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2.流体流动的基本方程-1


1.2 流体流动的基本方程 Basic Equations of Fluid Flow
1.2.1、流量与流速 (Rate of flow and Velocity) 1、定义 体积流量qv:单位时间流过管路任一截面的流体体积。 质量流量qm:单位时间流过管路任一截面的流体质量。 流速u:体积流量除以管截面积所得之商。(平均流速) 质量流速G:质量流量除以管截面积所得之商。 2、表达式及单位 (1)体积流量: qv =V/ ? (m3/s) (2)质量流量: qm=m/ ? (kg/s)=qVρ (3)流速: u= qv /A (m/s) (4)质量流速:G= qm /A= qv ? /A=u ? (kg/㎡s)
在管内同一横截面 上流体的流速是不 同的

3.输送管路直径的确定
qv qv qv u? ? ? A ? d 2 0.785d 2 4

d?

qV 0.785u

流量取决于生产需要,合理的流 速应根据经济衡算确定。
一般液体流速为0.5~3m/s,气 体流速为10~30m/s 1.2.2 稳定流动与不稳定流动 稳定流动:和流动有关的物理量,如速度、压力、密度 等不随时间而变化。 不稳定流动:和流动有关的物理量随时间而变化。

1.2.3 物料衡算—连续性方程 Mass balance—Continuity equation 对于稳定过程: 输入=输出 或 输入速率=输出速率
1 2

1

2

若流体不可压缩, ? =常数,则有

u1 A1 ? u 2 A2 ? qV ? 常数
u1 ? d 2 ? ? ?? ? u 2 ? d1 ? ?
2

以上称为一维稳定流动的连续性方程

? 2 ? 2 对于圆形管路,有: u1 ( d1 ) ? u 2 ( d 2 ) 4 4
流体在管内的流速与管径的平方成反比

1.2.4 总能量衡算

以质量为m千克的流体为基准

〈1〉内能mU

[mU]=kg (J/kg)=J [mgz]=kg(m/s2)m=J

〈2〉位能mgz

〈3〉动能mu2/2 [mu2/2 ]=kg(m/s)2= J
J
?2 2 ? 推力为:P ? p ? A ? N ? m ? m ? ? ? ?N ? ? m ? kg 流体走过的距离为:l ? ? ? m? 3 2? ?A ? ( kg m ) m ? ?

〈4〉压力能pV

所以做功为:P ? l ?

pA ? m mp ? ? pV ?A ?

? N ? m? ? [ J ]

〈5〉热mqe

[mqe]=kg(J/kg)=J

规定流体吸热为正,放热为负。 〈6〉功mhe [mhe]=kg(J/kg)=J 规定流体接受外功为正,向外界作功为负。

总能量衡算 从1-1截面输入的能量+由加热器和泵获得的能量=从2-2截面 输出的能量 2 u12 u2 mU1 ? mgz1 ? m ? p1V1 ? mqe ? mhe ? mU 2 ? mgz2 ? m ? p2V2 2 2 上式除以m, 并令V/m=v(比容),则有
2 u12 u2 U 1 ? gz1 ? ? p1v1 ? qe ? he ? U 2 ? gz 2 ? ? p2 v2 2 2

令Δ Y=Y2-Y1,则
Δu Δ U+gΔ z ? ? Δ ? pv ? ? qe ? he 2
2

每项单位为: J/kg

1.2.5 机械能衡算—柏努利方程 Mechanical energy balance—Bernoulli equation
1 假设:〈1〉流体是不可压缩的 即 ?1 ? ? 2 ? ? ? ? 〈2〉无热交换,即qe=0
〈3〉流体温度不变,则U1=U2
2 u12 u2 U 1 ? gz1 ? ? p1v1 ? qe ? he ? U 2 ? gz 2 ? ? p2 v2 2 2

〈4〉流体克服流动阻力而消耗的机械能为hf

将总能量衡算式简化为机械能衡算式:
2 u12 p1 u2 p2 gz1 ? ? ? he ? gz 2 ? ? ? hf 2 ? 2 ?

Δ(u 2 ) Δ p gΔ z ? ? ? he ? h f 2 ?

对于理想流体,且无外功加入,则有
2 u12 p1 u2 p2 gz1 ? ? ? gz 2 ? ? 2 ? 2 ?

柏努 利方 程

(1) 柏努利方程适用于:不可压缩理想流体、稳定流动。 讨论:
2 u12 p1 u2 p2 gz1 ? ? ? gz 2 ? ? 2 ? 2 ?

u2 p E ? gz ? ? ? 常数 2 ?

(2) 输送设备所作功

Pe ? qm he ? qV ? he
p p z ? ?z ? ?g ?g
1 2 1 2

kg J J ?Pe ? ? ? ? ? W s kg s

(3) 对于无外功加入的静止流体,he=0,u=0,hf=0, 则有

— 流体静力平衡的基本方程
密度ρ 取平均 值

p1 ? p 2 ? 20% (4) 可压缩流体,若: p1 2 u12 p1 u2 p2 gz1 ? ? ? he ? gz 2 ? ? ? hf 2 ? 2 ?

(5)柏努利方程 的其它形式

2 u12 p1 u2 p2 gz1 ? ? ? he ? gz 2 ? ? ? hf 2 ? 2 ?

2 2 J/kg u1 p1 u2 p2 z1 ? ? ? H e ? z2 ? ? ?Hf 2g ?g 2g ?g Δu2 Δp 单位为:m( 即:Δ z ? ? ? He ? H f 2g ?g J/N),表示 J ?z ? ? m ? ? ? ? 单位重量流体所具有的位能, 称为位压头 单位重量流体 N 具有的能量。 ? 2?

u ? ? ? ? ? 单位重量流体所具有的动能, 称为动压头 ? 2g ?

? p ? ? ?g ? ? ? ? 静压头 ? ?
2 u12 u2 ?gz1 ? ? ? p1 ? ?he ? ?gz 2 ? ? ? p 2 ? ?h f 2 2

单位为: Pa(J/m3),表示 单位体积流体 具有的能量。

实际流体机械能转化示意图

机械能转化演示

1.2.6 机械能衡算(柏努利方程)的应用 解:〈1〉求管内水的流速 例:水的虹吸, ∵he=0, hf=0 忽略阻力损失。 2 ? z1 ? u12 2 g ? p1 ?g ? z 2 ? u 2 2 g ? p2 ?g
B

u1=0, p1=p2=1.013?105Pa, z1=0.7m, z2=0
将已知数据代入上式得:u2=3.71m/s

A 1 1

C

2 总压头H ? z1 ? u1 2 g ? p1 ? g ? 11.03 m 0.5m 〈2〉求各截面上的压力 2 pA ? g ? H ? z A ? u A 2 g ? 9.63mH 2O

0.7m

pA ? 9.63? g ? 9.44 ?104 pa 2 pB ? g ? H ? z B ? u B 2 g ? 9.13mH 2O

2-2

pB ? 9.13? g ? 8.95 ?104 pa 2 pC ? g ? H ? zC ? uC 2 g ? 9.63mH 2O
pC ? 9.44 ?104 pa

例,已知输水量为15m3/h,

管径53mm,总机械能损 失为40J/kg,泵的效率 0.6,求泵的轴功率。
P2=500 kN/m2

解:取池内水面为截面1,作为基 准面;输水管出口为截面2,则有 z1=0,z2=20m,p1=0,p2=500×103Pa 15 3600 u1=0, u2 ? ? 1.89m / s 2 (? 4)(0.053) h f ? 40 J / kg,? ? 0.6
gz1 ? u12 2 ? p1 ? ? he ? gz2 ? u22 2 ? p2 ? ? h f

20m

代入数值,得he=738J/kg 质量流量: qm=(15/3600)(1000) =4.17kg/s

P1=0(表压)

有效功率:Pe= qmhe=4.17×738 =3080J/s=3.08kw

泵的轴功率: P ? Pe ? ? 3.08 0.6 ? 5.13kW

机械能衡算式应用步骤及注意问题
(1)定出上、下游截面1与2,要求两截面之 间的流体必须是连续不间断的。

(2)定出基准水平面。若所选截面不呈水平, 则 Z值可取该截面中心点至基准水平面 的垂直 距离。
(3)注意使用一致的单位。 (4)衡算范围内的阻力损失和外加功不能遗漏。



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