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2013年全国高中数学联赛山西赛区预赛


2 6  

中 等 数 学 

2 0 1 3 年全 国高中数学联赛 山西赛区预赛 
中图分类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 :A   文章编号 : 1 0 0 5—6 4 1 6 ( 2 0 1 4 ) 0 3— 0 0 2 6~ 0 3  

填空题( 每小题 8 分, 共6 4分 )

  1 . 将全体正整数从小到大一个接 一个地顺次  写成一排 , 则从左至右第 2   0 1 3 个数字为— — .   2 . 若从椭 圆中心 到焦点 、 长轴顶 点及 到准线  的距离之长可组 成一个直 角 三角形 , 则该 椭 圆的  离 心 率 为— — .   3 . 在 正四棱锥 P— A B C D中 , 已知 P A= 5 , A B   6 , M 是△ P A D的重心. 则四面体 MP B C的体积  为— — .  
? 一



l 0 . ( 2 0分 ) 已知数列 } a   } 满足 
1  

n l = 1   + l = l + ÷  0 & .  
,   = I  

( 1 ) 写出数列前七项 的值 ;   ( 2 ) 对任 意的正整数 n , 求“  的表达式.  
1 1 . ( 2 0分 ) 已知盒 子中装 有红色 、 蓝色纸 牌 



各1 0 0张 , 每种颜色纸牌均 含标 数为 l , 3 , 3   , …,  
3   的纸牌各一张, 两种颜色纸牌 的标数总和记为 s .  

4 . 函数  =  
] 一 t : U 

的最大值是— — .  

对 于给定 的正 整数 n , 若 能从盒 子 中取 出若  干张纸牌 , 使其标数之和恰为 凡 , 则称其 为一 种取 
牌“ n ~方案” . 记不 同的 n 一方案种数 为f ( n ) . 试 

5 . 用[ a ] 表示 不超过 实数 a的最 大整数 , 记  { a } = a一[ a ] ( a∈ R+ ) . 若 n 、 [ Ⅱ ] 、 { a} J l 顷 次组  成等 比数列 , 则 a= ——一 .   6 . 已知 口 、 b 、 c 是不 同的正整数. 若集合 
{ a + b , b + c , c + 0 } ={ n   , ( 几 十 1 )   , ( , l + 2 )   } ,   其中, n∈ Z+ . 则a   + b   + c   的最小值为— — ~ .  
20 1 3  
— —

求  1 ) +  2 ) +… + _ 厂 ( s ) 的值.  

参 考 答 案 




1./ .  

7 . 函 数f ( x ) = ∑I x — k l 的最小值为— — .  
8 . 已知 s i n   +s i n   =s i n   Y,   C O S   +C O S 卢= 一C O S   Y .  

全体一位数共 占 9个数位 , 全体两 位数 共 占   2 × 9 0=1 8 0个 数位 , 接 下来 是 顺次 排 列 的 三位  数. 由于 2   0 1 3 — 9— 1 8 0: 1   8 2 4 , 而L  : 6 0 8 因 


贝 0   c o s   + c o s  + c o s   Y=   二、 解答题 ( 共5 6 分)   9 . ( 1 6分 ) 如图 1 , 已知过△ A B C的三个 顶点  B 、 C各作其外 接圆的切线 , 分别 与相应顶点 的  对边所在直线交 于点 D、 E、 F . 证 明: D、 E、 F三 点  共线.  


为6 0 8 + 9 9= 7 0 7 , 所 以, 第2   0 1 3 个数字是三位数  7 0 7的末位数字 7 .  
2 .  ̄

/ , / 5 - - _ - 1 一 .  
=   .  

又 c  +b  =0  j   a b+b  =a 。  

詈 =   .  
于是 , 。  
D  C  
^  ̄ c2   o   一 a
D  
.  

从而 , e =   = ̄ 3   嗣 
如 图 2. 设 

/ f 5 - 1 一 .  

与 D 交 于 点 Ⅳ I  

2 0 1 4年 第 3期 

2 7  

P 

从 而 ,   : 掣 .  
所以,  :  +  :  
C  

.  

6 . 1   2 9 7 .  

由n   +( n十1 )  +( n+ 2)  =2( a+b+c ) 为 

偶数 , 知 、 n +1 、  + 2中有两个奇数一个偶数 , 即 
为奇数.  
 ̄ i ] P N=   一  
显然 , n>1 .  

设P H是四棱锥 P— A B C D 的高. 则 
朋 =

不 妨 设 a<b< c .   若 n=3 , 则 由 
a +b=9, a +c=1 6, b+c=2 5   =   a +b+C=2 5 .  

√  一 (   )   =   .  
.  

因为 S 正 方 形 彻 ∞ =3 6, 所以, S  B c=1 8 .  

此时, a = O , 矛盾.   从而, n >5 I .  
当 n= 5时 , 由 
a +b=2 5, a +c=3 6, b+C=4 9  
j  a =6, b=1 9, C=3 0 .  

故 醐 体   =   1× 1 8 ×   = 6  

又两 P M= 了 2 于是 ,  


四面体 

c=

鲁  面 体   c = 4  .  

此时 , a  +b  十C  =1   2 9 7 .  
7 . 1   0 1 3   0 4 2 .  

4 .  

.  

注意到 , l , 2 , …, 2   0 1 3的中位数 为 1   0 0 7 .   注意 到 , 函数 式 可 视 为 定 点 ( 3 , 4) 与 动 点  于是 , 当  =1   0 0 7时 , 函数取得最小值 

( C O S  , s i n  ) 连线的斜 率 , 而动点 ( C O S  , s i n  ) 的 
轨迹是一个 单位 圆. 。   设过点( 3 , 4 ) 的直线方程 为 
Y- 4=k ( x一3 )=  y—k x+( 3 k一 4 )=0 .  

- 厂 ( 1   0 0 7 ) = 2 ( 1 + 2十 … +1   O O 6 )  
=l   0 0 6 ×1   0 0 7 =l   0 1 3   0 4 2 .  

8 . ÷.  
将条件式平方得 
s i n   O t +s i n   卢+ 2 s i n  ? s i n卢:s i n  ,  
c o s   +c 0 s   + 2 c o s  ? c o s 卢=c o s  .  

当斜率取最大值 时 , 该 直线应 是单位 圆 的一  条切线. 于是 , 原点到该 直线距离 为 1 .   故l 3 . 1 } _ 4 I :   =   .  

两式相加得c o s (  一   ) =一 ÷;  
两 式 相 减 得 

因此 。 函数的最大值为  4   .  

C O S   2 T  C O S   2  + C O S   2  + 2 c o s ( O t + 卢 )  
2  

= 2 c o s (  + 卢 ) ? C O S ( 0 c 一 卢 ) + 2 c o s (  + 卢 )   = C O S (  + 卢 ) .   故C O S 。  + C O S   卢+ c 0 s   7  


设{ a } = 0 ( 0   E[ 0 , 1 ) ) , [ a ]: k .   由题意知 0 > 0 , k > 1 , 且口 { 0 } =[ a ]  
( 0+k ) 0=k  
j  +k O—k  =0  



j  :  

( 负值舍去 ) .  


由于 0<0<1 . k为 正 整数 , 于是 , k=1 .  

丢 + 丢 ( c 。 s   2 a + c o s  + c 。 s   2 T )   吾 +   [ 2 c 。 s (   一 卢 )  ̄ C O S ( O r +   ) + c 。 s   2   ]   吾 +   [ 一 c 。 s (   + 卢 ) + c 。 s   2 y ] = 吾 .  

中 等 数 学 

二、 9 . 由梅涅劳斯定理 的逆定理 , 只需证明 :  
BD C E AF 1   DC   E A  F B一  。  
. .


+   + 了  ’ 。 +  

‘  



1 1 . 将盒子 中的纸牌按 标数从小 到大 的顺 序 
排成 一 列 
1 , l, 3, 3, 3  , 3  , … , 3  , 3  ,  

由弦切角关系知 
B A D =   AC B=   AB E,   A BC =   ACF .  

由A B A D∽ A A C D, 得 
一   一

值相等 的两项不 同色 , 对 于每个 k ( 1 ≤k ≤1 0 0 ) ,  
数列前 2  项之和小于 3   , 故 形如 3  的项 必从两 

D C— s  D G — l A c  
同理 , 由△ C E B∽A  B E A , A  C F A∽ △ B F C   分别得 
C E  S A B C E   C\  

f  

个3  中选 出( 任何其他项 的和不等于 3   ) . 于是 ,  
选出一个 3  有 两种方 法 , 同时选 出两 个 3  只有 


种方法.  

. s ^ 心
AF


\ A B /’  


对于集合 A={ 0 , 1 , …, s } 中的每个数 m, 可 

f   c a I   F B — s  8 一 \ B C l ‘  
一  

将其表示为含有一百个数位的三进制形式 
m    ̄9 9 a9 8… 00 ,  

故   B D ? 筹 ? 篙  
因此 , D、 E、 F三点共线.  



,  =口 o+ 3 口 l +3 2 a 2 +… + 3 9 9 0 9 9 ,  

其 中, 口   ∈{ 0 , 1 , 2 } , i = 0 , 1 , …, 9 9 .  

1 0 . ( 1 ) 顺次算 出  
l , n : =2  ̄ , a 3   5, Ⅱ 4
3 7   1 9 7  
=   ,  

若在 口 。 , 0   一 , o 呻中恰 有 k个 为 1 ( 其 余 的 
1 0 0 一 k 个数为 0 或2 ) , 则  m) = 2   ( 这是 因为每 
个1 有红 、 蓝两种选取方 案) .  

2 0 7  

现将集合 A分解为 
A =A 0 U A1   U … U A1 0 o ,  

口 5  

, 口 6  丽 , 口   丽 。  

( 2 ) 注意到 ,  
。   : l+   ,  

其中 , 集合 A   中 的每 个数 m 在表示 成上述 三进  制形式后 , 其系数 n 。 , 0   一 , 0   恰有 k个为 1 ( 其  余的 1 0 0 一  个数为 0或 2 ) , 因此 , 集合 A  中共有 

l +  
贝 0 口   + 1 一 。  
0 l+ 02 + …

}  .  
+ 0 n  口l + 口2 + … + 口n


2 1 0 0 - k c  个数 ( 这是 因为从 。 。 , 口   一 , 0 呻 中选取 k  

个为 1 , 有c  种选法 , 其余的 1 0 0一 k 个数每个可 
1  

取作 0或 2 , 有2 1 0 0 - k 种方法) .  

——— ~


一 —— =r—  

这样 , 集合 A   中各数 的厂值之和为 

+ / 1   0 l +  + …+ 口 n 一 1  a l + a 2 + …+ 口   一 l  
=  

∑ m ) = 2   x 2   c  - - - 2  c 。 k ∞ .  
『 n ∈A  

n ( \   +   凡 一   1   』 )   +  
…  )  
l  

由于集合 A 。 ,  
m ∈A   m∈ A 0  

一 , A 。 ∞ 两两不相交 , 从而,  
m ∈AI   m∈ ^ 曲 

∑ m ) = ∑ m ) + ∑厂 ( m ) + . . . + ∑ m )  


)  

2  ( c  + c : 。 。 + …+ c :   )  
2 。 ∞ ×2   。 。=2   。 。
.  


●  



 

注意至 4 , 0 = O+ 0× 3 + 0× 3   +… + 0   X   3  , 即 

故0   = 口 。 + ∑(  , 一 口   )  


数列 中的每个数均不选 , 其方案数  0 ) =1 , 故 
1 ) +  2 ) +… +  s )= 2   。 。 一 1 .  

1 + ( 1 +   1 +   1  ? +   1 )  

( 王



提供 )  


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