∴ω >π 又∵有 a

1 2

?

周期≥1.∴ω ≤2π .故ω ∈(π ,2π ).

2.(典型例题)设函数 f(x)=-

x (x∈R),区间 M=[a,b](a<b),集合 N={y|y=f(x),x 1? | x |

∈M},则使 M=N 成立的实数对(a,b)有 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数多个 [考场错解]

(

)

D ∵y=f(x)是奇函数,不妨设 x>0.f(x)=-1+

1 ,∴f(x)在(0,+∞)上为 x ?1

-5-

减函数, 即 y=f(x)在[a, b]上为减函数, ∴y=f(x)的值域为 ? , , ? ,∴N∈ ? ? ?1? | b | 1? | a | ? ?1? | b | 1? | a | ? ∵M=N,∴M ? N∴a≥ [专家把脉]
?b ?a ,且 b≤ ,故有无数组解. 1? | b | 1? | a |

? ?b

?a ?

? ?b

?a ?

错误地理解了 M=N,只是 M ? N,忽视了 M=N,包含 M ? N 和 N ? M 两层含义.
1 ( x ? 0) x ?1 ,∵y=f(x)在[a,b]上为减函数 1 ( x ? 0) x ?1

? ?? 1 ? [对症下药]∵f(x)= ? ? ?? 1 ? ? ?

∴y=f(x)的值域为

? ?b ?a ? , ? ? 1 ? | b | 1 ? | a |? ?

∵N={y|y=f(x)},∴N 表示 f(x)的值域-b
?b ? ?a ? 1? | b | ? ? a ? b ,而已知 a<b,∴满足题意的 a、b 不存在,故选 A. ∴M=N,∴ ? ?b ? ? a ? 1? | a | ?

3.(典型例题)记函数 f(x)= 2 ?

x?3 的定义域为 A,g(x)=1g[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定 x ?1

义域为 B. (1)求 A; (2)若 B ? A,求实数 a 的取值范围. [考场错解] (1)由 2x?3 ≥0,得 x<-1 或 x≥1.∴A={x|x<-1 或 x≥1} x ?1

(2)由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1) ∵B ? A ∴2a>1 或 a+1≤-1 [专家把脉] [对症下药] ∴a> 或 a≤-2 又∵a<1∴a≤-2 或 <a<1
1 2 1 2

利用集合的包含关系时,忽视了端点的讨论. (1)由 2x?3 ≥0,得 x<-1 或 x≥1. x ?1

(2)由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1) ∵B ? A,∴2a≥1 或 a+1≤-1,即 a≥ 或 a≤-2,而 a<1,∴ ≤a<1 或 a≤-2,故当 B ? A 时,实数 a 的范围是(-∞,-2)∪[ ,1]. 专家会诊 集合与不等式、集合与函数、集合与方程等,都有紧密联系 .因为集合是一种数学工具. 在运用时注意知识的融会贯通.有时要用到分类讨论,数形结合的思想. 考场思维训练 2 2 1 已知集合 A={x|(a -a)x+1=0,x∈R},B={x|ax -x+1=0,x∈R},若 A∪B=?,则 a 的值为 ( ) A.0 B.1 C.0 或 1 D.0 或 4 答案: B 解析: AUB=?, ∴A= ? 且 B=?, 由 A=? 得 a=0 或 1; 由 B=? 得 a>0 且△<0,解得 a> ,? a ? 1. 2 设集合 P={3,4,5},Q={4,5,6,7}定义 P※Q={(a,b)|a∈p,b∈Q,则 P※Q 中元
1 4 1 2 1 2 1 2

-6-

素的个数为 ( A.3 B.4 答案:D

) C.7

D.12
ax ? 5 x2 ? a

3 已知关于 x 的不等式 (1)a=4 时,求集合 M; 答 案 : (1) 当

? 0 的解集为 M.

a=4



















4x ? 5 x2 ? 4

?0





5 5 5 4( x ? )( x ? 2) ? 0,? x ? (??,?2) ? ( ,2), 故M为(??,?2) ? ( ,2). 4 4 4

(2)若 3∈M 且 5 ? M,求实数 a 的取值范围. 答案:由 3 ? M得 由 5 ? M得
5a ? 5 52 ? a
3a ? 5 3 ?a
2

? 0,? a ? 9或a ?

5 , 3

① ②
5 3

? 0,?1 ? a ? 25,

由①、②得 1 ? a ? , 或9 ? a ? 25.因此a的取值范围是 [1, ) ? (9,25). 命题角度 4 简易逻辑 1.(典型例题)对任意实数 a、b、c,给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件;②“a+5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件; ③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中真命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [考场错解] D [专家把脉] 忽视①中 c=0 的情况,③中 a,b 小于 0 的情况. [对症下药] B ①中 c=0 时,非必要条件;③中 0>a>b 时,非充分条件,②④正确. 2.(典型例题)给出下列三个命题 ①若 a≥b>-1,则
a b ? 1? a 1? b n 2

5 3

②若正整数 m 和 n 满足 m≤n,则 m(n ? m) ?
2 2

③设 P(x1 , y1) 为圆 O1 : x +y =9 上任一点,圆 O2 以 Q(a , b) 为圆心且半径为 1 .当 2 2 (a-x1) +(b-y1) =1 时,圆 O1 与圆 O2 相切 其中假命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [考场错解] A 2 2 [专家把脉] ③中(a-x1) +(b-y1) =1 时,即圆 O2 与 O1 上任一点距离为 1,并不一定相切. [对症下药] B 3.(典型例题)设原命题是“已知 a,b,c,d 是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d” ,则它 的逆否命题是( ) A.已知 a,b,c,d 是实数,若 a+c≠b+d,则 a≠b 且 c≠d B.已知 a,b,c,d 是实数,若 a+c≠b+d,则 a≠b 或 c≠d C.若 a+c≠b+d,则 a,b,c,d 不是实数,且 a≠b,c≠d D.以上全不对

-7-

[考场错解] A [专家把脉] 没有分清“且”的否定是“或” , “或”的否定是“且”. [对症下药] B 逆否命题是“已知 a,b,c,d 是实数,若 a+c≠b+d,则 a≠b 或 c≠d” . x 4.(典型例题)已知 c>0,设 P:函数 y=c 在 R 上单调递减;Q:不等式 x+|x-2c|>1 的解 集为 R,如果 P 和 Q 有且仅有一个正确,求 c 的取值范围. [考场错解] 由函数 y=c 在 R 上单调递减, 得 0<c<1;∵x+|x-2c|= ?
x

?2 x ? 2c, x ? 2c , 所以函数 ?2c, x ? 2c

y=x+|x-2c|在 R 上的最小值为 2c,因为不等式 x+|x-2c|>1 的解集为 R,所以 2c>1,得 c> . 如果 P 真,得 0<c<1,如果 Q 真,则 c> . 所以 c 的取值范围是(0,+∞). [专家把脉] 将 P 和 Q 有且仅有一个正确,错误理解成 P 正确或 Q 正确. [对症下药] 由函数 y=c 在 R 上单调递减, 得 0<c<1; ∵x+|x-2c|= ?
x

1 2

1 2

?2 x ? 2c, x ? 2c , 所以函数 ?2c, x ? 2c

y=x+|x-2c|在 R 上的最小值为 2c,因为不等式 x+|x-2c|>1 的解集为 R,所以 2c>1,得 c> . 如果 P 真 Q 假,则 0<c≤ ;如果 Q 真 P 假,则 c≥1. 所以 c 的取值范围是(0,
1 )∪[1,+∞] 2 1 2

1 2

专家会诊 1.在判断一个结论是否正确时,若正面不好判断,可以先假设它不成立,再推出矛盾, 这就是正难则反. 2.求解范围的题目,要正确使用逻辑连结词, “且”对应的是集合的交集, “或”对应的 是集合的并集. 考场思维训练 ? ? 2 1 已知条件 P:|x+1|>2,条件 q:5x-6>x ,则 p 是 q 的 ( ) A.充要条件 B.充分但不必要条件 C.必要但不充分条件 D.既非充分也非必要条件 ┒ ┒ 答案:B解析:p:x<-3 或 x>1,q:2<x<3,则 q 是 p 的充分但不必要条件,故 p 是 q 的充分但 不必要条件。 2 x 2 已知命题 p:函数 log0.5(x +2x+a)的值域为 R,命题 q:函数 y=-(5-2a) 是减函数.若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤1 B.a<2 C.1<a<2 D.a≤1 或 a≥2 2 1.答案: 解析: 命题 p 为真时, 即真数部分能够取到大于零的所有实数, 故二次函数 x +2x+a 的判别式△=4-4a≥0,从而 a≤1;命题 q 为真时,5-2a>1? a<2. 若 p 为真,q 为假时,无解;若 p 为假,q 为真时,结果为 1<a<2,故选C. 3 如果命题 P:?∈{ ? },命题 Q:? ? { ?},那么下列结论不正确的是 ( ) A.“P 或 Q”为真 B. “P 且 Q”为假 C. “非 P”为假 D. “非 Q”为假 答案:B 2 4 已知在 x 的不等式 0<x -4<6x-13a 的解集中, 有且只有两个整数, 求实数 a 的取值范围.

-8-



























? 9 12 ? x ? 2或x ? ?2 , 令f ( x) ? x 2 ? 6 x ? 13a, 画出f ( x)的函数图象 ,由已知可得f (4) ? 0 f (5) ? 0, 解得 ? a ? . ? 2 13 13 ? ? x ? 6 x ? 4 ? 13a ? 0

5 已知命题 p:方程 a x +ax-2=0 在[-1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x 满足不等式 2 x +2ax+2a≤0,若命题“p 或 q 是假命题,求 a 的取值范围. 答 案 : 解 析 : 由 a x +ax-2=0, 得 ( ax+2 ) (ax-1)=0, 显 然 a ≠ 0 x ? [?1,1], 故 |
2 2

2 2

∴ x= ? 或x ?

2 a

1 ∵ a

2 1 2 2 |? 1或 | |? 1,? | a |? 1 “只有一个实数满足 x +2ax+2a≤0”.即抛物线 y=x +2ax+2a 与 a a

x 轴只有一个交点, 2 ∴△=4a -8a=0, ∴a=0 或 2, ∴命题“p 或 q 为真命题”时“|a|≥1 或 a=0” ∵命题“p 或 q”为假命题∴a 的取值范围为 ?a | ?1 ? a ? 0或0 ? a ? 1? 命题角度 5 充要条件
1 2

1.(典型例题)“m= ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直” 的 ( ) A.充分必要条件 C.必要而不充分条件 [考场错解] A [专家把脉] 分必要条件. [对症下药] B 当 m= 时两直线垂直.两直线垂直时 m= 或 m=-2,故选 B.
?| lg | x ? 1 | | ,x ? 1 2 则关于 x 的方程 f (x)+bf(x)+c=0 ., 0 , x ? 1 ?

B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件
2

当两直线垂直时,A1A2+B1B2=0,m -4+3m(m+2)=0,即 m= 或 m=-2;故不是充

1 2

1 2

1 2

2. (典型例题)设定义域为 R 的函数 f(x)= ?

有 7 个不同实数解的充要条件是 ( ) A.b<0 且 c>0 B.b>0 且 c<0 C.b<0 且 c=0 D.b≥0 且 c=0 2 [考场错解] B △=b -4ac.当 c<0 时,△>0.故 f(x)有两个不同实根,∴x 有 7 个不同 根. [专家把脉] ∵f(x)的根为正时,x 有 4 个不同实根.应考虑 f(x)的根的正负. [对症下药] C 当 x=1 时 f(x)=0,∴c=0. 2 2 当 x ≠ 1 时 ,f(x)=|1g|x-1|| , ∴ f (x)+bf(x)+c=1g |x-1|+b|1g|x-1||=0 . 即 , |1g|x-1||(1g|x-1|+b)=0, ∴1g|x-1|=0 或 1g|x-1|=-b,∴x=2 或 x=0 或 1g|x-1|=-b①∴b<0.①式有 4 个不同实根 故 c=0 且 b<0,恰有 7 个不同实根 3.(典型例题)若非空集合 M ? N,则 a∈M 或 a∈N 是 a∈(M∩N)的 ( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [考场错解] a∈(M∩N)的意思是 a∈M 且 a∈N,所以 a∈M 或 a∈N 不能推出 a∈(M∩N), 同样 a∈(M∩N)也不能推出 a∈M 或 a∈N,所以 a∈M 或 a∈N 是 a∈(M∩N)的既不充分也不必 要条件,所以选 D.

-9-

[专家把脉] “或”与“且”理解错误,逻辑中的“或”与生活中的“或”有区别,a∈ M 或 a∈N 包括三种:a∈M 但 a ? N;a∈N 但 a ? M;a∈M 且 a∈N.所以 a∈(M∩N)可以推得 a ∈M 或 a∈N. [对症下药] a∈(M∩N)的意思是 a∈M 且 a∈N,而 a∈M 或 a∈N 包括三种:a∈M 但 a ? N; a∈N 但 a ? M;a∈M 且 a∈N,所以 a∈M 或 a∈N 不能推出 a∈(M∩N);a∈(M∩N)可以推得 a ∈M 或 a∈N.所以选 B. 2 2 4.(典型例题)设命题 p:关于 x 的不等式 a1x +b1x+c1>0 与 a2x +b2x+c2>0 的解集相同;命 题 q:
a1 b1 c1 ,则命题 p 是命题 g 的 ? ? a2 b2 c2

(

)

A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [考场错解] 因为
a1 b1 c1 2 2 ,所以不等式 a1x +b1x+c1>0 与 a2x +b2x+c2>0 是等价的不等 ? ? a2 b2 c2
2 2

式,解集相同,所以 q 能推出 p 而不等式 a1x +b1x+c1>0 与 a2x + b2x+c2>0 的解集相同不能 得出
a1 b1 c1 ,所以选 B. ? ? a2 b2 c2

[专家把脉]

因为
2

a1 b1 c1 2 2 若 a1 与 a2 的符号不同,这时 a1x +b1x+c1>0 与 a2x +b2x+c2>0 ? ? a2 b2 c2
2

的解集不相同,如-x +3x-2>0 与 x -3x+2>0,尽管 以 q 不能推出 P. [对症下药] 因为

a1 b1 c1 =-1,但它们的解集不相同,所 ? ? a2 b2 c2

a1 b1 c1 2 2 , 若 a1 与 a2 的符号不同, 这时 alx +b1x+c1>0 与 a2x +b2x+c2>0 ? ? a2 b2 c2
2 2

的解集不相同,所以 q 不能推出 p;不等式 x +x+3>0 与 x +1> 0 的解集相同,但

a1 b1 c1 , ? ? a2 b2 c2

所以 p 不能推出 q,所以选 D. 专家会诊 (1)要理解“充分条件” “必要条件”的概念:当“若 p 则 q”形式的命题为真时,就记作 p ? q 称 p 是 q 的充分条件, 同时称 q 是 p 的必要条件,因此判断充分条件或必要条件就归结为 判断命题的真假. (2)要理解“充要条件”的概念,对于符号“ ? ”要熟悉它的各种同义词语: “等价于” , “当且仅当” , “必须并且只需” , “??,反之也真”等. (3)数学概念的定义具有相称性,即数学概念的定义都可以看成是充要条件,既是概念的 判断依据,又是概念所具有的性质. (4)从集合观点看,若 A ? B,则 A 是 B 的充分条件,B 是 A 的必要条件;若 A=B,则 A、B 互为充要条依. (5)证明命题条件的充要性时,既要证明原命题成立 (即条件的充分性),又要证明它的逆 命题成立(即条件的必要性). 考场思维训练 1 设 ab、是非零向量,则使 a·b=|a||b|成立的一个必要非充分条件是 ( ) A.a=b B.a⊥b C.a∥b D.a=λ b(>0)

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答案:C解析:由 a? b=|a| |b|可得 a∥b;但 a∥b, a? b=±|a| |b|, 故使 a? b=|a| |b| 成 立的一个必要充分条件是:a∥b.故选C. 2 若条件甲:平面α 内任一直线平行于平面β ,条件乙:平面α ∥平面β ,则条件甲是条 件乙的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案:C 解析:甲乙可以互推。选C. 3.已知函数 f(x)=ax+b(0≤x<1),则 a+2b>0 是 f(x)>0 在[0,1]上恒成立的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 答案:B 解析:∵f(x)>0 在[0,1]上恒成立? a+2b>0,但 a+2b>0 推不出 f(x)>0 在[0, 1]上恒成立。 4 命题 A:|x-1|<3,命题 B:(x+2)(x+a)<0,若 A 是 B 的充分不必要条件,则 a 的取值范 围是( ) A.(4,+∞) B.[4,+∞] C.(-∞,-4) D.(-∞,-4) 答案:C 探究开放题预测 预测角度 1 集合的运算 1.设 I 是全集,非空集合 P、Q 满足 P ? Q ? I,若含 P、Q 的一个运算表达式,使运算结 果为空集,则这个运算表达式可以是_______;如果推广到三个,即 P ? Q ? R ? I,使运算结果 为空集,则这个运算表达式可以是_______.(只要求写出一个表达式). [解题思路] 画出集合 P、Q、I 的文氏图就可以看出三个集合之间的关系,从它们的关系 中构造集合表达式,使之运算结果为空集. [解答] 画出集合 P、Q、I 的文氏图,可得满足 P ? Q ? I,含 P、Q 的一个运算表达式,使 运算结果为空集的表达式可以是 P∩(CIQ);同理满足 P ? Q ? R ? I,使运算结果为空集的表达 式可以是(P∩Q)∩(CIR),或(P∩Q) ∩(CIR).答案不唯一. 2 2 2.设 A={(x,y)|y -x-1=0},B={(x,y)|4x +2x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存 在 k、b∈N,使得(A∪B)∩C=?,证明此结论. [解题思路] 由集合 A 与集合 B 中的方程联立构成方程组, 用判别式对根的情况进行限制, 可得到 b、k 的范围,又因 b、k∈N,进而可得值. [解答] ∵(A∪B) ∩C=?, ∴A∩C=? 且 B∩C=?
?y2 ? x ?1 ∵? ? ? ? y ? kx ? b
2 2

∴k x +(2bk-1)x+b -1=0 ∵A∩C=? 2 2 2 ∴△1=(2bk-1) -4k (b -1)<0 2 2 2 ∴4k -4bk+1<0,此不等式有解,其充要条件是 16b -16>0,即 b >1

2



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?4 x 2 ? 2 x ? 2 y ? 5 ? 0 ∴? ? ? ? y ? kx ? b
2

∴4x +(2-2k)x+(5+2b)=0 ∴B∩C=?, 2 ∴△2(1-k) -4(5-2b)<0 2 ∴k -2k+8b-19<0,从而 8b<20,即 b<2.5 ②
?4k 2 ? 8k ? 1 ? 0, 由①②及 b∈N,得 b=2 代入由△1<0 和△2<0 组成的不等式组,得 ? ?
2 ? ?k ? 2 k ? 3 ? 0

∴k=1,故存在自然数 k=1,b=2,使得(A∪B) ∩C=?. 预测角度 2 逻辑在集合中的运用 1.已知不等式: ①|x+3|>|2x|;②
x?2 x ? 3x ? 2
2

? 1 ;③2x +mx-1<0.

2

(1) 若同时满足①、②的 x 也满足③,求 m 的取值范围; (2) 若满足③的 x 至少满足①、②中的一个,求 m 的取值范围. [解题思路] (1)若同时满足①、②的 x 也满足③,即求出不等式①、②的交集是③的解 集的子集;第(2)问,若满足③的 x 至少满足①、②中的一个,即满足③的 x 满足①、② 的并集. [解答] (1)由|x+3|>| 2x|得-1<x<3,由
x?2 x 2 ? 3x ? 2 ? 1 得 0≤x<1 或 2<x≤4,同时满

足①、②的集合 A=[0,1] ∪(2,3).满足③的集合为 B,因为 B ? A,所以 f(3)≤0,且 f(0)<0,故 m≤13 . 7
2

(2)方法 1:∵B ? (-1,3) ∪[0,1] ∪(2,4),∴B ? (-1,4),即方程 2x +mx-1<0 的两 根在(-1,4)内,由根的分布可得31 ≤m<1. 4

方法 2:若满足③的 x 至少满足①、②中的一个,即求同时不满足①、②的集合的补集. ①的解集{x|x≤-1 或 x≥3},②的解集{x|x<0 或 1≤x≤2 或 x>4=. 2 ①∩②={x|x≤-1 或 x>4},补集为(-1,4),即方程 2x +mx-1<0 的两根在(-1,4)内,由 根的分布可得31 ≤m<1. 4
2 2 2 2

2.集合 A={x|x -ax+a -19=0},B={x|log2(x -5x+8)=1},C={x|x +2x-8=0},求当 a 取什么 实数时,A∩B ? 和 A∩C=? 同时成立. [解题思路] 求出集合 B,C.由 A∩B ?,即 A∩B≠?,从而求 a.,由 A∩C=?,来检验. 2 2 2 [解答] log2(x -5x+8)=1,由此得 x -5x+8=2,∴B={2,3}.由 x +2x-8=0,∴C={2,-4}, 2 2 又 A∩C=?,∴2 和-4 都不是关于 x 的方程 x -ax+a -19=0 的解,而 A∩B ?,即 A∩B≠?, 2 2 ∴3 是关于 x 的方程 x -ax+a -19=0 的解,∴可得 a=5 或 a=-2. 当 a=5 时,得 A={2,3},A∩二{2},这与 A∩C=? 不符合,所以 a=5(舍去);当 a=-2 时, 可以求得 A={3,-5},符合 A∩C=?,A∩B ?,∴a=-2. 预测角度 3 集合的工具性 1.已知{an}是等差数列,d 为公差且不为零,a1 和 d 均为实数,它的前 n 项和为 Sn,设

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集合 A={(an,

Sn * 1 2 2 )|n∈N },B={(x,y)| x -y =1,x,y∈R},试问下列结论是否正确,如果正 n 4

确,请给予证明;如果不正确,请举例说明. (1)若以集合 A 中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上; (2)A∩B 中至多有一个元素; (3)当 a1≠0 时,一定有 A∩B≠?. [解题思路] (1)要证明这些点都在同一条直线上;即证任意两点的斜率相等;(2)A∩B 中至多有一个元素;集合 A,B 所表示的曲线至多有一个交点;(3)当 a1≠0 时,集合 A,B 所 表示的曲线一定有交点. [解答](1)an=a1+(n-1)d, ∵ k An A n?1 ? k An A n?1 = , ∴这些点都在同一条直线上. (2)方法 1(几何法):集合 A 表示的点在直线 y= x+ a1 上,集合 B 表示的点在双曲线
1 2 2 1 1 1 2 2 x -y =1 上,由数形结合可知,当 a1≠O 时,直线 y= x+ a1 与双曲线 x -y =1 只有一个交 4 2 2 4 1 2 1 2 1 2
Sn n ?1 =a1+d,An=[a1+(n-1)d,a1+ d] n 2

点,当 a1=0 时,直线 y= x+ a1 与双曲线 x -y =1 无交点. 故 A∩B 中至多有一个元素; 方法 2(代数法): 集合 A 表示的点在直线 y= x+ a1 上, 集合 B 表示的点在双曲线 x -y =1
2 上,将 y= x+ a1 代入方程 x -y =1,化成关于 x 的方程 2a1x+ a1 +4=0,当 a1=0 时,x 无解,

1 2

1 2

1 4

2

2

1 2

1 2

1 4

2

2

1 2

1 2

1 4

2

2

当 a1≠0 时,x 有惟一解.故 A∩B 中至多有一个元素; (3)由(2)可知,当 a1≠0 时,直线 y= x+ a1 与双曲线 x -y =1 只有一个交点,A∩B 中 有一个元素.故一定有 A∩B≠?. 2.设 M 是满足下列两个条件的函数 f(x)的集合:①f(x)的定义域是[-1,1];②若 x1,x2 ∈[-1,1],则|f(x1)-f(x2)|≤4|x1-x2|.试问: 2 (1)定义在[-1,1]上的函数 g(x)=x +3x+2005 是否属于集合 M?并说明理由; (2)定义在[-1,1]上的函数 h(x)=4sinx+2006 是否属于集合 M?并说明理由. [解题思路] 判断函数 g(x)与 h(x)的集合是否属于集合 M,即证明函数 g(x)与 h(x)是否 满足下列两个条件① f(x)的定义域是 [-1, 1];②若 x1, x2 ∈[-1 ,1],则 |f(x1)-f(x2)|≤ 4|x1-x2|. [解答]
2 (1)|g(x1)-g(x2)|=| x12 +3x1- x 2 -3x2|=|x1-x2||x1+x2+3|,∵-2≤x1+x2≤2,即 1≤

1 2

1 2

1 4

2

2

x1+x2 +3≤5,∴|x1+x2+3 |≤5,|g(x1)-g(x2)|≤5|x1-x2|,不符合条件②.故不属于 M; (2)|h(x1)-h(x2)|=|4sinx1-4sinx2|=4|sinx1-sinx2|≤4|x1-x2|,故属 于 M; 3.向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度,有如下结果:赞成 A 的 人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人, 其余的不赞成;另外,对 A、B 都不赞成的学生数比对 A、B 都赞成的学

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生数的三分之一多 1 人.问对 A、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人? [解题思路] 画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系. [解答] 赞成 A 的人数为 50× =30,赞成 B 的人数为 30+3=33,如上图,记 50 名学生组
3 5

成的集合为 U,赞成事件 A 的学生全体为集合 A;赞成事件 B 的学生全体为集合 B. 设对事件 A、B 都赞成的学生人数为 x,则对 A、B 都不赞成的学生人数为 不赞成 B 的人数为 30-x,赞成 B 而不赞成 A 的人数为 33-x. 依题意(30-x)+(33-x)+x+(
x +1)=50,解得 x=21. 3 x +1,赞成 A 而 3

所以对 A、B 都赞成的同学有 21 人,都不赞成的有 8 人. 预测角度 4 真假命题的判断 ? 1.已知 p、q 为命题,命题“ (p 或 q)”为假命题,则 ( ) A.p 真且 q 真 B.p 假且 q 假 C.p,q 中至少有一真 D.p,q 中至少有一假 ? ? [解题思路] 利用 p 与 p 一真一假,得 p 或 q 为真命题,或将“ (p 或 q)”为假命题 ? ? 转化为“ p 且 q”为假命题. ? [解答] 由已知“ (p 或 q)”为假命题,得 p 或 q 为真命题,根据真值表,得 p、q 中至 ? ? ? ? ? 少有一真;或由“ (p 或 q)”为假命题,得“ p 且 q”为假命题,所以 p、 q 中至少有 一假,得 p、q 中至少有一真.所以本题答案是 C. 2.已知 p:|12 2 x ?1 ≤2,q:x -2x+1-m ≤0(m>0),若﹂p 是﹂q 的必要而不充分条件,求 3

实数 m 的取值范围. [解题思路] 利用等价命题先进行命题的等价转化,搞清晰命题中条件与结论的关系, 再去解不等式,找解集间的包含关系,进而使问题解决. [解答] 由题意知: 命题:若﹂P 是﹂q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为:p 是 q 的充分不必要 条件. p:|12

x ?1 x ?1 x ?1 |≤2 ? -2≤ -1≤2 ? -1≤ ≤3 ? -2≤x≤10 3 3 3
2

q:x -2x+1-m ≤0 ? [x-(1-m)][x-(1+m)]≤0 * ∵p 是 q 的充分不必要条件, ∴不等式|1x ?1 2 2 |≤2 的解集是 x -2x+1-m ≤0(m>0)解集的子集. 3

又∵m>0 ∴不等式*的解集为 1-m≤x≤1+m ∴?
?1 ? m ? ?2 ?m ? 1 ∴m≥9, ?? ?1 ? m ? 10 ?m ? 9

∴实数 m 的取值范围是[9,+∞]. 预测角度 5 充要条件的应用 1.设符合命题 p 的所有元素组成集合 A,符合命题 q 的所有元素组成集合 B,已知 q 的充分不必要条件是 p,则 集合 A、B 的关系是 ( ) A.A ? B B.A B

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C.B A D.A=B [解题思路] 由 q 的充分不必要条件是 p,可得 p 可推 q,但 q 不能推 p,再利用充要 条件与集合之间的关系可求解. [解答] 由 q 的充分不必要条件是 p,可得 P 可推 q,但 q 不能推 p,所以 A 中的元素都 是 B 中的元素,B 中至少有一个元素不是 A 中的元素,所以 A B,所以选 B. 2.0<a≤ 是函数 f(x)=ax +2(a-1)+3 在(-∞,4)上为减函数的 A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解题思路] 利用二次函数的对称轴与单调区间的关系求解. [解答] x= 若 0<a≤ ,则函数 f(x)=ax +2(a-1)+3 为开口向上的二次函数,且对称轴为
1 5
2

1 5

2

(

)

2 2 ? 2a 1 = -1∈[4,+∞],由二次函数的图像知函数 f(x)=ax +2(a-1)+3 在(-∞,4)上为减 2a a

函数,所以 0<a≤ 是函数 f(x)=ax +2(a-1)+3 在(-∞,4)上为减函数的充分条件;反过来若 a=0,函数 f(x)=ax +2(a-1)+3 为 f(x)=-2x+3,它在 R 上为减函数,所以在(-∞,4)上为减函 数,即 a=0 符合函数 f(x)=ax +2(a-1)+3 在 (-∞,4)上为减函数,但 0 (0, ),所以 0<a≤
2 1 不是函数 f(x)=ax +2(a-1)+3 在(-∞,4)上为减函数的必要条件.所以选 A. 5 2 2

1 5

2

1 5

考点高分解题综合训练 1 设全集为 I,P∩T=(CIP)∪s,则 ( ) A.T∪S=I B.P=T=S C.T=I D.P∪(CIS)=I 答案:A 解析:利用韦恩图可判断。 2 2 已知 A={x|2x+1|>3},B={x|x +x-6≤0},则 A∩B= ( ) A.(-3,-2)∪(1,+∞) B.(-3,-2)∪[1,2] C.[-3,-2]∪(1,2) D.(-∞,-3)∪(1,2) 2 答案: C 解析: 由|2x+1|>3,得 x>1 或 x<-2,由 x +x-6≤0 得-3≤x≤2, ∴ A ? B ? [?3,?2) ? (1,2], 故选C. 3 已知命题“非空集合 M 中至少有一个元素是集合 N 中的元素”是假命题,下列命题: (1)M 中的元素都不是集合 N 中的元素 (2)M 中的元素都是集合 N 中的元素 (3)M 中的元素至多有一个元素是集合 N 中的元素 (4)N 中的元素都不是集合 M 中的元素 其中正确的命题个数为 ( ) A.1 个 B.2 个 C 3个 D.4 个 答案:B 解析: “非空集合M中至少有一个元素是集合N中的元素”是假命题,则它的否命 题:M中的元素都不是集合N中的元素是真命题.故只有(1)正确。选A。 4 已知 a>b>0, 全集 U=R, 集合 M={x|b<x<
a?b }, N={x| ab <x<a=, P={x|b<x≤ ab }, 2

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则 P,M,N 满足的关系是 ( ) A.P=M∪N. B.P=M∪N. C.P=M∩(CUN). D.P=(CUM)∩N. 答案:C 解析:取 a=4,b=2,画出数轴可判断选 C. 2 2 5 命题 P: 如果 x +2x+1-a <0, 那么-1+a<x<-1; 命题 q: a<1, 那么 q 是 p 的 ( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 解析:由命题 p 真,可得 a<0, 而由 a<0? q:a<1,所以 p 是 q 充分不必要条件,q 是 p 的必要不充分条件,故选 A. 6 已知α 、β 是不同的两个平面,直线 a ? α ,直线 b ? β . 命题 p:a 与 b 无公共点; 命题 q:α ∥β ,则 p 是 q 的 ( )条件. A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 答案:B 解析:考查线线、线面、面面的位置关系。 7 命题 p:若 a,b∈R,则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的充分而不必要条件. 命题 q:函数 y= | x ? 1 | ?2 的定义域是(-∞,-1)∪[3,+∞],则 A.“p 或 q”为假 C.p 真 q 假 B. “p 且 q”为真 D.p 假 q 真 ( )

答案: D 解析: 命题 p:由|a|+|b|>1 ? |a+b|≯1∴命题 p 是假, 命题 q:函数 y= | x ? 1 | ?2中 | x ? 1 | ≥2, ∴x≥3 或 x≤1, ∴命题 q 为真。 8 两个集合 A 与 B 之差记作“A/B” ,定义为:A/B={x|x∈A,且 x ? B},如果集合 A={x|log2x<1,x∈R},集合 B={x|x-2|<1,x∈R},那么 A/B 等于 ( ) A.{x|x≤1} B.{x|x≥3} C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x≤1} 答案:D 解析:求出 A、B 后,按题中定义运算。 9 设集合 A={1,2,3,4,5}共有 K 个子集,记子集 Ai 的元素之和为 Si(i=1,2,?,k), 则 S1+S2+?+Sk=_________. 答案: 240 解析: 设单元素集合之和为 T1=1+2+3+4+5=15, 二元集合之和为 T2=4T1, 同理 T3=6T1, T4=4T1,T5=T1,S1+S2+ ? +S5=T1+T2+T3+T4+T5=240. 2 10 二次函数 y=ax +bx+c(x∈R)的部分对应值如下表: x 3 y 6 2 0
2

1 4

0 6

1 6

2 4

3 4 0 6

则 ax +bx+c>0 的解集是__________. 答案:(-∞,-2) ?(3,??) 解析:取三点代入函数中解出不等式即可。 11 每天早晨,李强要做完以下几件事,再去公司上班: 起床穿衣 8 分钟;洗脸刷牙 5 分钟;煮早饭 t 分钟;吃早饭 7 分钟;听广播 15 分钟;整 理房间 6 分钟.若李强做完这些事最快需要 30 分钟,那么煮早饭的时间 t 最多为_______分 钟. 答案:15 解析:起床穿衣 8 分钟;煮早饭 t 分钟;吃早饭 7 分钟;这三项不能同时做.洗脸刷 牙 5 分钟;与听广播 15 分钟;整理房间 6 分钟;都可同时做.若李强做完这此事最快需要 30

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分钟,那么煮早饭的时间 t 最多为 30 分钟. 12 设全集 U=R,(Ⅰ)解关于 x 的不等式|x-1|+a-1>0(a∈R);(Ⅱ)记 A 为(1)中不等式的 解集,集合 B={x|sin(π x? ? )+ 3 cos(π x- )=0}.若(CUA)∩B 恰有 3 个元素,求 a 的 3 3

取值范围. 答案:解析:(1)由|x-1|+a-1>0 得|x-1|>1-a,当 a>1 时,解集是 R;当 a≤1 时,解集是 ?x | x ? a或x ? 2 ? a? .(2) 当 a>1 时 , CUA=? ; 当 a ≤ 1 时 , CUA=

?x | a ? x | 2 ? a?,因sin(?x ? ? ) ?
3

3 cos(?x ? ) ? 2[sin(?x ? ) cos ? cos(nx ? ) sin ] ? 2 sin?x, 3 3 3 3 3

?

?

?

?

?



sinnx=0 得 x=k∈Z,∴B=Z 当(CuA)?B 恰有 3 个元素时,a 应满足
?a ? 1 ? ?a ? 2 ? a ? 3, ?? 1 ? a ? 0 ? ? ?1 ? a ? 0.
2 2

13 已知三个集合 E={x|x -3x+2=0},F={x|x -ax+(a-1)=0},G={x|x2-bx+2=0},问:同时 满 2 足 F E,G ? E 的实数 a 和 b 是否存在?若存在.求出 a、b 所有值的集合;若不存 答 F=
? ?1, a,?1?,由F?? E, a ? 1 ? 1,2. ? a ? 2,3.由G? E, ? ? b2 ? 8 ? 0或?b2 ? 8 ? 0, 且1 ? G或2 ? G, 解得 ? 2

在,请说明理由. 案 :







E

?1,2?



2 ? b ? 2 2或b ? 3.

综上所述, a ? 2 、3 且-2 2 ? b ? 2 2或b ? 3. 14 已知椭圆方程
x2 a
2

?

y2 b2

+=1(a>b>0),A(m,0)为椭圆外一定点,过 A 作直线 l 交椭圆于

P、Q 两点,且有 AP ? ? AQ ,Q 关于 x 轴的对称点为 B,x 轴

上一点 C,当 l 变化时,求点 C 在 BP 上的充要条件. 答 案 : 解 析 : 连 结 AB , 因 为 B 、 Q
| ??? ? |?| ??? ? | ,又
AQ AB

关 于

x

轴 对 称 , 所 以

| ??? ? | ??? ?
AB AP

?

??? ?
PC

CB

, 所以 ??? ? ? ? ???, 设P( x1, y1), Q( x2 y2 ),
PC CB

C(xo,O),则 B(x2,-y2),可得 y1= ?y2 , x1 ? m ? ?( x2 ? m), xo ? x1 ? ? ( x2 ? xo ) 又
2 x1

a

2

?

2 y1

b

2

? 1,

2 x2

a

2

?

2 y2

b

2

? 1, 所以有

( x1 ? ?x2 )( x1 ? ?x2 ) a2

? ?2 ? 1

将(1)代入(2)中得 xo ? 条件是 C 的坐标为 (

a2 a2 , 所以C的坐标为( ,0) 由于上述解题过程可逆,所以 C 在 BP 上的充要 m m

a2 ,0). m

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