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三角函数公式


三角函数公式
两角和公式

tan(

1 ? cos A A )= 2 1 ? cosA 1 ? cos A A )= 2 1 ? cosA
A 1 ? cos A sin A )= = sin A 1 ? cos A 2

cot( tan( sin(A+B) = sinAcosB+cosAsin

B sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tanA ? tanB tan(A+B) = 1 - tanAtanB tanA ? tanB tan(A-B) = 1 ? tanAtanB cotAcotB - 1 cot(A+B) = cotB ? cotA cotAcotB ? 1 cot(A-B) = cotB ? cotA

和差化积
a?b a?b cos 2 2 a?b a?b sina-sinb=2cos sin 2 2 a?b a?b cosa+cosb = 2cos cos 2 2 a?b a?b cosa-cosb = -2sin sin 2 2 sin( a ? b) tana+tanb= cos a cos b

sina+sinb=2sin

倍角公式
2tanA 1 ? tan 2 A Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A

tan2A =

积化和差
1 [cos(a+b)-cos(a-b)] 2 1 cosacosb = [cos(a+b)+cos(a-b)] 2 1 sinacosb = [sin(a+b)+sin(a-b)] 2 1 cosasinb = [sin(a+b)-sin(a-b)] 2

sinasinb = -

三倍角公式
sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA ? ? tan3a = tana· tan( +a)· tan( -a) 3 3

诱导公式
sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa ? sin( -a) = cosa 2 ? cos( -a) = sina 2 ? sin( +a) = cosa 2 ? cos( +a) = -sina 2 sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa

半角公式
sin(

1 ? cos A A )= 2 2 1 ? cos A A )= 2 2

cos(

sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa sin a tgA=tanA = cos a

cosh(a)=

e a ? e -a 2

tg h(a)=

万能公式
a 2 sina= a 1 ? (tan ) 2 2 a 1 ? (tan ) 2 2 cosa= a 2 1 ? (tan ) 2 a 2 tan 2 tana= a 1 ? (tan ) 2 2 2 tan

sinh(a) cosh(a)

公式一
设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值 相等: sin(2kπ+α)= sinα cos(2kπ+α)= cosα tan(2kπ+α)= tanα cot(2kπ+α)= cotα

公式二
设 α 为任意角,π+α 的三角函数值与 α 的三角函数 值之间的关系: sin(π+α)= -sinα cos(π+α)= -cosα tan(π+α)= tanα cot(π+α)= cotα

其它公式
b a?sina+b?cosa= (a 2 ? b 2 ) × sin(a+c) [其中 tanc= ] a

a?sin(a)-b?cos(a) =
a tan(c)= ] b

(a 2 ? b 2 ) × cos(a-c) [其中

公式三
任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin(-α)= -sinα cos(-α)= cosα tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα

a a +cos )2 2 2 a a 2 1-sin(a) = (sin -cos ) 2 2

1+sin(a) =(sin

其他非重点三角函数
1 sin a 1 sec(a) = cos a

公式四
利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数 值之间的关系: sin(π-α)= sinα cos(π-α)= -cosα tan(π-α)= -tanα cot(π-α)= -cotα

csc(a) =

双曲函数
sinh(a)=
e -e 2
a -a

公式五
利用公式-和公式三可以得到 2π-α 与 α 的三角函数 值之间的关系:

sin(2π-α)= -sinα cos(2π-α)= cosα tan(2π-α)= -tanα cot(2π-α)= -cotα

这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望 对大家有用 A?sin(ωt+θ)+ B?sin(ωt+φ) = A 2 ? B 2 ? 2 AB cos( ? ? ? ) × sin

?t ? arcsin[(As in? ? Bsin? )
A2 ? B 2 ? 2 AB cos(? ? ? )

三角函数公式证明(全部) 公式六
? 3? ±α 及 ±α 与 α 的三角函数值之间的关系: 2 2 ? sin( +α)= cosα 2 ? cos( +α)= -sinα 2 ? tan( +α)= -cotα 2 ? cot( +α)= -tanα 2 ? sin( -α)= cosα 2 ? cos( -α)= sinα 2 ? tan( -α)= cotα 2 ? cot( -α)= tanα 2 3? sin( +α)= -cosα 2 3? cos( +α)= sinα 2 3? tan( +α)= -cotα 2 3? cot( +α)= -tanα 2 3? sin( -α)= -cosα 2 3? cos( -α)= -sinα 2 3? tan( -α)= cotα 2 3? cot( -α)= tanα 2 (以上 k∈Z)

公式表达式
乘法与因式分解

a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
三角不等式

|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解

-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系

X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理 判别式 b2-4a=0 注:方程有相等的两实根 b2-4ac>0 注:方程有一个实根

b2-4ac<0 注:方程有共轭复数根

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

三角函数公式
两角和公式

某些数列前 n 项和
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga 正弦定理 cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 半角公式 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) 三角函数 积化和差 和差化积公式 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/ 6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2 )/3

记不住就自己推,用两角和差的正余弦: cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 这两式相加或相减,可以得到 2 组积化和差: 相加:cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2 相减:sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2 sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 这两式相加或相减,可以得到 2 组积化和差: 相加:sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2

相减:sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2

sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β )sinβ

这样一共 4 组积化和差,然后倒过来就是和差化积 了 sin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1) 不知道这样你可以记住伐,实在记不住考试的时候 tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ 也可以临时推导一下 正加正 正在前 正减正 余在前 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 余加余 都是余 余减余 没有余还负 注:角 B 是边 a 和边 c 的夹角 正切定理 [(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]} 正余正加 余正正减 余余余加 正正余减还负

. 3.三角形中的一些结论:(不要求记忆) (1)anA+tanB+tanC=tanA· tanB· tanC (2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) (3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)· sin(B/2)· sin(C/2)+1

(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA· sinB· sinC (5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ........................... 已知 sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证 tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ 解:sinα=m sin(α+2β) sin(a+β-β)=msin(a+β+β)


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