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金属杨氏弹性模量的测定


2005 级实验物理讲稿

孙文斌

实验 12 金属杨氏弹性模量的测定
杨氏模量是描述固体材料抵抗形变能力的重要物理量,是一个在机械设计及材料性能研究中,必须 考虑固体材料性质的重要力学参量。因此,测量材料的杨氏模量意义重大。 【实验目的】 1. 学习用拉伸法测量金属丝的杨氏弹性模量。 2. 掌握用光杠杆法测量长度微小变化的原理

及方法。 3. 学会用逐差法处理数据。 【实验仪器】 杨氏模量仪、光杠杆、镜尺组(包括望远镜和标尺)、钢卷尺、螺旋测微计。 【实验原理与方法】 (1)杨氏模量定义与物理意义 在外力作用下固体所发生的形状变化,称为形变。形变可分 为弹性形变和范性形变两类。外力撤除后物体能完全恢复原状的 形变,称为弹性形变。 如果外力过大,致使外力撤除后物体不能完全恢复原状而留 下剩余形变,就称为范性形变。 本实验中,只研究弹性形变。因此,应控制外力的大小,以 图 1 保证外力撤除后物体能完全恢复原状。 本实验研究最简单的一种形变,即棒状物体(金属丝)仅受沿长度方向的外力作用而发生的伸长形 变(称拉伸形变) 。 如图 1 所示,设一粗细均匀的金属丝,长度为 L,横截面积为 S,将其上端固定,下端悬挂砝码,于 是,金属丝受外力 F 的作用而发生形变,伸长了△L。 定义: 比值 F/S 是金属丝单位面积上所受到的作用力,称为应力,它决定了物体的形变; 比值△L/L 是金属丝单位长度上的形变,称为应变,它表示金属丝形变的相对大小。 根据胡克定律,在物体的弹性限度内,应力与应变成正比,即
F ?L =Y ? S L

(1) (2)

其比例系数:

Y=

F/S ?L / L

称为杨氏弹性模量,简称杨氏模量。式中各单位均用SI单位时,Y的单位为N/m2。由于形变△L/L无量纲, 故杨氏模量(Y)和应力(F/S)具有相同的量纲。 杨氏模量仅决定于物体材料的性质,与物体的几何尺寸(S,L 等)以及外力(F)作用的大小无关,对一 定的材料而言,Y 是一个物理常数。它的物理意义为:产生单位应变所需要的应力大小,即物体发生的 弹性形变的难易程度。Y 越大,使物体发生一定的弹性形变所需的应力越大,或在一定的应力作用下所 产生的弹性形变越小,即刚度越大。由此可见,它对于机械设计及材料性能研究的重要性。

金属杨氏弹性模量的测定

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(2)杨氏模量测量

设金属丝的直径为 d,则 S =

πd 2
4

,将此式代入式(2),得:
Y = 4 FL

πd 2 ?L

(3)

式(3)的右端各量中 F、L、d 均可用一般方法测得,但伸长量△L 是一个微小变量,很难用一般方法测得。 因此本实验的关键问题就是如何测准△L 的问题。我们采用光杠杆镜尺法可解决这个问题。 (3)光杠杆镜尺法测量微小长度变化的原理:(演示)

图 2 用光杠杆测扬氏模量装置图

如图所示测量时,将光杠杆两前足尖f2、f3(如图 3 所示)放在平台上的横槽内,后足尖f1放在小圆 柱体下夹头的上面,镜面M垂直平台。将望远镜对准镜面时,能从望远镜中看到标尺在镜中之像,并可读 出与望远镜叉丝横线相重合的标尺读数。设未增加砝码时,平面镜M的法线与望远镜轴线一致,从望远镜 中读得的标尺读数为N0。 当增加砝码时, (如图 4 所示)金属丝伸长△L,光杠杆后足尖f1随之下降△L, ' 平面镜M转过α角至M 位置,平面镜法线也转过α角,从N0发出的光线被反射到标尺上某一位置(设为 N2) 。根据光的反射定律,反射角等于入射角,即∠N0ON1=∠N1ON2=α(ON1为平面镜转过α角后的法线 位置) , 所以∠N0ON2=2α。 由光的可逆性原理, 2发出的光经平面镜M'反射后进入望远镜而被观察到。 从N 从图中的几何关系可得:
tgα = ?L b tg 2α = ?N D

式中D为标尺到平面镜的距离(D=ON0),△N为标尺两次读数的变化量,此处 ?N = N 2 ? N 0 。

图3

图4

因△L 很小,且△L<<b,故α很小,所以 金属杨氏弹性模量的测定

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孙文斌

tgα ≈ α ≈
tg 2α ≈ 2α ≈

?L b
?N D

(4)

(5)

由式(4)和(5)消去α得: 即:

?L ?N = b 2D ?L = b ? ?N 2D

(6)

此式即为光杠杆测量微小伸长量的原理公式。此式还可写成:
?N = 2D ? ?L = K ? ?L b

(7)

式中 K=2D/b 是光杠杆的放大倍数。实验中 b 为 4~8 厘米,D 为 1~2 米,放大倍数可达 25~100 倍。这 光学放大方法,称为“光杠杆放大法” 。这种方法不但可以提高测量的准确度,而且可以实现非接触测量。 (4)测量公式: 将式(6)代入式(3)得杨氏模量 Y 的测量公式:

Y=

8 FLD πd 2 b?N

(8)

式中 L:待测金属丝的长度; D:标尺到平面镜的距离; d:金属丝的直径; b:光杠杆后足尖到两前足尖连线的垂直距离; F:待测金属丝沿长度方向所受的外力; △ N:标尺读数的变化量。 【主要仪器介绍】 本实验的整个装置由三部分组成: (a). 杨氏模量仪 杨氏模量仪如图 2 所示。三角底座上装有两个立柱和三个调整螺丝,调节调整螺丝可使立柱与地面 垂直。立柱的上端装有横梁,横梁中间小孔中有个上夹头 A,用来夹紧金属丝 L 的上端。立柱的中部有 一个可以沿立柱上下移动的平台 C,用来承托光杠杆 M。平台上有一个圆孔 b 和一条横槽,圆孔中有一 个可以上下滑动的小圆柱形的下夹头 B,用来夹紧金属丝的下端。下夹头下面挂一砝码托盘,用来承托使 金属丝拉长的砝码。 (b). 镜尺组 镜尺组包括在一个支架上安装的望远镜 R 和标尺 S,望远镜水平安装,标尺贴近望远镜,竖直安装, 与被测长度变化方向相平行。 (c).光杠杆 如图 3 所示,光杠杆是将一小圆形平面反射镜M固定在下面有三个足尖f1、f2和f3 的“T”形三角支 架上,f1、f2、f3三点构成一个等腰三角形。后足尖f1到前足尖f2、f3连线的垂直距离b称为光杠杆的杆长。 【实验操作】 1、调节仪器: (1) 调节支架底座的三个螺丝,使支架垂直(即平台水平),并使夹持钢丝下端的夹头(小金属园柱体) 能在平台小孔中无摩擦的自由活动。可以借助水平仪来调节。 (2) 将光杠杆放在平台上,两前足尖放在平台的沟槽中,调节后足尖,使其放在下夹头的上表面,不 金属杨氏弹性模量的测定

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得与钢丝相碰,不得放在夹子和平台之间的夹缝中, (以使后足尖能随下夹头一道升降,准确地 反映出钢丝的伸缩。 )然后调节小平面镜垂直平台(粗调) 。 (3) 调节望远镜标尺至光杠杆平面镜的距离为 1.5~2m。 (4) 调节望远镜与小平面镜大致等高。 (先用钢卷尺测量一下平面镜离地面的高度,然后再用钢卷尺 测量并调节望远镜的高低与此大致等高。 ) (5)移动望远镜,使其垂直对准平面镜,并使望远镜上方两端的缺口准星与平面镜三点成一直线。 (6)从镜尺之间,沿望远镜中轴线等高方向看平面镜,是否能观测到望远镜“物镜”的像?调节望 远镜的位置倾斜度和平面镜的倾斜度,直到能观测到望远镜“物镜”的像。 (说明望远镜基本垂直 望远镜。 ) (7)沿望远镜轴线方向,在平面镜中寻找直尺的像;“外视” ( ,移动望远镜、直尺。 )并望远镜上方 两端的缺口准星与平面镜内直尺像三点成一直线。 (8)望远镜调焦( “内视”。先调节目镜,使叉丝清晰;后调节物镜(转动右边手轮) ) ,使标尺像清 晰且无视差。 2、测量数据: (1) 测量标尺读数 N 从“0“公斤开始读标尺读数N1,以后在砝码托上每增加一个砝码 (1 公斤),读一次Ni值(读到mm的 小数点后一位),直到 6 个砝码全部加完。然后再将砝码从砝码托上一个个取下,分别记录相应的减砝码 读数 N i′ 。
砝码 F(Kg) 标尺读数Ni(mm) 增重时Ni 减重时Ni?

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 (2) 测量 D,L,b,d

27.0 31.9 36.3 40.9 45.1 49.9 54.4

27.0 32.0 36.4 40.9 45.3 50.1 54.4

b(mm) 71.0
操作指导:

?b(mm)
1.0

L(mm) 64.0

△L(mm) 2.0

D(mm) 1510.0

△D(mm) 5.0

测量 D 时,将钢卷尺的始端放在平台上的沟槽里,另一端水平拉长对齐标尺。 测量 L 时,钢卷尺的始端放在钢丝下夹头的上表面,另一端对齐上夹头的下表面。 测量 b 时,将白纸平整地放在桌面,光杠杆平放在纸上,轻轻压出三个足尖的痕迹,量出后足尖 至两前足尖的垂直距离即为 b。 螺旋测微计的零点值 d0= -0.005 mm
次数

仪器最大误差△d =0.01mm 3 4 5 0.600 6 0.598

1

2

di(mm) 0.602 0.603 0.597 0.597 操作指导:测量 d 时,用螺旋测微计在钢丝的不同部位共测量 6 次。 【数据处理】 金属杨氏弹性模量的测定

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1.增减砝码时标尺读数的数据处理。 ? 仪=0.05mm
砝码 F(Kg) 标尺读数Ni(mm) 增重时Ni 减重时Ni? 平均读数(mm) N + N i′ Ni = i 2 逐差值(mm)

?N i = N i +3 ? N i
13.90 13.25 13.65

?(?N)i (mm)

(?(?N)i)2 (mm2)

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
3

27.0 31.9 36.3 40.9 45.1 49.9 54.4

27.0 32.0 36.4 40.9 45.3 50.1 54.4
2

27.0 32.0 36.4 40.9 45.2 50.0 54.4

0.30 -0.35 0.05

0.0900 0.1225 0.0025
mm

?Ν = 13.6

∑ (?(?N ) )
i =1 i

3

2

= 0.2150 mm2

S ?N =

∑ ( ? ( ?N ) )
i =1 i

3(3 ? 1)

=

0.19mm

? ?N)B = 2? 仪 =0.071mm (

由于A类不确定度表达式为: u A

= t p u A∞ ,其中

附表:分布系数 t 与测量次数 n 的关系 t P 0.68 0.90 0.95 0.99 n 3 1.32 2.92 4.30 9.93 4 1.20 2.35 3.18 5.84 5 1.14 2.13 2.78 4.60 6 1.11 2.02 2.57 4.03 7 1.09 1.94 2.46 3.71 8 1.08 1.86 2.37 3.50 9 1.07 1.83 2.31 3.36 10 1.06 1.76 2.26 3.25 15 1.04 1.73 2.15 2.98 20 1.03 1.71 2.09 2.86 1 1.65 1.96 2.58



即:UA(95%)=4.30×0.19=0.82mm ? ?N)不确定度为: (

? ?N) ?2A+?2B =0.83mm , E ?N = = (
2. 钢丝直径 d 的数据处理

? ?N) ( ?N

= 6.1%

螺旋测微计的零点值 d0= -0.005 mm 次数 di(mm) d (mm)
1 2 3 4 5 6
? dA =

d = d -d0= 0.6045 mm ?d i(mm) (?d i ) 2 (mm2) 0.0025 0.0035 -0.0025 -0.0025 -0.0015 0.0005 0.0000062 0.0000122 0.0000063 0.0000063 0.0000023 0.0000002

0.602 0.603 0.597 0.597 0.598 0.600 0.5995

∑ (?d )
i =1 i

6

2

(n ? 1)

=

0.0027mm , ? B=? 仪 = 0.005(mm)

? d= ?2A+?2B =0.0057mm , E d =
3. b , L , D 的数据处理

?d = 0.95% d

金属杨氏弹性模量的测定

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孙文斌

b(mm) 71.0

?b(mm)

L(mm) 640.0

△L(mm)

D(mm) 1510.0

△D(mm)

1.0

2.0

5.0

? b = 1.0mm , Eb =

?b = 1.4% ; b ? ? L = 2.0mm ; E L = L = 0.32%; L ? ? D = 5.0mm , E D = D = 0.34% D

4.杨氏模量 Y 的数据处理

Y=

8 FLD

πbd ?N
2 2

= 2.0505×1011N/m2

根据不确定度传递公式可得:

EY = E F + E b2 + E L + E D + 4 E d + E ?N = 6.6% (其中EF=0)
2 2 2 2

? Y = YEY = 0.14×1011N/m2
测量结果表达式:

?Y = (2.1 ± 0.2) × 1011 N / m 2 ? ?E Y=6.6%
【实验结论】 本次实验测得钢丝的杨氏模量为 ( 2.1 ± 0.2) × 10 N / m
11 2

【注意事项】 1、系统调节好后,在测量过程中,不能碰动仪器。如光杠杆不能碰触,望远镜支架不能移动,读数时手 不要握住望远镜筒等,以免引起状态的变化。 2、加减砝码时要轻拿轻放,避免晃动,待稳定后读数。因为用逐差法需要偶数组数据,从 0 公斤到 5 公 斤已有 6 组数据,再加第 6 公斤砝码的作用是可以取得减重时第 5 公斤砝码的数据的。 3、用逐差法处理数据时注意有关量的对应关系,本实验中注意两个变量 F、 ?N 的对应关系。 4、调节前,应确定钢丝是否夹紧,测量平台是否水平、铅直。这些操作请指导老师协助。

金属杨氏弹性模量的测定


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