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对数概念


对数的概念
广东仲元中学2004.10

引入: 1.庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭。 (1)取4次,还有多长? (2)取多少次,还有0.125尺? 2.假设2002年我国国民生产总值为a亿元, 如果每年平均增长8%,那么经过多少年国 民生产总值是2002年的2倍? 抽象出:1 (1).? 1 ? ? ? (2).? 1 ? ? 0.125?

x ? ? ? ? ? ? ?2? ? 2?
4

x

2.?1 ? 8%? ? 2 ? x ? ?
x

这是已知底数和幂的值,求指数! 你能看得出来吗?怎样求呢?

3.在式子2 = 中, 16
4

有三个数2(底),4(指数)和16(幂) (1)由2,4得到数16的运算是 乘方运算。

记为: = 2 16
4

(2)由16,4得到数2的运算是 开方运算。

记为: ? 2 16
4

(3)由2,16得到数4的运算是 对数运算!

记为:log216 ? 4

定义: 一般地,如果 的b次幂等于N, 就是

a?a ? 0, a ? 1?
,那么数 b叫做

a ?N
b

以a为底 N的对数,记作 loga N ? b a叫做对数的底数,N叫做真数。

例如:

4 2 ? 16
102

4

1 2

10?2

? log 16 ? 2 ? 100 ? log 100 ? 2 1 ? log 2 ? 2 ?2 ? 0.01 ? log 0.01 ? ?2
4
10
4

10

探究: ⑴负数与零没有对数(∵在指数式中 N > 0 ) ⑵ loga 1 ? 0, loga a ? 1
0 a ? 0 且 a ? 1 都有 a ? 1 ? loga 1 ? 0 对任意

a ? a ? loga a ? 1
1

⑶对数恒等式
如果把 a b ? N 中的 b写成 则有

loga N

a

loga N

?N

⑷常用对数: 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 为了简便,N的常用对数 log10 N 简记作lgN。
log 例如: 10 5 简记作lg5;log10 3.5 简记作lg3.5.

⑸自然对数: 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数,以e为底的对数叫自然对数。 为了简便,N的自然对数 loge N 简记作lnN。 例如:loge 3 简记作ln3 ; loge 10 简记作ln10 (6)底数a的取值范围: (0,1) ? (1,??) 真数N的取值范围 :

(0,??)

讲解范例 例1 将下列指数式写成对数式:

5 ? 625? log5 625 ? 4 1 1 ?6 ? log 2 ? ?6 (2) 2 ? 64 64 (3) 3a ? 27 ? log3 27 ? a m ?1? (4) ? ? ? 5.13 ? log1 5.13 ? m 3 ? 3?
(1)
4

讲解范例 例2 将下列对数式写成指数式: (1) log1 27 ? ?3 ?

1 ? ?3 ? (2) log 5 125
(3) ln 10 ? 2.303 ? (4) lg 0.01 ? ?2 ?

3

?1? ? ? ? 27 ? 3? 1 ?3 5 ? 125
e
2.303 ?2

?3

? 10

10 ? 0.01

讲解范例 例3计算:(1) log9 27
9 x ? 27, 解法一:设 x ? log9 27, 则
log9 27 ? log9 33 ? log9 9 ?
3 2

3 ?3 ,
2x 3

解法二:

3 2

3 ?x? 2

(2) log4 3 81 x x 解法一:设 x ? log 3 81 则 ?4 3 ? ? 81, 3 4 ? 34 ,
4

? x ? 16

解法二:

log 4 3 81 ? log 4 3 ( 4 3 )16 ? 16

讲解范例

例3计算: (3)log ?2? 3 ? 2 ? 3

?

解法一: 设 x ? log ?2? 3 ? 2 ? 3
x ?1

?

?

?
?1

则 ?2 ? 3 ? ? 2 ? 3 ? ?2 ? 3 ? , ? x ? ?1 解法二: log ?2? 3 ? ?2 ? 3 ? ? log?2? 3 ? ?2 ? 3 ? ? ?1 (4)

log3
4 x

解法一:设 则
3

? 5 ? ? 625,
54

x ? log3
5

5

4

625
4 x 3

5

4

625
? 54 , ? x ? 3
5

解法二: log3

625 ? log3 4 (3 54 ) 3 ? 3

练习 1.把下列指数式写成对数式 (1) (2)

2 ?8?
3 5

log2 8 ? 3

2 ? 32 ? log2 32 ? 5 1 ?1 (3) 2 ? ? log 2 1 ? ?1 2 2
(4)

27

?

1 3

1 1 1 ? ? log 27 ? ? 3 3 3

练习 2 将下列对数式写成指数式: (1)

log3 9 ? 2 ?

3 ?9
2

(2) log5 125 ? 3 ?

5 ? 125
3

1 (3) log 2 ? ?2 ? 4 1 ? ?4 ? (4) log 3 81

1 2 ? 4 1 ?4 3 ? 81
?2

练习 3.求下列各式的值 (1) (2) (3) (4)

log5 25 ? 2 log25 25 ? 1
lg10

?1

lg 0.01 ? ?2

(5)
(6)

lg 1000 ? 3 lg 0.001? ?3

练习 4.求下列各式的值 (1) (2) (3) (4)

log0.5 1 ? 0
log9 81 ? 2 log25 625 ? 2
log3 243 ? 5
lg4 64 ? 3

(5)
(6)

log 2 2 ? 2

小结 :

定义:一般地,如果

a?a ? 0, a ? 1?
,那么数 b叫做

的b次幂等于N, 就是

a ?N
b

以a为底 N的对数,记作 loga N ? b a叫做对数的底数,N叫做真数。

课后作业:


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