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第十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试


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第十三届“希望杯”全国数学邀请赛
高一 一.选择题 1. 已知 M ? {x | x 2 ? 4}, N ? {x | x ? 3} ,则下列等式中正确的是---------------------------( ) (A)) M ? N ? {x | x ?

?2} (B) M ? N ? R 2.设 g ( x) ? 1 ? x ,且当 x ? 1 时, f [ g ( x )] ? (A)2 (B)1 (C) M ? N ? {x | x ? 3} (D) M ? N ? R 第1试

x 1 ,则 f ( ) 等于-------------------------( ) 1? x 2 1 (C) (D)0 3

3.设 f1 ( x) ? f ( x ? 5), f 2 ( x) ? f ( x) ? 3, f 3 ( x) ? f (? x), f 4 ( x) ? ? f (? x) ,则下列表述中正 确的是---------------------------------------------------------------------------------------------------------( ) (A) f 1 ( x ) 的图象是由 f (x) 的图象往右平移 5 个单位得到 (B) f 2 ( x) 的图象是由 f (x) 的图象往上平移 3 个单位得到 (C) f 3 ( x) 是偶函数 (D) f 4 ( x) 的图象是将 f (x) 的图象绕原点旋转 180 得到
2 4.已知 f ( x) ? x ? 2001 ,若 f (m) ? f (n), m ? n ,则 f (m ? n) 等于-------------------( x
?



(A)2001

(B) ? 2001

(C)0

(D)1000.5

5.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, a n ?1 ? ? (A) ?

1 ,则 a2001 等于-------------------------------------( ) an ? 1
(C)1 (D)2 )

3 2

(B) ?

1 3

6.命题 P : 有些三角形是直角三角形,则命题 P 为-------------------------------------------------( (A)有些三角形不是直角三角形 (C)所有三角形都不是直角三角形 (B)有些三角形是锐角或钝角三角形 (D)不是三角形就不是直角三角形

7.Let f be a function such that f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) for any real numbers x and y. If

1 ,then the value of f (?1) is--------------------------------------------------------------------( ) 16 1 1 (A)16 (B) (C) ? (D) ? 16 16 16 f (1) ?
8.设 f ( x) ? cos(sin x), g ( x) ? sin(cosx) ,则( ) (A) f (x) 为偶函数, g (x) 为奇函数 (B) f (x) 为奇函数, g (x) 为偶函数

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(C) f (x) 为偶函数, g (x) 为偶函数

(D) f (x) 为奇函数, g (x) 为奇函数

9.已知集合 A ? {x | log3 ( x 2 ? 2x ? 15) ? 0}, B ? {x | x 2 ? 2ax ? 3a 2 ? 0},若 A ? B ? ? , 则实数 a 的取值范围是( ) (A) (?

4 ,0) 3

(B) (?? ,?4) ? ( ,?? )

4 3

(C) (?? ,? ) ? (2,?? )

4 3

(D) (?

4 ,0) ? (2,?? ) 3

10.在以下关于向量的命题中,不正确的是( ) (A)若向量 a ? ( x, y) ,向量 b ? (? y, x) ,则 a ? b (B)四边形 ABCD 是菱形的充要条件是 AB ? DC 且 | AB |?| AD | (C)点 G 是 ?ABC 的重心,则 GA ? GB ? GC ? 0
? (D) ?ABC 中, AB 和 CA 的夹角等于 180 ? A

二、 A 组填空题

? 11.公式 tan( ? ? ) ?
12.若

tan? ? tan ? 成立的条件是_________________________. 1 ? tan? ? tan ?

3? 5? 2 ?? ? ,且 sin ? ? ,则 2? 在第_____________象限. 2 2 3 ? x ? 1, x ? ?1 ? 13.函数 y ? ? 1 的反函数是_______________________________. , x ? ?1 ? x ?1 ?
14.已知数列 {an } 中, a n ?1 ?

an 1 ,且 a 9 ? ,则 a 2002 ? _____________. 7 3a n ? 1

15.不等式 12 ? 5 ? 13 的解集为________________________________.
x x x

16.已知函数 f ( x) ? 2ax ? 4(a ? 3) x ? 5 是在区间 (??,3) 上的减函数,则 a 的取值范围是
2

________________________. 17.在 ?ABC 中, AB ?

3, S ?ABC ?

2 , CH ? AB 于 H , AH ? 2 HB ,则与 ? B 的两边相 2

切且圆心在 CH 上的圆的半径等于___________________. 18.使不等式 19 . Let

5x ? 1 ? 2 x ? 2 成立的 x 的正整数值是__________________. x ?1
a and b the two real roots of the quadratic equation

x 2 ? (k ? 1) x ? (k 2 ? 3k ? 4) ? 0 ,where k is some real number. The largest possible value of
a 2 ? b 2 is ________________________.

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20.用 S (n) 表示自然数 n 的数字和,例如 S (10) ? 1 ? 0 ? 1, S (909) ? 9 ? 0 ? 9 ? 18 ,若对任 何 n ? N ,都有 n ? S (n) ? x ,满足这个条件的最大的两位数 x 的值是_______________. 三、 B 组填空题 21.若等比数列 {an } 是递增数列,则首项 a1 及公比 q 应满足的条件是_______________. 22.函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大

a ,则 a ? ________. 3

23.已知函数 y ? f ( x) ? ?2 x 2 ? 8x ? 1, x ? R ,对于 t ? R ,在区间 [t , t ? 2] 上,将函数 f (x) 的最大值表示为 t 的函数 g (t ) ,则 g (t ) ? ________________________. 24.设函数 y ? 3 ? 0.6 x 与函数 y ? 0.6 x 的图象交于点 P ( x1 , y1 ) ,对任意 n ? N 且 n ? 1 ,将 1 过点 (0,3) 和点 ( xn?1 ,0) 的直线与直线 y ? 0.6 x 的交点的坐标记为 Pn ( xn , y n ) , 则点 P , P2 , P3 的 1 坐标依次为__________________________________,点 P2002 的坐标为_______. 25.若抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 过点 (0,?4) ,且与直线 y ? x 的交点 A 、 B 关于直线 y ? ? x 对 称,又 | AB |? 4 2 ,则 a ? _________, b ? ___________, c ? _________________.

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