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1.2.1任意角的三角函数(1)(新人教A版必修4)


1.2.1 任意角的三角函数(1)

思考:
(1)初中里是如何定义锐角的三角函数的?
sin ? ? 对边 b = 斜边 r 对边 b = 邻边 a cos ? ? 邻边 a = 斜边 r

b

r
?

tan ? ?

a

/>(2)上述定义中的比值是否会随着P在角? 终边上的位 置的改变而改变? (3)角推广后,这样的定义还适用吗? (4) 借助单位圆定义三角函数;

y

三角函数的定义:
如图:设 ? 是一个任 意角,它的终边与单 位圆交于点P(x,y), 那么:

a的终边 P(x,y)
1

P(x,y)

a

O
M

A(1,.0)

x

(1)y叫做? 的正弦,记作sin ?,即 sin ? ?
x r

y r

(2)x叫做? 的余弦,记作cos?,即 cos ? ?

y y (3) 叫做? 的正切,记作tan ?,即tan ? ? x x 阅读课本P12:三角函数的定义

例题:
1 求 5?
3

的正弦、余弦和正切值.
5? 3 O
B A

2.已知角?的终边经过点P ( 0 -3,-4),求角?的正弦,余弦和 正切值
M0
M y

o x

P( x, y)

P o (?3, ?4)

探究:请根据任意角的三角函数定义,思考 (1)正弦、余弦和正切函数的定义域 ;

(2)这三种函数的值在各个象限的符号;
三角函数 定义域

sin ?

R R
? ? ?? ? ? k? ? , k ? Z ? 2 ?

?
?

?
?

?

? ?

?

?
?

cos ?

?
cos ?

?
tan ?

tan ?

sin ?

?sin ? ? 0 例3.求证:当且仅当不等式组 ? ?tan? ? 0 成立时,角? 为第三象限角.

探究:根据三角函数的定义,终边相同的角 的同一三角函数值有和关系? 终边相同的角的同一三角函数值相等. 即有公式一

sin(? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos ? tan(? ? 2k? ) ? tan ?
k ?Z

例4.确定下列三角函数值的符号

cos 250
sin( ? ) 4

?

250o 是第三象限角, 所以cos250o ? 0
? 是第四象限角 ?sin(? ) ? 0 4 4

?

?

?

tan(?672 ) 是第一象限角,所以tan(-672 ) ? 0
o

?

?672o ? 48o ? 2 ? 360o

tan 3?

3? ? ? ? 2? tan 3? ? tan ? ? 0

例5.求下列三角函数值
sin1480 10
? '

cos

9? 4

tan( ?

11? 6

)

小结:
1.任意角的三角函数是由角的终边与单 位圆交点的坐标来定义的. 2.三角函数值的符号是利用三角函数的 定义来推导的.要正确记忆三个三角函数 在各个象限内的符号; 3.诱导公式一的作用可以把大角的三角 函数化为小角的三角函数.

例3.在 (0, 2? ) 内,求出使得 | sin ? |?| cos ? | 的角? 的范 围.

sin x ? cos x 例4.x取何值时, 有意义? tan x

? 例5.已知?是第三象限角且 cos ? 0 ,问 是第几象限角? 2 2

?


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