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第二讲 等差、等比数列的综合


第二讲

等差、等比数列的小综合

一、问题一:判断和证明数列是否为等差、等比数列 1、证明:一个数列是等差、等比数列的主要方法有三: ① 定义法:对任意 n ? 2 时, an ? an?1 ? d 或
an ?q a n ?1

② 直接求出通项得: an ? An ? B 或 an ? A ? qn?1

即可
2 ③ 中项法: 2an ? an ?1 ? an ?1 或 an ? an ?1 ? an ?1 2 2、证明一个数列不是等差、等比数列,采用反证,即证 2a2 ? a1 ? a3 或 a2 ? a1 ? a3 即 2 可,切记不要证 2an ? an ?1 ? an ?1 或 an ? an ?1 ? an ?1 这样会增加计算的运算量。

二、例题讲解 例 1、 (1)设 an 是等差数列,证明:数列 ?ca ?是等比数列
n

(2)设 an 是正项等比数列,证明:数列 ?logc an ?(c ? 0, c ? 1) 是等差数列

例 2、在数列 ?an ? 中, Sn ?1 ? 4an ? 2 ,且 a1 ? 1 (1)设 bn ? an ?1 ? 2an ,求证:数列 ?bn ?是等比数列 (2)设 cn ?
an ,求证:数列 ?cn ?是等差数列 2n

1

练习:已知 a1 ? 1, nan?1 ? (n ? 2)Sn (n ? 2,3,4?) ,证明:数列 ? ? 的前 n 项和)

Sn ? ? 是等比数列( Sn 为 an ?n?

例 3、设 ?an ? 是公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,且 a5 , a3 , a4 成等差数列 证明:对任意 k ? N ?, Sk ?2 , Sk , Sk ?1 成等差数列

练习:证明 ?an ? 为等差数列的充要条件是对任何 n ? N ? 都有
? n a1an ?1

1 1 1 ? ??? a1a2 a2 a3 an an ?1

二、问题二:等差数列与等比数列的相互转化(交汇问题) 例 1、已知 ?an ?? , bn ? 是各项均为正数的等比数列,设 Cn ?
2

bn ,数列 ?Cn ? 能否是等 an

比数列,证明你的结论。

训 练 题 1 、 已 知 数 列 ?an ? 满 足 a1 ? ,
2 2 bn ? an ?1 ? an

1 3(1 ? an ?1 ) 2(1 ? an ) ? , an ? an ?1 ? 0(n ? 1) 数 列 2 1 ? an 1 ? an ?1

(1)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式 (2)证明:数列 ?bn ?中的任意三项不可能成等差数列。

2、设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2an ? 2n (1)求 a1, a2 , a3 , a4 (2)证明 ?an?1 ? 2an ?是等比数列
an ? (3)证明数列 ? ? n ? 是等差数列,并求 ?an ? 的通项公式 ?2 ?

3、已知 ?an ? 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6 ? 55, a2 ? a7 ? 16
3

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 (2)若数列 ?an ? 和数列 ?bn ?满足 an ? 项和 Sn
b1 b2 b ? 2 ??? n (n ? N ? ) ,求数列 ?bn ?的前 n 2 2 2n

4


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