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第一章1.6三角函数模型的简单应用


第一章

三角函数

1. 6

三角函数模型的简单应用

第一章

三角函数

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日常生活中常见的三角函数模型 ― ― → 由三角函数模型解决问题 重点难点 重点: 用

三角函数模型解决一些具有周期变

化规律的实际问题. 难点:将某些实际问题抽象转化为三角函数模型.

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三角函数

新知初探思维启动
数学应用题的解题思路

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想一想 现实生活中,哪些现象具有周期性规律?列举二、三例. 提示:每天24小时的循环变化;每天的日出日落;摩天轮 上的某点离开地面的高度等.

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三角函数

典题例证技法归纳
题型探究
题型一 函数解析式的应用 例1 弹簧挂着的小球做上下振动,它在时间 t(s)内离开平衡
位置 (静止时的位置 )的距离 h(cm) 由下面的函数关系式表 π 示:h=3sin(2t+ ). 4 (1)求小球开始振动的位置; (2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置; (3)经过多长时间小球往返振动一次?
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三角函数

【解】

π 3 2 (1)令 t= 0,得 h= 3sin = , 4 2

3 2 所以开始振动的位置为(0, ). 2 π π (2)由题意知,当 h= 3 时, t= ,即最高点为 ( , 3); 8 8 当 h=- 3 时, t= 5π 5π ,即最低点为 ( ,- 3). 8 8

2π (3)T= = π≈3.14,即每经过约 3.14 秒小球往返振动一次. 2

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三角函数

【名师点评】

已知实际问题的函数解析式解决相关问

题,题目一般很容易,只需将具体的值代入计算即可. 三角函数模型中函数解析式的应用主要是对相关量物理

意义的考查.

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三角函数

跟踪训练
1.交流电的电压 E(单位:伏)与时间 t(单位:秒 )的关系可用 π? ? E= 220 3sin 100πt+6 来表示. ? ? 求:(1)开始时的电压; (2)电压值重复出现一次的时间间隔. π 解:(1)当 t= 0 时, E= 220 3sin = 110 3(伏),即开始时的电 6
压为 110 3伏. 2π 1 (2)T= = 秒, 即电压重复出现一次的时间间隔为 0.02 秒. 100π 50
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题型二

三角函数模型的实际应用

例2

某港口的水深 y( 米 ) 是时间 t(0≤t≤24,单位:小

时)的函数,下面是水深数据:

t(时 )

0

3

6

9

12

15

18

21

24

y( 米 )

10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0

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三角函数

根据上述数据描出的曲线如下图所示,经拟合,该曲线 可近似地看成正弦函数y=Asin ωt+b的图象.

(1)试根据以上数据,求出y=Asin ωt+b的表达式; (2) 一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离不少于 4.5米时是安全的,如果某船的吃水深度(船底与水面的距 离)为7米,那么该船在什么时间段能够安全进港?
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若该船欲当天安全离港,则在港内停留的时间最多不能超 过多长时间(忽略进出港所用的时间)?
【解】 (1)从拟合曲线可知:函数 y=Asin ωt+b 在一个周期 内由最大变到最小需 9-3= 6 小时,此为半个周期,所以函 2π π 数的最小正周期为 12 小时,因此 =12, ω= . 6 ω 又∵当 t=0 时, y=10;当 t= 3 时, ymax= 13, ∴b=10, A=13-10= 3. π 于是所求的函数表达式为 y=3sin t+ 10. 6

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(2)由于船的吃水深度为 7 米,船底与海底的距离不少于 4.5 米,故在船舶航行时水深 y 应大于等于 7+ 4.5= 11.5(米 ). π π 1 令 y=3sin t+10≥11.5,可得 sin t≥ . 6 6 2 π π 5π ∴2kπ+ ≤ t≤2kπ+ (k∈ Z). 6 6 6 ∴12k+1≤ t≤12k+5(k∈Z). 取 k=0,则 1≤ t≤5;取 k= 1,则 13≤t≤17. 而取 k=2 时,则 25≤ t≤29(不合题意).

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从而可知船舶在凌晨 1 点到 5 点,下午的 13 点到 17 点都可以 安全进港.船舶要在一天之内在港口停留时间最长,就应

从凌晨1点(1点到5点都可以)进港,而下午的17点(即13点到
17点之间)前离港,在港内停留的时间最长为16小时.

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【名师点评】

实际问题的背景往往比较复杂,具有很强的

现实生活色彩,语言表达形式不同常规训练的简单问题,因 此在解决实际问题时要注意:

(1)自变量的变化范围.
(2)数形结合,通过观察图形,获得本质认识. (3)要在实际背景中抽取出基本的数学关系比较困难,因此要 认真仔细地审题,多进行联想,选用适当的数学模型.

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跟踪训练 2.

如图为一个缆车示意图,该缆车的半径为4.8 m,圆上最低点

与地面的距离为0.8 m,60秒转动一圈,图中OA与地面垂直,
以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面距离是h. (1)求h与θ间的函数关系式; (2)设从OA开始转动,经过t秒后到达 OB,求h与t之间的函数 关系式,并求缆车A点到达最高点时用的最少时间是多少?
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解:(1)以圆心O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,

π 则以 Ox 为始边, OB 为终边的角为 θ- ,故点 B 的坐标为 2 π π (4.8cos(θ- ), 4.8sin(θ- )), 2 2 π ∴ h=5.6+ 4.8sin(θ- ). 2
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π (2)点 A 在圆上转动的角速度是 , 30 π 故 t 秒转过的弧度数为 t, 30 π π ∴ h=5.6+ 4.8sin( t- ), t∈ [0,+∞ ). 30 2 到达最高点时, h= 10.4 m. π π π π π 由 sin( t- )= 1 得 t- = ,∴ t= 30. 30 2 30 2 2 ∴缆车 A 点到达最高点时,用的时间最少为 30 秒.

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方法感悟
解三角函数应用问题的基本步骤:

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精彩推荐典例展示
规范解答 例3
三角函数模型的确定

( 本题满分 12 分 ) 弹簧振子以 O 为平衡位置,在 B , C

间做简谐运动,B,C相距20 cm,某时刻振子处在B点, 经0.5 s振子首次到达C点. (1)求振子的振幅、周期和频率; (2)振子在5 s内通过的路程及5 s末相对于平衡位置的位移

的大小.

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【解】

(1)设振幅为 A,则 2A= 20 cm? , 1

所以 A=10 cm,3 分 T 设周期为 T,则 = 0.5 s,周期 T= 1 s, 5 分 2 频率 f=1 Hz.6 分 (2)振子在 1 个周期内通过的路程为 4A, 8 分 故在 5 s 内通过的路程为 s= 5× 4A= 200(cm)? ,10 分 2 5 s 末振子在 B 点或 C 点,相对于平衡位置的位移为 5 cm 或 - 5 cm? .12 分
2

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抓关键

促规范

1 在解答过程中,正确理解题意是关键.若对振幅的意义理解

错误,则 1 处书写错误,从而出现A=5 cm的失误.这在考
试中至少失去3分. ?在解答过程中,若对振子通过的路程与离开平衡点的位移理 2 解不到位,则会将 2 处在5 s内通过的路程与5 s末振子相对于 平衡位置的位移为5 cm或-5 cm而等同,从而出现失误,这在

考试中最多得10分.

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跟踪训练
3.已知某地一天从 4~ 16 时的温度变化曲线近似满足函数 y π 5π = 10sin( x- )+20, x∈ [4,16]. 8 4 (1)求该地区这一段时间内的温差; (2)若有一种细菌在 15 ℃到 25 ℃之间可以生存,那么在这段 时间内,该细菌能生存多长时间?

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解:(1)由函数易知,当 x=14 时函数取最大值,此时最高温 度为 30 ℃, 当 x= 6 时函数取最小值, 此时最低温度为 10 ℃, 所以温差为 30- 10=20(℃). π 5π 3π 3π (2)因为 4≤x≤16,所以 x- ∈ [- , ], 8 4 4 4 π 5π π 5π 1 令 10sin( x- )+20= 15,可得 sin( x- )=- ,而 x∈ 8 4 8 4 2 26 [4,16],所以 x= . 3

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三角函数

π 5π π 5π 1 令 10sin( x- )+ 20= 25,可得 sin( x- )= ,而 x∈ 8 4 8 4 2 34 [4,16],所以 x= . 3 故在这段时间内,该细菌的存活时间为 34 26 8 - = (小时). 3 3 3

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知能演练轻松闯关

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