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建筑图法1


建筑图法
姚其 博士 建筑与城市规划学院

画法几何

? 画法几何(descriptive geometry),研究在平面上用图 形表示形体和解决空间几何问题的理论和方法的学科。

? 1、研究在二维平面上表达三位空间形体的方法,也就是

图示法。 2、研究在平面上利用图形来解决空间几何

问题
的方法,也就是图解法。

2

点、直线、平面的投影

1 投影法的基本知识 2 点的投影 3 直线的投影
3

投影法的基本知识
投影法的形成及分类
承影面
投影面

光线
投射线

S
影子 物体 光源
投影(图) 形体 投射中心

产生影子的自然现象

投影的构成要素(中心投影法)
4

中心投影法 投影法 平行投影法
投影面 形体 投射线
投影面

斜投影法

平行投影法
正投影法

投射线 形体

投射方向 投影(图)

投影(图)

a) 斜投影法 平行投影法

b) 正投影法

5

点的投影
P

点在一个投影面上的投影。



A

a?



过空间点A的投射线与投影面P 的交点即为点A在P面上的投影。
B1 B2


P B3




b?

点在一个投影面上的投影不 能确定点的空间位置。



6

1、点在两投影体系中的投影
一、两投影面体系的建立
V

X

O

水平投影面 —— H

正面投影面 —— V
投 影 轴 —— OX

?

水平投影面 正立投影面 投影轴 (V⊥H ) 水平投影 ... 正面投影 ...

8

两投影面体系中点的投影
a?
Z

A
X
Y

a

点A的水平投影 —— a
点A的正面投影 —— a?

点的两个投影能唯一确定该点的空间位置

两面投影图的画法
V

a?

z X ax y a a x

O

H

H

12

两面投影图的性质

1) aa??OX

2) a?ax =Aa ,

aax =Aa?

规定
投影面展开:H 面向下翻转90度,与V 面重合 投影连线a’a用细实线画出

? ?

a a?⊥OX a? ax =A a =ZA a ax=A a? =YA
14

2点的三面投影
V 投影面 ◆正面投影面(简称正面或V面) ◆水平投影面(简称水平面或H面) ◆侧面投影面(简称侧面或W面) H X

Z

O

W

Y

投影轴 OX轴
OY轴 OZ轴

V面与H面的交线
H面与W面的交线 V面与W面的交线

三个投影面 互相垂直
15

空间点A在三个投影面上的投影
Z a?
点A的正面投影

V a?●


A O

a

点A的水平投影



a?
W

X a● H

a?

点A的侧面投影

Y

注意: 空间点用大写字母表示,点的 投影用小写字母表示。

16

投影面展开
不动
Z V a? ● X ax a H


Z a? ● W V a?● A Y X ax


向右翻

az O

az


a?

ay
ay Y 向下翻 a● H

O ay

W

Y

17

Z a? ●

az



a?

Z V a??


a z


X

ax

O ay

Y X ax

A O



a? W

a



Y

ay

a●

ay

H

点的投影规律:
① a?a⊥OX轴 ② aax= aay= a?ax= a?az a?az a?ay a?a?⊥OZ轴 =y =x =z =Aa?(A到V面的距离) =Aa?(A到W面的距离) =Aa (A到H面的距离)

Y

18

例:已知点的两个投影,求第三投影。 解法一: a?


az



a?

通过作45°线使 a?az=aax

ax

a●
解法二: 用圆规直接量取 a?az=aax a? az





a?

ax a●
19

点的投影和坐标

点的每个投影反映两个坐标: V 投影反映高标和横标(a′aX 和a′aZ ), H 投影反映纵标和横标(aaX 和aaYH ), W 投影反映高标和纵标(a″aYW 和a″aZ)。
20

各种位置点的投影
一般位置点(X、Y、Z)

特殊位置点
1)投影面上的点:V 面上点(X、0、Z) H 面上点(X、Y、0) W 面上点(0、Y、Z) 2)投影轴上点: X 轴上点(X、0、0) Y 轴上点(0、Y、0) Z 轴上点(0、0、Z)

3)原点上的点: (0、0、0 ) 注意: 点的各个投影一定要写在它所属的投影面区域内。
21

各种位置点的投影

22

两点的相对位置

a?

b? B

A

a?

b?

b
a
两点中x值大的点 —— 在左 两点中y 值大的点 —— 在前 两点中z 值大的点 —— 在上

23

两点的相对位置和重影点
两点的相对位置
两点的相对位 置指两点在空间的 上下、前后、左右 位置关系。
左 右 后 前







判断方法:
X 坐标大的在左 Y 坐标大的在前 Z 坐标大的在上



前 左 右
24

[例2]如图,已知点A 的三投影,另一点B 在 点A 上方8 mm,左方12 mm,前方10 mm处, 求:点B 的三个投影。
Z b?


作图步骤:
b?


bz
a?
8

az

a?
by YW

1)在a′左方12 mm , 上方8 mm 处确定b′;

bx X

12

ax

O ay

2)作b′b⊥OX 轴,且在a 前10 mm 处确定b ;

a
10


ay by
YH
25

b

3)按投影关系求得b″。

重影点

A、C为H 面的重影点
a?●


a?

空间两点在某一投影面上的投影重 合为一点时,则称此两点为该投影面的 重影点。

c? ●



c?

a( ) c



被挡住的投 影加( )

A、C为哪个投 影面的重影点 呢?
26

二、直线的投影
两点确定一条直线,将两点的同名投影 用直线连接,就得到直线的同名投影。 直线的投影特性 ⒈ 直线对一个投影面的投影特性
a● a?●
● ●

a?


b?

b?

b A●
M● B●
● ●



B A●



B

A●


?


a≡b≡m 直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性

b a●

b

a● 直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB

直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=AB.cos?

27

直线在三个投影面中的投影特性
其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置
正平线(平行于V面) 平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜

投影面平行线
统称特殊位置直线

侧平线(平行于W面) 水平线(平行于H面)

正垂线(垂直于V面) 垂直于某一投影面

投影面垂直线

侧垂线(垂直于W面) 铅垂线(垂直于H面)

与三个投影面都倾斜的直线

一般位置直线
28

⑴ 投影面平行线 水平线
V a′ A β b′ γ B a β γ H a′ b Z a″ ″ bW ① 在其平行的那个投影 面上的投影反映实长, 并反映直线与另两投 影面倾角的实际大小。

投影特性

b′

a″

b″

X a 实长 βγ b

O

Y

② 另两个投影面上的投 影平行于相应的投影 轴,其到相应投影轴 距离反映直线与它所 平行的投影面之间的 距离。
29

Y

判断下列直线是什么位置的直线?

正平线

侧平线
a? a? a?

实长
γ b? ?

a?

实长
? b?

β
b?

b?

a

b

a

b

直线与投影面夹角的表示法:
与H面的夹角: ? 与V面的角:β与W面的夹角:γ
30

⑵ 投影面垂直线
铅垂线
a? a? c?(d?)


正垂线
d? c? e?

侧垂线
f? e?(f?)


b?

b? d


a(b) 投影特性:

c

e

f

① 在其垂直的投影面上, 投影有积聚性。 ② 另外两个投影, 反映线段实长,且垂直于相应的投影轴。
31

名称

立体图

投影图

投影特性
(1) H 投影为一 点,有积聚性; (2) a?b? ?OX , a??b???OYW ; (3) a?b?=a??b?? =AB (1) V 影为一点, 有积聚性; (2) ab?OX , a??b???OZ ; (3) ab=a??b?? =AB (1) W 投影为一 点,有积聚性; (2) Ab ? OYH, a?b? ?OZ ; (3) Ab =a?b? 32 =AB

投 影 面 垂 直 线

铅垂线 (?H)

正垂线 (?V)

侧垂线 (?W)

⑶ 一般位置直线

V
a?

b? B

b? b?
a?

Z

b?

β

γ ?
b

W X
a? b

a ?

O

Y

A a

H
投影特性

a

Y

三个投影都倾斜于投影轴,其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三 个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短,即都不反映空间 线段的实长。
33

名称

立体图

投影图

投影特性
(1)a?b?∥OX, a??b??∥OYW (2)ab=AB ; (3)反映夹角?、

投 影 面 平 行 线

水平线 (∥H)

?大小。

正平线 (∥V )

(1)ab∥OX, a??b??∥OZ (2)a?b? =AB (3)反映夹角 ?、? 大小。

侧平线 (∥W )

(1)ab∥OYH, a?b?∥OZ; (2)a??b??=AB (3)反映夹角?、 ?大小。
34

直线与点的相对位置

V
c′ a′

b′

b′

Z

B C

″ b

c′ a′

b″ c″ a″

c″ W

X
a″ b a b c

O

Y

Ac
a

H

Y

◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。
◆点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例。即: AC:CB=ac:cb= a?c? : c?b?= a?c ?: c?b?
定比定理
35

例1:判断点C是否在线段AB上。
① a? b? c?




a?

c? ●

不在
b?


b a c


a


c


b
a?


a?


不在
b?

c? b?

c?

另一判断法?

a c●
b

应用定比定理
36

例2:已知点K在线段AB上,求点K正面投影。
解法一: (应用第三投影)
a? k?


解法二: (应用定比定理)
a? a?

k?

k?


● ●


b?

b?

b?

b

b


k
a

k a



37

两直线的相对位置 空间两直线的相对位置分为:平行、相交、交叉(异面)。

⒈ 两直线平行
V c?

d?
a? A C a c

b?
B D X a b d H c c? ? a?

d?

b?

O b
d

空间两直线平行,则其各同名投影必相互平行,反之亦然。
38

例:判断图中两条直线是否平行。


a?

b? d? a?

b? d? AB与CD平行。

c?
a
c b c? a? d? b?

c?

对于一般位置直线,只要 有两组同名投影互相平行,空 间两直线就平行。



d c? a? d? AB与CD不平行。

b?

c
b d

对于特殊位置直线,只有 两组同名投影互相平行,空间 直线不一定平行。

39

a

⒉ 两直线相交

V c?

b? k?

交点是两直 线的共有点
b?

a? C
A X a c K

d?

B
D O a?

c?

k? d?

d
k b H a c k d

b

若空间两直线相交,则其同名投影必相交,且交点的投 影必符合空间一点的投影特性。

40

例1:过C点作水平线CD与AB相交。

b?
c?● a? k? d?

a k c●

d b

先作正面投影
41

例2:判断直线AB、CD的相对位置。 c′ b′ 相交吗?

不相交!
a′ d′ 交点不符合空间一个点 的投影特性。 a d 判断方法? b c ⒈ 应用定比定理 ⒉ 利用侧面投影
42

为什么?

⒊ 两直线交叉
b′ c′ a′ X O V b′ d′ B C

d ′

c′ a′ A a

a
d c 两直线相交吗? 不相交! 为什么? 交点不符合一个点的投影规律!

D
d

c b

b

H

43

V c′ a′ A a

1′ ′ 3(4 ′ )●


b′

d′ ● 2 ′Ⅳ Ⅰ ●
● ●

′ ′ ● c ′ 3(4 ) ● ●
B a′ X a d


1′
2′

b′ d ′ O

C


ⅢⅡ D



4 3 1(2)
● ●

4


d

c

b



H

c

3 1(2) b

投影特性: ★ 同名投影可能相交,但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。

★ “交点”是两直线上的一 对重影点的投影,用其可帮助判断两直线的空间位置。
44

两直线垂直相交(或垂直交叉)

定理:相互垂直的两直线,其中有一条直线平行于投 影面时,则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。
B A b a

证明:设 因 C

直角边BC//H面 BC⊥AB BC⊥Bb BC∥bc 所以 BC⊥ABba平面 bc ⊥ABba平面 bc⊥ab ∠abc为直角
直线在H面上的投影互 相垂直
45

c
H

b?
a?

c?

x
a

故 因此 即

.

b c

垂直相交的两直线的投影
a b

A
B c

C
c a b

x
a

o

c

b

投影特性: a'b'∥ox, ∠bac=90°

交叉垂直的两直线的投影

AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ? ac

例 过点A作EF线段的垂线AB

b′

f′

e′ x e
b

a′

o

a f

48

例 以最短线KM连接AB,确定M点,并求出KM实长。

k

k

k

a X

b X

a

m

b X

a

m

b

a

a

m

a

m M0

k

b

k

b

k

LKM

b

例 过点E作线段AB、CD的公垂线EF。

b′

f′

e′
c′ x e b a d a′ d′ o

c

f

50

[例] 作三角形ABC,?ABC为直角,使BC在MN上, 且BC?AB =2?3。
a? b?c?=BC a?b?

b?

c?

AB

c

b

|yA-yB|

a

51

换面法
换面法的基本概念

正投影的"真实性"表明,当空间的直线或平面与投影面成平行时, 其投影能够反映直线的实长和平面的实形。变换投影面的基本方法是, 设置新的投影面来代替原来的某一投影面,并使新投影面与空间几何 元素处于有利于解题的特殊位置。 变换投影面法的应用1: 在V、H两投影面体系中, AB为一般位置直线,其两面投 影均不能反映实长。 为求AB实长可设一V1投影面, V1面与AB平行并垂直于H投影 面。将AB线向V1面作正投影, 则AB线在V1面上的投影便可反 映实长。 直线的新投影还可反映α角的 实际大小。

52

换面法基本的作图方法 1、 点的一次换面 (1)换V 面 旧投影体系 V X— H A 点的两个投影 a,a?
a? V
?

新投影体系
a? ?

V1 X1 — H

A 点的两个投影:a,a?1

A
?

?

a?1

V X H
V1
a

ax

o

?

O1
ax1 H


ax X
?

ax1 a

a?1

H

X 1 V1
53

X1

新旧投影之间的关系
a? a? a?1
?

一般规律:
V
?

A
?

?

V1

V X H

ax

O

ax ax1 X
?

a

?

O1

a H X1 ax1 H V X1 1


a?1

1)点的新投影和与它有关的原投影的连线,必垂直 于新投影轴。aa?1?X1 2)点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影 到原投影轴的距离。a?1ax1=a?ax
54

小 结
重点掌握:
★点与直线的投影特性,尤其是特殊位置 直线的投影特性、直角三角形法。 ★点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性。 ★定比定理。 ★直角定理,即两直线垂直时的投影特性。
55

一、点的投影规律 ① a?a⊥OX轴 a?a?⊥OZ轴 ② aax= a?az=y=A到V面的距离 a?ax= a?ay=z=A到H面的距离 aay= a?az=x=A到W面的距离
56

二、各种位置直线的投影特性
⒈ 一般位置直线
三个投影与各投影轴都倾斜。 利用直角三角形法求投影、实长、倾角

⒉ 投影面平行线
在其平行的投影面上的投影反映线段实长 及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相 应的投影轴。

⒊ 投影面垂直线
在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。 另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。
57

三、直线上的点 ⒈ 点的投影在直线的同名投影上。 ⒉ 点分线段成定比,点的投影必分线段的投影 成定比——定比定理。 四、两直线的相对位置 ⒈ 平行 同名投影互相平行。 ⒉ 相交 同名投影相交,交点是两直线的共有点, 且符合空间一个点的投影规律。 ⒊ 交叉(交错) 同名投影可能相交,但“交点”不符合空 间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一 对重影点的投影。 58

五、相互垂直的两直线的投影特性 ⒈ 两直线同时平行于某一投影面时,在该 投影面上的投影反映直角。

⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时, 在该投影面上的投影反映直角。
⒊ 两直线均为一般位置直线时, 在三个投影面上的投影都不 反映直角。
直角定理

59

谢谢同学们!
TEL: MAIL: 26732870 yaoqi@szu.edu.cn


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