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27 寡头垄断


27 寡头垄断
Oligopoly

本章内容
非合作博弈 1.同时博弈: 联合定产-古诺模型(Cournot) 联合定价-伯特兰模型(Bertrand) 2.序贯博弈: 产量领导-斯塔克尔伯格模型(Stackelberg) 价格领导-价格领导模型 合作博弈 串谋-卡特尔

2016/9/2

中级微观经济学

2

?我们已经分析了完全竞争和完全垄断

两种市场结构,尽管它们代表了两个 不同的极端假设,但是有一点是相同 的:即都无需考虑厂商间的交互作用。 ?但是,现实生活中的厂商往往要考虑 其它厂商决策对自己决策的影响。

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博弈论初步
博弈论(game theory)研究企业或 个人(agent)的策略行为(strategic behavior),这些策略行为取决于其 他企业或个人互相依存又互相影响的 行动(action)。

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博弈论
? 博弈论可以帮助我们分析存在两个或数个行为

主体时的最佳策略。如分析在存在寡头垄断时 不同企业行为之间的相互影响。 ? 事实上,博弈论应用的例子极其广泛,只要涉 及到主体与主体间的交互性行为时,博弈论总 是可以派上用场。

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博弈论
博弈论已经成为当代主流经济学家不可或 缺的工具之一。博弈论已成为主流经济

学一个重要组成部分!
1994年、1996年、2001年、2002年、2005 年、2007年的诺贝尔经济学奖都颁发给了 在博弈论方面作出过突出贡献的学者。

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1994年 非合作博弈理论: 纳什(Nash) 海萨尼(Harsanyi) 塞尔顿(Selten)

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约翰· 纳什 纳什1928年出生在美国西弗吉尼亚州的一个富裕 家庭。1948年,他进入普林斯顿大学,当时的普 林斯顿已经成了全世界的数学中心,爱因斯坦等 世界级大师均云集于此。他21岁博士毕业,不到 30岁已经闻名遐迩。 1958年,纳什因其在数学领域的优异工作被美国 《财富》杂志评为新一代天才数学家中最杰出的 人物。 1958年底到1959年初,纳什的心智状态出现问题 导致精神分裂(普林斯顿的“幽灵”)。
2016/9/2 中级微观经济学 8

在纳什发疯的30多年, 他的妻子艾里西亚、朋友 和同事们给予了多方面精 心的照顾和帮助,80年 代末、90年代初纳什渐 渐康复,从疯癫中苏醒。 1994年他获得诺贝尔经 济学奖。 他的故事被好莱坞拍成 电影《美丽心灵》,该影 片获得了2002年奥斯卡 金像奖的四项大奖。

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约翰· 纳什

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海萨尼(Harsanyi)
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泽尔滕(Selten)
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1996年 不对称信息激励理论: 莫里斯(Mirrlees) 维克瑞(Vickrey)

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莫里斯 Mirrlees
2016/9/2 中级微观经济学

维克瑞 Vickrey
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2001:不完全信息市场博弈: 阿克罗夫(Akerlof)(商品市场) 斯宾塞(Spence)(教育市场) 斯蒂格里茨(Stiglitze)(保险市场)

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阿克洛夫(Akerlof)

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斯蒂格利茨(Stiglitz)

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斯宾塞(Spence)

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2002:实验经济学:史密斯(Smith),心理经 济学:卡尼曼(Kahneman)

弗农· 史密斯
2016/9/2 中级微观经济学

丹尼尔· 卡纳曼
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2005年的诺贝尔经济 学奖授予了以色列希 伯莱大学的罗伯 特·奥曼和美国马里 兰大学的托马斯·谢 林,以表彰他们“通 过博弈论分析,促进 了人们对冲突和合作 的理解”。

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2007年:机制设计理论
据诺贝尔奖官方网站报道,瑞典皇家科学 院10月15日宣布,将2007年诺贝尔经济学 奖授予以美国经济学家赫维茨(Leonid Hurwicz) 、马斯金(Eric S. Maskin) 、罗杰B-迈尔森(Roger B. Myerson) ,以表彰他 们为机制设计理论奠定基础。他们三人将 分享1000万瑞典克朗(约合154万美元)的奖 金。
2016/9/2 中级微观经济学 20

赫维茨

埃里克· 马斯金 罗杰-迈尔森

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定义一个博弈的四个核心方面
1、博弈参与者(Player ) 2、各博弈参与者的策略(Strategies)或行为 (Actions)的集合 3、博弈参与者的收益(Payoffs) 4、博弈的次序(Order)

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双人博弈
只有两个参与者 两个参与者,两种策略,四种收益组合

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双人博弈举例
参与者 A 和 B A有两种策略“上”或“下” B的两种策略为“左”或“右” 表格中显示的是给参与者带来的四种可 能的策略组合的收益,即博弈的收益矩 阵(payoff matrix)。

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24

B L
U A

R
收益矩阵

(3,9) (1,8) (0,0) (2,1)

D

收益组合中第一项是A的收益,第二项是B的收益。

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25

B L
U

R
收益矩阵

(3,9) (1,8) (0,0) (2,1)

A D

例如A选择 Up ,B 选择 Right ,那么A的收益 是1,B的收益是8。

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Player B L R
U Player A (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) 收益矩阵

D

而当A选择 Down , B 选择 Right ,那么A的收 益是2,B的收益是1。

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Player B L R
U Player A (3,9) (1,8) (0,0) (2,1)

D

一次博弈对应一个策略组合例如(U,R),在此 第一个元素是参与者A选择的策略,第二个 元素是参与者B选择的策略。
2016/9/2 中级微观经济学 28

Player B L R
U Player A (3,9) (1,8) (0,0) (2,1)

D

博弈的可能结果是什么呢?

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中级微观经济学

29

Player B L R
U Player A (3,9) (1,8) (0,0) (2,1)

(U,R) 是可能的 博弈结果吗?

D

?如果B选择Right,那么A的最优反应是选择Down。 ?因为这将使得A的收益从1增加到2。 ?因此(U,R)不是可能的博弈结果。

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30

Player B L R
U Player A (3,9) (1,8) (0,0) (2,1)

(D,R)是可能的 博弈结果吗?

D

如果B选择Right,A的最优反应就是选择Down。 如果A 选择Down,B的最优选择就是Right。 因此(D,R) 是可能的博弈结果。
2016/9/2 中级微观经济学 31

Player B L R
U Player A (3,9) (1,8)

(D,L)是可能的 博弈结果吗?

D

(0,0) (2,1)

如果A选择 Down,B的最优选择是Right, 因此(D,L)不是可能的博弈结果。

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中级微观经济学

32

Player B L R
U Player A

(3,9) (1,8)
(0,0) (2,1)

(U,L) 是可能 的博弈结果吗?

D

如果 A选择 Up 那么B的最优反应是Left。 如果 B选择 Left 那么A的最优反应是Up。 因此(U,L)是可能的博弈结果。
2016/9/2 中级微观经济学 33

纳什均衡
如果存在一个策略组合,其中每一个参与 者的选择都是他的最优选择,此时的策略 组合就是一个纳什均衡 (Nash equilibrium) 组合。
我们的例子中有两个纳什均衡策略组合 (U,L)和(D,R)。

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纳什均衡的含义:在博弈中,每个博弈方 的策略必须是针对其他参与者选择策略的 最优反应,没有博弈方愿意单独改变 策略 。也可以说,这样的策略组合是稳定 的、“自动实施” (Self-enforcing)的。

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纳什均衡的数学定义
S1 ,?Sn 策略空间: 博弈方i 的第 j 个策略: si j ? Si ui 博弈方i 的得益: G ? {S1,?Sn ; u1,?un } 博弈: 纳什均衡:在博弈G ? {S1,?Sn ; u1,?un } 中,如果由各个博 * * ( s , ? s n ) 中,任一博 弈方的各一个策略组成的某个策略组合 i * ) 弈方的策略,都是对其余博弈方策略的组合 (si* ,?si*?1, si*?1,...sn * * * * * * * * * u ( s , ? s , s , s ,... s ) ? u ( s , ? s , s , s ,... s 的最佳对策,也即 i i i ?1 i i ?1 n i i i ?1 ij i ?1 n) * 为博弈 对任意 si j ? Si 都成立,则称 (si* ,?sn ) G 的一个 纳什均衡。

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中级微观经济学

36

例子
Player B L R
U Player A

(3,9) (1,8)
(0,0) (2,1)

D

(U,L) 、 (D,R)都是博弈的纳什均衡策略。

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中级微观经济学

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例子
Player B L R
U Player A

(3,9) (1,8)
(0,0) (2,1)

D

(U,L) 、 (D,R)都是博弈的纳什均衡策略。 但是哪一个才是最终的解呢? 注意:对于参与双方而言(U,L) 优于(D,R)。 那么(U,L)是否是唯一的均衡解呢?
2016/9/2 中级微观经济学 38

囚徒困境 The Prisoner’s Dilemma
我们可以考虑著名的囚徒困境模型来 检验最可能的博弈结果是否一定是帕 累托有效的结果。

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中级微观经济学

39

Clyde S S Bonnie (-5,-5) C (-30,-1)

C (-1,-30) (-10,-10)
可能的博弈结果如何?

2016/9/2

中级微观经济学

40

Clyde S S Bonnie (-5,-5) C (-30,-1)

C (-1,-30) (-10,-10)
如果Bonnie选择沉默(Silence),Clyde的最优反应 是坦白(Confess) 。 如果Bonnie选择坦白(Confess) ,Clyde的最优反应 还是坦白(Silence) 。
2016/9/2 中级微观经济学 41

Clyde S S Bonnie (-5,-5) C (-30,-1)

C (-1,-30) (-10,-10)

无论Bonnie采取何种行动,Clyde的最优选择都是坦白。 因此,坦白是Clyde的占优策略(dominant strategy)

2016/9/2

中级微观经济学

42

Clyde S S Bonnie (-5,-5) C (-30,-1)

C (-1,-30) (-10,-10)
同样的,无论Clyde采取那种行动,Bonnie 的最优反应都是坦白。坦白也是Bonnie的占 优策略(dominant strategy) 。

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中级微观经济学

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Clyde S S Bonnie (-5,-5) C (-30,-1)

C (-1,-30) (-10,-10)
?唯一的纳什均衡组合是(C,C),尽管对于 双方而言(S,S)能够带来更多的收益。 ?所以,唯一的纳什均衡解不是最优解。
2016/9/2 中级微观经济学 44

谁先选择?
在前面的两个例子中,参与者都是同时采 取行动的。 这种博弈称为同时博弈 (simultaneous play games).

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中级微观经济学

45

但是某些博弈是某个参与者首先采取行动, 其他参与者后采取行动。 这类博弈称为序贯博弈(sequential play games)。 首先行动的参与者是领导者,第二个行动 的参与者是跟随者。

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中级微观经济学

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序贯博弈举例
有时博弈不止一个纳什均衡结果,此时很 难看出哪一种结果可能发生。 此时如果博弈行动有先后,那么我们就有 可能判断出哪一种结果更可能出现。

2016/9/2

中级微观经济学

47

Player B L R
U Player A

(3,9) (1,8)
(0,0) (2,1)

D

当同时行动时,(U,L) 、(D,R) 都是纳什均衡 的策略组合,我们无法判断哪一种组合结果 出现的可能性更大。
2016/9/2 中级微观经济学 48

Player B L R
U Player A

(3,9) (1,8)
(0,0) (2,1)

D

?假如此时博弈行为是有先后的,例如A先行动,B跟随 其后行动,那么我们可以用扩展形式(extensive form) (广延型博弈)重新描述博弈。
2016/9/2 中级微观经济学 49

广延型博弈举例:完美信息
A
U B L (3,9) R L D B R (2,1)

A 先行动。 B 后行动。

(1,8) (0,0)

2016/9/2

中级微观经济学

50

广延型博弈解法:反向归纳法
A
U B L (3,9) R L D B 首先观察B的决策 R (2,1)

(1,8) (0,0)

当A选U时,B一定选L, (U,L) 是一个纳什均衡策略。
2016/9/2 中级微观经济学 51

A
U B L (3,9) R L D B 首先观察B的决策 R (2,1)

(1,8) (0,0)

(U,L) 是一个纳什均衡策略组合。 (D,R) 也是一个纳什均衡策略组合。 哪一个是可能的结果?
2016/9/2 中级微观经济学 52

A
U B L (3,9) R

然后观察A的决策

D B L R (2,1)

(1,8) (0,0)

如果A 选择U,B选择L; A得到3。 如果A 选择D,B选择R; A得到2。
2016/9/2 中级微观经济学 53

A
U B L (3,9) R L D B R (2,1)

(1,8) (0,0)

如果A 选择U,B选择L; A得到3。 如果A 选择D,B选择R; A得到2。 因此 (U,L)是可能的纳什均衡结果。
2016/9/2 中级微观经济学 54

威胁
进入

进入者
不进入

在位者
斗争 不斗争 斗争

在位者
不斗争

A 先行动。 B 后行动。

(0,0)

(2,1) (1,9)

(1,9)

2016/9/2

策略(进入,不斗争)是合理的。 但此时原先的在位者只能得到1。 他该怎么办?
中级微观经济学

55

威胁
进入

进入者
不进入

在位者
斗争

在位者
不斗争 斗争
不斗争

A 先行动。 B 后行动。

(0,0)

(2,1) (1,9)

(1,9)

威胁进入者,只要你进入,我一定斗争。 但是,显然不是一个可信的威胁。
2016/9/2 中级微观经济学 56

遏制进入的博弈:可信的威胁
进入者
进入 不进入

在位者
斗争

在位者
不斗争 斗争
不斗争

A 先行动。 B 后行动。

(0,2)

(2,1) (1,9)

(1,9)

如果存在备用的生产能力,一旦使用, 可以降低生产成本,那么威胁变得可信。
2016/9/2 中级微观经济学 57

纯策略(Pure Strategies)
Player B L R
U Player A

(3,9) (1,8)
(0,0) (2,1)

D

再次回到我们同时博弈的初始模型。此时存在 两个纳什均衡结果——(U,L)和 (D,R)。

2016/9/2

中级微观经济学

58

Player B L R
U Player A

(3,9) (1,8)
(0,0) (2,1)

D

A要么选择U要么选择D,不能选择两者的组合。 U 和D 是A的纯策略(pure strategies)。

2016/9/2

中级微观经济学

59

Player B L R
U Player A

(3,9) (1,8)
(0,0) (2,1)

D

同样的,L和R是B的纯策略。

2016/9/2

中级微观经济学

60

Player B L R
U Player A

(3,9) (1,8)
(0,0) (2,1)

D

因而, (U,L)和 (D,R)是纯策略的纳什均衡(pure strategy Nash equilibrium)。 是否每种博弈必定存在至少一个纯策略的 纳什均衡呢?
2016/9/2 中级微观经济学 61

Player B L R
U Player A

(1,2)
(0,5)

(0,4)
(3,2)

D

这个新的博弈模型是否存在纯策略 的纳什均衡呢?
2016/9/2 中级微观经济学 62

Player B L R U (1,2) (0,4)

A

D

(0,5)

(3,2)

?(U,L)是纳什均衡组合吗? ?不是。 ?(U,R)是纳什均衡组合吗? ?不是。 ?(D,L)是纳什均衡组合吗? ?不是。 ?(D,R)是纳什均衡组合吗? ?不是。
63

2016/9/2

中级微观经济学

Player B L R
U Player A

(1,2)
(0,5)

(0,4)
(3,2)

D

因此该博弈在纯策略中不存在纳什均衡结果。 尽管如此,如果是混合策略(mixed strategies) 就会有纳什均衡结果了。
2016/9/2 中级微观经济学 64

混合策略 Mixed Strategies
和A要么选Up要么选Down不同,此时A可以 在一种概率分布状态(pU,1-pU)下进行选择。 意味着A可以以pU的概率选择Up,以及以 1pU 的概率选择Down。 概率分布(pU,1-pU) 是A的混合策略。

2016/9/2

中级微观经济学

65

同样的,B可以在一种概率分布状态 (pL,1-pL)下进行选择。意味着B可以以pL的概 率选择Left,以及以 1-pL 的概率选择Right。 概率分布(pL,1-pL) 是B的混合策略。

2016/9/2

中级微观经济学

66

Player B

L
U Player A

R (0,4)
(3,2)

(1,2)
(0,5)

D

该纯策略博弈中不存在纳什均衡结果。但如果是混合 策略(mixed strategies),就会有纳什均衡结果了。 如何计算?

2016/9/2

中级微观经济学

67

Player B L,pL Player A U,pU R,1-pL

(1,2)
(0,5)

(0,4)
(3,2)

D,1-pU

2016/9/2

中级微观经济学

68

Player B L,pL U,pU Player A D,1-pU R,1-pL

(1,2)
(0,5)

(0,4)
(3,2)

如果 B 选择Left,她的预期收益是

2pU ? 5(1 ? pU )

2016/9/2

中级微观经济学

69

Player B L,pL U,pU Player A D,1-pU R,1-pL

(1,2)
(0,5)

(0,4)
(3,2)

如果 B 选择Left,她的预期收益是 2pU ? 5(1 ? pU ). 如果B 选择Right,她的预期收益是 4pU ? 2(1 ? pU ).
2016/9/2 中级微观经济学 70

Player B L,pL U,pU Player A D,1-pU R,1-pL

(1,2)
(0,5)

(0,4)
(3,2)

当 2pU ? 5(1 ? pU ) ? 4 pU ? 2(1 ? p U ) 时, B 只可能选择 Left。但是B选Left不存在纳什 均衡组合。
2016/9/2 中级微观经济学 71

Player B L,pL U,pU Player A D,1-pU R,1-pL

(1,2)
(0,5)

(0,4)
(3,2)

当 2pU ? 5(1 ? pU ) ? 4 pU ? 2(1 ? p U ) 时, B 只可能选择Right。但是B选Right不存在纳 什均衡组合。
2016/9/2 中级微观经济学 72

Player B L,pL U,pU Player A D,1-pU R,1-pL

(1,2)
(0,5)

(0,4)
(3,2)

因此无论B如何行动都不存在纳什均衡结果, B 在选Left和Right之间无差异;即 2pU ? 5(1 ? pU ) ? 4 p U ? 2(1 ? p U )
2016/9/2 中级微观经济学 73

Player B L,pL U,pU Player A D,1-pU R,1-pL

(1,2)
(0,5)

(0,4)
(3,2)

因此无论B如何行动都不存在纳什均衡结果, B 在选Left和Right之间无差异;即
2p U ? 5(1 ? p U ) ? 4 p U ? 2(1 ? p U ) ? p U ? 3 / 5.
2016/9/2 中级微观经济学 74

Player B L,pL
3 U, 5 Player A 2 D, 5

R,1-pL

(1,2)
(0,5)

(0,4)
(3,2)

因此无论B如何行动都不存在纳什均衡结果, B 在选Left和Right之间无差异;即 2p U ? 5(1 ? p U ) ? 4 p U ? 2(1 ? p U ) ? p U ? 3 / 5.
2016/9/2 中级微观经济学 75

Player B L,pL
3 U, 5 Player A 2 D, 5

R,1-pL

(1,2)
(0,5)

(0,4)
(3,2)

2016/9/2

中级微观经济学

76

Player B L,pL
3 U, 5 Player A 2 D, 5

R,1-pL

(1,2)
(0,5)

(0,4)
(3,2)

如果A选择Up,他的预期收益是

1 ? pL ? 0 ? (1 ? pL ) ? pL .

2016/9/2

中级微观经济学

77

Player B L,pL
3 U, 5 Player A 2 D, 5

R,1-pL

(1,2)
(0,5)

(0,4)
(3,2)

如果A选择Up,他的预期收益是

1 ? pL ? 0 ? (1 ? pL ) ? pL .

如果A选择Down,他的预期收益是
2016/9/2 中级微观经济学

0 ? pL ? 3 ? (1 ? pL ) ? 3(1 ? pL ).
78

Player B L,pL
3 U, 5 Player A 2 D, 5

R,1-pL

(1,2)
(0,5)

(0,4)
(3,2)

当,p L ? 3(1 ? p L ) 时,A将只选择 Up。 但是,如果仅选up将不存在纳什均衡组合。

2016/9/2

中级微观经济学

79

Player B L,pL
3 U, 5 Player A 2 D, 5

R,1-pL

(1,2)
(0,5)

(0,4)
(3,2)

当,p L ? 3(1 ? p L ) 时,A将只选择 Down。 但是,此时也不存在纳什均衡组合。

2016/9/2

中级微观经济学

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Player B L,pL
3 U, 5 Player A 2 D, 5

R,1-pL

(1,2)
(0,5)

(0,4)
(3,2)

因此,此时不存在纳什均衡组合,A对于选择Up 或者Down无差异,即 p L ? 3(1 ? p L )
2016/9/2 中级微观经济学 81

Player B L,pL
3 U, 5 Player A 2 D, 5

R,1-pL

(1,2)
(0,5)

(0,4)
(3,2)

因此,此时不存在纳什均衡组合,A对于选择Up 或者Down无差异,即 p L ? 3(1 ? p L ) ? p L ? 3 / 4.
2016/9/2 中级微观经济学 82

3 U, 5 Player A 2 D, 5

3 L, 4

Player B

1 R, 4

(1,2)
(0,5)

(0,4)
(3,2)

因此,此时不存在纳什均衡组合,A对于选择Up 或者Down无差异,即 p L ? 3(1 ? p L ) ? p L ? 3 / 4.
2016/9/2 中级微观经济学 83

3 U, 5 Player A 2 D, 5

3 L, 4

Player B

1 R, 4

(1,2)
(0,5)

(0,4)
(3,2)

所以当A选择混合策略(3/5, 2/5),B选择混合策略 (3/4, 1/4)时,该博弈存在纳什均衡结果。

2016/9/2

中级微观经济学

84

3 U, 5 Player A 2 D, 5

3 L, 4

Player B

1 R, 4

(1,2) 9/20
(0,5)

(0,4)
(3,2)

3 3 9 获得收益组合(1,2)的概率是 ? ? 5 4 20

2016/9/2

中级微观经济学

85

3 U, 5 Player A 2 D, 5

3 L, 4

Player B

1 R, 4

(1,2) 9/20
(0,5)

(0,4) 3/20
(3,2)

3 1 3 获得收益组合 (0,4) 的概率是 ? ? 5 4 20

2016/9/2

中级微观经济学

86

3 U, 5 Player A 2 D, 5

3 L, 4

Player B

1 R, 4

(1,2) 9/20 (0,5) 6/20

(0,4) 3/20
(3,2)

2 3 6 获得收益组合(0,5)的概率是 ? ? 5 4 20

2016/9/2

中级微观经济学

87

3 U, 5 Player A 2 D, 5

3 L, 4

Player B

1 R, 4

(1,2) 9/20 (0,5) 6/20

(0,4) 3/20 (3,2) 2/20

2 1 2 获得收益组合(3,2)的概率是 ? ? 5 4 20

2016/9/2

中级微观经济学

88

3 U, 5 Player A 2 D, 5

3 L, 4

Player B

1 R, 4

(1,2) 9/20 (0,5) 6/20

(0,4) 3/20 (3,2) 2/20

2016/9/2

中级微观经济学

89

3 U, 5 Player A 2 D, 5
9 1? 20 ?

3 L, 4

Player B

1 R, 4

(1,2) (0,4) 9/20 3/20 (0,5) (3,2) 6/20 2/20 A预期的纳什均衡收益为:
3 0? 20 ? 6 0? 20 ?

2 3? 20

?

3 . 4

2016/9/2

中级微观经济学

90

3 U, 5 Player A 2 D, 5
9 1? 20 ?

3 L, 4

Player B

1 R, 4

(1,2) (0,4) 9/20 3/20 (0,5) (3,2) 6/20 2/20 A预期的纳什均衡收益为:
3 0? 20 ? 6 0? 20 ?

2 3? 20

?

3 . 4

2016/9/2

9 3 6 2 16 2? ? 4? ? 5? ? 2? ? . 20 20 20 20 5 91 中级微观经济学

B预期的纳什均衡收益为:

存在多少纳什均衡?
拥有无数参与者,每一个都有无数的纯策 略的博弈至少有一个纳什均衡结果。 因此,如果博弈没有纯策略的纳什均衡结 果,那么它一定有至少一个混合策略的纳 什均衡结果。

2016/9/2

中级微观经济学

92

摆脱囚徒困境:重复博弈
触发策略(trigger strategies):
– 开始选择沉默(合作);继续选择沉默,直到 对方选择坦白 – 一旦对方选择坦白,永远选择坦白

2016/9/2

中级微观经济学

93

Clyde
S S (-5,-5) C (-30,-1)

Bonnie
C (-1,-30) (-10,-10)
假设Bonnie选择了触发策略: 一旦Clyde选择坦白,那么此后Bonnie永远选择坦白。 Clyde选择坦白的收益记为:A=-1+(-10)δ+(-10) δ2+…… Clyde选择沉默的收益记为:B=-5+(-5)δ+(-5) δ2+…… (其中δ是贴现因子)
2016/9/2 中级微观经济学 94

A=-1+(-10)δ+(-10) δ2+……=9-10/(1- δ) B=-5+(-5)δ+(-5) δ2+……= -5/(1- δ) – 因此,只要A≤B,Clyde就会一直选择沉默。 – 此时,只要9-10/(1- δ) ≤-5/(1- δ), – 即δ≥4/9,Clyde就会一直选择沉默,从而走出囚 徒困境。

2016/9/2

中级微观经济学

95

结论:只要贴现因子δ足够大,那么未来收 益大小现在就要充分考虑,从而将来不合 作的威胁足以使得参与者选择帕累托有效 的策略。

2016/9/2

中级微观经济学

96

现在,我们使用博弈论的知识,研究多个厂 商间的策略性行为。 ? 一个行业中只有两个企业叫双头垄断 (duopoly)。如果在博弈论中将博弈双方看 作是两个企业,就可以用来分析双头垄断。 ? 一个行业中存在少数几个企业叫寡头垄断 (oligopoly)。跟在双头垄断中类似,寡头 垄断中的一个企业的定价和产出水平的决定 会影响到其他企业的利润。
2016/9/2 中级微观经济学 97

? 本部分将分析在一个双头垄断的市场中企业间的

产量竞争和价格竞争。在这一市场中,企业生产 相同产品。 ? 这种竞争可以分为四类: 同时选择产量 同时选择价格 依次选择产量 依次选择价格 ? 讨论中隐含的假设是企业知道市场需求函数,也 知道竞争对手的成本函数。
2016/9/2 中级微观经济学 98

回顾:纳什均衡的含义
在博弈中,每个博弈方的策略必须是针对 其他参与者选择策略的最优反应,没有博 弈方愿意单独改变策略 。 也可以说,这样的策略组合是稳定的、 “自动实施” (Self-enforcing)的。

2016/9/2

中级微观经济学

99

数量竞争
假设两家厂商进行数量竞争。 如果厂商1生产y1 单位的产品,厂商2生产 y2 单位的产品,则总产量为 (y1 + y2)。 市场供给价格为 p(y1+ y2)。 两家厂商的总成本函数为 c1(y1) 和 c2(y2)。

2016/9/2

中级微观经济学

100

假设厂商1认为厂商2的产量y2是给定的。 则厂商1认为其利润方程为:

?1 ( y1; y2 ) ? p( y1 ? y2 )y1 ? c1 ( y1 ).
y2给定,厂商1选择多大的产量 y1 实现利润 最大化?

2016/9/2

中级微观经济学

101

举例说明
假定市场反需求函数为(注意:市场价格是由 两个企业的总产出决定的!) : yT ? y1 ? y2 且厂商的总成本函数为:

p( yT ) ? 60 ? yT

2 及 2 c1 ( y1 ) ? y1 c 2 ( y2 ) ? 15y2 ? y2 .

2016/9/2

中级微观经济学

102

给定y2, 厂商1的利润函数为:
所以,求解一阶条件:

2 ? ( y1; y2 ) ? ( 60 ? y1 ? y2 )y1 ? y1 .

?? ? 60 ? 2y1 ? y2 ? 2y1 ? 0. ? y1
即厂商1对于给定的 y2 的最佳反应是 1 y1 ? R1 ( y2 ) ? 15 ? y2 . 4
2016/9/2 中级微观经济学 103

y2 60

厂商1的反应曲线(reaction curve)

1 y1 ? R1 ( y2 ) ? 15 ? y2 . 4

15

y1
中级微观经济学 104

2016/9/2

类似的,给定y1, 厂商2的利润函数为: 2 ? ( y2 ; y1 ) ? ( 60 ? y1 ? y2 )y2 ? 15y2 ? y2 .
所以,求解一阶条件: ?? ? 60 ? y1 ? 2y2 ? 15 ? 2y2 ? 0. ? y2

即厂商2对于给定的 y1 的最佳反应是

45 ? y1 y2 ? R 2 ( y1 ) ? . 4
2016/9/2 中级微观经济学 105

y2

厂商2的反应曲线(reaction curve) 45 ? y1 y2 ? R 2 ( y1 ) ? . 4
45/4 45 y1
106

2016/9/2

中级微观经济学

当每一个厂商的产量是另一个厂商产量的最 优反应,且任何一个厂商都不想偏离其产量 水平时实现了均衡。 产量组合 (y1*,y2*) 是古诺——纳什均衡 (Cournot-Nash equilibrium) ,如果
* * * * y1 = R1(y2 ) 和 y2 = R2 (y1 )

2016/9/2

中级微观经济学

107

1 * * * y1 ? R1 ( y2 ) ? 15 ? y2 4



* 45 ? y1 * * y2 ? R 2 ( y1 ) ? .

4

替换 y2* 得到

*? ? 1 45 ? y1 * * ? y1 ? 15 ? ? ? y 1 ? 13 ? ? 4? 4 ? 45 ? 13 * 因此 y2 ? ? 8. 4

所以,古诺——纳什均衡组合为
* * ( y1 , y2 ) ? (13,8 ).
2016/9/2 中级微观经济学 108

y2 60

厂商1的反应曲线(reaction curve)

1 y1 ? R1 ( y2 ) ? 15 ? y2 . 4

厂商2的反应曲线(reaction curve) 45 ? y1 y2 ? R 2 ( y1 ) ? . 4

古诺—纳什均衡组合为:
8
13
2016/9/2

?

* * y1 , y2 ? ?13,8?.

?

48

y1
109

中级微观经济学

数量竞争的一般结论
一般而言,给定厂商2的产量 y2, 厂商1的利润 方程为: ?1 ( y1; y2 ) ? p( y1 ? y2 )y1 ? c1 ( y1 )

利润最大化的一阶条件为:
? ?1 ? p( y1 ? y2 ) ? ? p( y1 ? y2 ) ? y1 ? c1 ( y1 ) ? 0. ? y1 ? y1

解y1 = R1(y2)是厂商1对于y2的古诺—纳什反应。

2016/9/2

中级微观经济学

110

类似的,给定厂商1的产量 y1, 厂商2的利润方程为:

? 2 ( y2 ; y1 ) ? p( y1 ? y2 )y2 ? c 2 ( y2 )
利润最大化的一阶条件为:

? ?2 ? p( y1 ? y2 ) ? ? p( y1 ? y2 ) ? y2 ? c 2 ( y 2 ) ? 0. ? y2 ? y2

解y2 = R2(y1)是厂商2对于y1的古诺—纳什反应。

2016/9/2

中级微观经济学

111

y2

厂商1的反应曲线 y1 ? R1 ( y2 ). 厂商2的反应曲线 y2 ? R 2 ( y1 ).

y* 2

古诺—纳什均衡为 y1* = R1(y2*) 及y2* = R2(y1*)

y* 1
2016/9/2 中级微观经济学

y1
112

反应曲线的几何推导——等利润线
在寡头垄断市场中,厂商1的等利润线包含 了所有保证厂商1获得等量利润?1的产量组 合 (y1,y2) 。 等利润线的形状如何呢?

2016/9/2

中级微观经济学

113

y2

厂商1的等利润线
在固定的产量水平 y1 ,厂商1 的利润随着厂商2的产量y2减少 而增加。

y1
2016/9/2 中级微观经济学 114

y2

厂商1的利润递增

y1
2016/9/2 中级微观经济学 115

y2

Q: 如果厂商2的产量为 y2 = y2’。 何种产量水平使得厂商1实现利 润最大?

y2’

y1
2016/9/2 中级微观经济学 116

y2

A: 那个和最高利润水平线相切 的点。

y2’

y1’
2016/9/2 中级微观经济学

y1
117

y2

?y1’ 是厂商1对于 y2 = y2’ 的最优反应。 y2’

y1’
2016/9/2 中级微观经济学

y1
118

y2

y2’

R1(y2’)
2016/9/2 中级微观经济学

y1
119

y2

y2”

y2’

2016/9/2

R1(y2’) R1(y2”)

y1
中级微观经济学 120

y2

y2”

厂商1的最优反应曲线穿 过厂商1的等利润线的最 高点。

y2’

2016/9/2

R1(y2’) R1(y2”)

y1
中级微观经济学 121

y2

厂商2利润递增的方向

y1
2016/9/2 中级微观经济学 122

y2

厂商2的最优反应曲线穿 过厂商2的等利润线的最 高点。

y2 = R2(y1)
y1
2016/9/2 中级微观经济学 123

古诺均衡的一个例子:线形模型
假定有两家厂商,他们面临的是线形需求 曲线p(Y)=a-bY,每家厂商的边际成本都 不变为c,计算古诺均衡中的产量。

2016/9/2

中级微观经济学

124

给定厂商2的产量y2 , 厂商1利润最大化要求 max [a ? b? y1 ? y2 ?] y1 ? cy1 y1 ? 0 令一阶导数等于零 , 解得厂商 1的反应曲线为: 1 y1 ? ?a ? c ? by2 ? 2b 同样的方法, 可以得到厂商 2的反应曲线: 1 y2 ? ?a ? c ? by1 ? 2b 联立, 可以求出厂商的古诺产 量为 : a?c y1 ? y2 ? 3b 厂商的利润为: a?c ? a ? c ?a ? c ? ? a ? c ?? p1 ? p 2 ? ? a ? 2 b ? ? c ? ? ?? ? 3b ? 3b 9b ? 3b ? ?
2016/9/2 中级微观经济学

2

125

古诺均衡的推广: n个厂商
可以将模型推广到n个厂商的情况 假定有n家厂商,他们面临的是线形需求曲 线p(Y)=a-bY,每家厂商的边际成本都不 变为c,计算古诺均衡中的产量。

2016/9/2

中级微观经济学

126

给定其他厂商的产量不 变, 厂商1利润最大化要求
n max ? ? ? a ? b? yi ? y1 ? cy1 y1 ? 0 ? i ?1 ?

令一阶导数等于零: a ? b?2 y1 ? y2 ? ? ? yn ? ? c ? 0 考虑到各厂商的成本相 等,产量必相等,即: y1 ? y2 ? ? ? yn a ? b?n ? 1? y ? c ? 0 可以求出厂商的古诺产 量为 : a?c y1 ? y2 ? ? ? yn ? ?n ? 1?b 均衡时的总产量为: n?a ? c ? Y? ?n ? 1?b 均衡时的价格为: a ? nc p? n ?1
2016/9/2 中级微观经济学 127

均衡时的总产量为: n?a ? c ? Y? ?n ? 1?b 均衡时的价格为: a ? nc p? n ?1 a?c ,产出 b 和价格趋向于完全竞争 时的均衡水平;当 n ? 1时, a?c a?c 该市场为完全垄断市场 ,p ? 且Y ? ; 2 2b 当n ? 2 时,该市场为古诺模型 所揭示的双寡头市场, 可以证明,当n ? ?时,p ? c且Y ? p?
2016/9/2

a?c 2?a ? c ? 且Y ? 3 3b

中级微观经济学

128

串谋
Q: 古诺—纳什均衡利润实现了行业中所有 厂商的总利润最大化了吗?

2016/9/2

中级微观经济学

129

y2

(y1*,y2*) 是古诺—纳什均衡组合。
存在能够使得两者的利润都更大 的产量组合(y1,y2)吗?

y2*

y1*
2016/9/2 中级微观经济学

y1
130

y2

y2*

y1*
2016/9/2 中级微观经济学

y1
131

y2

y2*

y1*
2016/9/2 中级微观经济学

y1
132

y2

利润?2更大 利润?1更大

y2*

y1*
2016/9/2 中级微观经济学

y1
133

y2

利润?2更大
y2*

y2’

利润?1更大

y1* y1’
2016/9/2

y1
中级微观经济学 134

y2

利润?2更大
y2*

y2’

利润?1更大

y1* y1’
2016/9/2

y1
中级微观经济学 135

y2

利润?2更大
y2*

(y1’,y2’) 比(y1*,y2*) 能够挣得更大利润。

y2’

利润?1更大

y1* y1’
2016/9/2

y1
中级微观经济学 136

所以两个厂商都有合作减少产量的利润激 励。 这就是串谋( collusion)。 相互串谋厂商就形成了卡特尔( cartel)组 织。 如果厂商形成了卡特尔,它们该如何行动 呢?

2016/9/2

中级微观经济学

137

假设两个厂商试图使两者的总利润最大化, 然后在两者之间分配。它们的目标将是选 择合作产量 y1 和 y2 以最大化利润

?m ( y1 , y2 ) ? p( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? c1 ( y1 ) ? c 2 ( y2 ).

2016/9/2

中级微观经济学

138

y2

利润?2更大
y2*

(y1’,y2’) 比(y1*,y2*) 能够挣得更大利润。

y2’

利润?1更大

y1* y1’
2016/9/2

y1
中级微观经济学 139

y2

(y1’,y2’) 比(y1*,y2*) 利润?2更大 能够挣得更大利润。
y2’ y2* y2”

利润?1更大 (y1’’,y2’’) 挣得更多。
y1” y1* y1’ y1
中级微观经济学 140

2016/9/2

y2

~ ~ (y1,y2) 使得厂商1的利润最大化,而 厂商2的利润停留在古诺—纳什均衡 利润水平。

y2*

~ y

2

2016/9/2

~ y1

y1*
中级微观经济学

y1
141

y2

~ ~ (y1,y2) 使得厂商1的利润最大化,而 厂商2的利润停留在古诺—纳什均衡 利润水平。
_ _ (y1,y2) 使得厂商2的利 润最大化,而厂商1的 利润停留在 古诺—纳什均衡利 润水平。
y1
中级微观经济学 142

_ y2* y2 ~ y
2

2016/9/2

_ y2 ~ y1* y1

y2

产量组合的连线是使得一个厂商 利润最大化,而另一个厂商至少 获得CN均衡利润的的产量组合集。

_ y2* y2 ~ y
2

2016/9/2

_ y2 ~ y1* y1

y1
中级微观经济学 143

y2

这些产量组合中至少有一个能够 实现卡特尔的联合利润最大化。 _ y2* y2 ~ y
2

2016/9/2

_ y2 ~ y1* y1

y1
中级微观经济学 144

y2

(y1m,y2m) 就是使得卡特尔 的联合利润最大化的组合。
y2* y2m

y1m y1*
2016/9/2 中级微观经济学

y1
145

厂商不可能因为串谋而境况变差,因为它 们可以合作选择古诺—纳什均衡产量从而 获得古诺—纳什均衡利润。 所以串谋实现的总利润至少和古诺—纳什 均衡利润一样大。

2016/9/2

中级微观经济学

146

使用线形需求的例子。 假如寡头垄断厂商可以 签订串谋的协议, 就像一个垄断厂商那样 行事,则: maxY ?a ? bY ? ? Yc 令一阶导数等于零,则 有: a ? 2bY ? c ? 0 a?c Ym ? 2b 2 ? ? a ? c pm ? 4b 如果两厂商平分产量和 利润, a?c a?c y1 ? y 2 ? ? y1 ? y2 ? 4b 3b 2 2 ? ? ? ? a ? c a ? c m p 1m ? p 2 ? ? p1 ? p 2 ? 8b 9b 很显然,串谋能够增进 利润。
m m
2016/9/2 中级微观经济学 147

? 串谋的结果肯定要好于库诺-纳什均衡的结

果,否则就没有必要串谋。 ? 问题:这样的卡特尔是否稳定?是否存在 相互欺骗的激励? ? 或者说如果一个企业遵守卡特尔的协议的 话,另一个企业会不会偷偷提高产量呢? 即如果厂商持续生产 y1m 单位产量, y2m 是使厂商2利润最大化的产量吗?

2016/9/2

中级微观经济学

148

厂商2对于 y1 = y1m 的利润最大化产量为 y2 = R2(y1m)。

2016/9/2

中级微观经济学

149

y2 y1 = R1(y2), 厂商1的反应曲线。

R2(y1m) y2m

y2 = R2(y1m) 是厂商2 对于 y1 = y1m的反应 曲线。

y2 = R2(y1), 厂商2的 反应曲线。

y1m
2016/9/2 中级微观经济学

y1
150

厂商2对于 y1 = y1m 的最大利润产量 y2 = R2(y1m) > y2m。 厂商2如果欺骗厂商1将其产量从y2m提升到 R2(y1m)将会增加自己的利润。 同样地,厂商1如果欺骗厂商2将其产量从 y1m提升到R1(y2m)也会增加自己的利润。

2016/9/2

中级微观经济学

151

y2

y2m

y1m R1(y2m)
2016/9/2 中级微观经济学

y1
152

因此,协议产量以获得最高利润的卡特尔 基本上是不稳定的。 例如OPEC的协议常常被破坏。 在卡特尔中,一个常用的防止卡特尔内企 业偷跑的做法是惩罚策略。

2016/9/2

中级微观经济学

153

惩罚策略(punishment strategy)
一家厂商可以对另一家厂商宣布,如果大 家合作,都生产协议产量,双方都可以获 得较高的卡特尔利润;如果不合作,生产 较多的产量,将永远生产古诺产量(获得 较低的古诺利润)来对你惩罚。 问题是,惩罚策略何时有效呢?

2016/9/2

中级微观经济学

154

惩罚策略
假定古诺利润为 p c ,卡特尔利润为 p m 。当然有 pc < p m 。 如果双方合作,通过生产卡特尔产量,从今天开 始,每期都可以获得 p m 。则
卡特尔产量利润= p m ?

pm
r

2016/9/2

中级微观经济学

155

惩罚策略
如果不合作,第一期生产一个较高的产量,可以 获得一个较高的利润 p d ,但以后将只能获得较低 的古诺利润 p c 。 因此,偏离卡特尔产量的利润为:
pc p 偏离卡特尔产量的利润= d + r

2016/9/2

中级微观经济学

156

惩罚策略
因此,惩罚措施有效、维持卡特尔的条件是:
维持卡特尔产量的利润〉偏离卡特尔产量的利润

pc pm pm ? ? pd ? r r 即: pm ?pc r? pd ?pm

2016/9/2

中级微观经济学

157

选择策略
直到目前为止厂商都是同时选择产量。 厂商之间的这类竞争是“同时博弈” (simultaneous play game) ,而产量是 策略变量。

2016/9/2

中级微观经济学

158

如果厂商1先选择产量,然后厂商2做出响 应的竞争模式是什么呢? 厂商1是产量领导者 (leader);厂商2是 产量追随者 (follower)。 这种竞争模式是序贯博弈( sequential game ),其中产量是策略变量。

2016/9/2

中级微观经济学

159

这类博弈是冯· 斯塔克尔伯格博弈( von Stackelberg games)。 它对领导者还是对追随者更有利呢?

2016/9/2

中级微观经济学

160

斯塔克尔伯格博弈 Stackelberg Games
Q: 对于领导厂商1已经选择的产量y1 ,追 随厂商2能够做出的最优反应是什么呢? A: 选择 y2 = R2(y1)。 厂商1对此非常清楚,而且能够完全预期到 厂商2对于其产量选择y1的可能反应。

2016/9/2

中级微观经济学

161

从而领导者的利润方程为: s ? 1 ( y1 ) ? p( y1 ? R 2 ( y1 )) y1 ? c1 ( y1 ). 领导者选择能够使其利润最大化的产量 y1 。 Q: 领导者能够实现至少和古诺—纳什均衡 利润相同的利润水平吗?

2016/9/2

中级微观经济学

162

A: 是的。领导者知道自己如果选择了CN产 量,其追随者就会选择CN产量。从而他将 获得CN利润。但是他不必如此,因此其利 润至少和CN利润一样多。

2016/9/2

中级微观经济学

163

举例说明
市场反需求函数为 p = 60 – yT。 厂商的成本函数为 c1(y1) = y12 及 c2(y2) = 15y2 + y22。

2016/9/2

中级微观经济学

164

厂商2是追随者,给定y1, 厂商2的利润函数为:
2 ? ( y2 ; y1 ) ? ( 60 ? y1 ? y2 )y2 ? 15y2 ? y2 .

所以,求解一阶条件: ?? ? 60 ? y1 ? 2y2 ? 15 ? 2y2 ? 0. ? y2 即厂商2对于给定的 y1 的最佳反应是 45 ? y1 y2 ? R 2 ( y1 ) ? . 4
2016/9/2 中级微观经济学 165

因此,领导者的利润方程为:
s 2 ?1 ( y1 ) ? ( 60 ? y1 ? R 2 ( y1 )) y1 ? y1 45 ? y1 2 ? ( 60 ? y1 ? ) y1 ? y1 4 195 7 2 ? y1 ? y1 . 4 4 领导厂商最大化利润的产量解为:

195 7 s ? y1 ? y1 ? 13 ? 9. 4 2
2016/9/2 中级微观经济学 166

s Q: 厂商2对厂商1的产量选择 y 1 = 13.9 将 作何反应? 45 ? 13 ? 9 s A: ys ? 7 ? 8. 2 ? R 2 ( y1 ) ? 4

CN 产量水平为(y1*,y2*) = (13,8),因此领导者 生产的比CN产量水平多,而追随者则生产的少 于CN产量。一般而言,这是符合实际的。

2016/9/2

中级微观经济学

167

y2

(y1*,y2*) 是CN均衡。
Higher ?2 Higher ?1

y2*

y1*
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y1
168

y2

追随者的反应曲线。

y2*

Higher ?1

y1*
2016/9/2 中级微观经济学

y1
169

y2

(y1*,y2*) 是CN均衡; (y1S,y2S) 是斯塔克尔伯格均衡。
追随者的反应曲线

y2* y2S

Higher ?1

y1* y1S
2016/9/2 中级微观经济学

y1
170

y2

(y1*,y2*) 是CN均衡; (y1S,y2S) 是斯塔克尔伯格均衡。
追随者的反应曲线
领导者能够实现至少 和古诺—纳什均衡利 润相同的利润水平! 这被称为领导者的

y2* y2S

先行优势!

y1* y1S
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y1
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价格竞争
如果竞争厂商仅仅使用定价策略,而非产 量策略将会如何? 厂商使用价格策略,并且同时选择的竞争 模式是伯特兰博弈(Bertrand games) 。

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中级微观经济学

172

伯特兰博弈
假设:
– 每个厂商的边际成本是常数 c。 – 所有厂商同时定价。

Q: 此时也存在纳什均衡吗? A: 的确存在一个纳什均衡。 所有厂商把其边际成本c作为销售价格。为 什么?

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中级微观经济学

173

假设一个厂商制定了高于其他厂商的价格。 高价厂商将会一个顾客也没有。 因此,均衡时所有厂商制定相同的价格。

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中级微观经济学

174

假定所有厂商同时制定一个高于c的相同的 价格。 此时,一个厂商只要稍稍降价就可以增加 利润。 唯一能够抵制降价的一般价格就是成本c。 因此这是唯一的纳什均衡。

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中级微观经济学

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价格领导博弈
如果不是同时选择价格策略,而是一个厂 商首先定价,而其他厂商追随其后,情况 如何呢? 定价策略中的序贯博弈叫做价格领导博弈 (price-leadership game)。 首先制定价格的厂商是价格领导者。

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中级微观经济学

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考虑一个作为领导者大厂商以及许多追随 的竞争型小厂商。 小厂商是价格接受者,所以其对于价格p的 供给函数为Yf(p)。

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中级微观经济学

177

市场需求函数为 D(p)。 所以价格领导者清楚一旦他制定了价格p, 其面临的需求数量是剩余需求(residual demand) L(p ) ? D(p ) ? Yf (p ). 追随者总共供给 Yf(p*) 单位产量,而领导 者供给剩余的D(p*) - Yf(p*)。

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中级微观经济学

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领导者的需求函数为:

L(p ) ? D(p ) ? Yf (p ).
领导者的利润函数为:

? L (p ) ? p( D(p ) ? Yf (p )) ? cL ( D(p ) ? YF (p ))
所以领导者将选择使其利润最大化的价格p* 。
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p

价格领导模型
(假设领导者拥有不变的边际成本)

市场需求曲线 追随者的供给曲线

领导者面临的需求曲线

p*

领导者的边际收益曲线 领导者的边际成本

yL* yT*
2016/9/2 中级微观经济学

y
180

价格领导模型:一个例子
假设反需求曲线是 D? p ? ? a ? bp。追随者有成本函数
2 y2 c2 ? y 2 ? ? , 领导者有成本函数 c1 ? y1 ? ? cy1. 2 对于任意价格p, 追随者都要在边际成本 等于

边际收益的地方经营 .
2 ? y2 ? d? ? 2 ? ? p ? MC2 ? ? ? ? y2 dy2

即, 追随者的供给曲线为 : y2 ? S ? p ? ? p.
2016/9/2 中级微观经济学 181

领导者面临的剩余需求 曲线为: y1 ? D? p ? ? S ? p ? ? a ? bp ? p ? a ? ?b ? 1? p 则领导者的反需求曲线 为: a 1 ? y1 b ?1 b ?1 1 ? a ? d [? ? y1 ? y1 ] a 2 b ?1 b ?1 ? MR1 ? ? ? ? y1 dy1 b ?1 b ?1 p? dc1 ? y1 ? dcy1 MC1 ? ? ?c dy1 dy1 令MR1 ? MC1,有: a 2 ? y1 ? c b ?1 b ?1 解之,领导者产量为: y1? ?
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a ? c?b ? 1? 2
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