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正弦、余弦、正切函数的性质和图像


1-4-1 正弦函数、余弦函数的图象
一、选择题 1. 对于正弦函数 y=sinx 的图象, 下列说法错误的 是( ) A.向左右无限伸展 B.与 y=cosx 的图象形状相同,只是位置不同 C.与 x 轴有无数个交点 D.关于 y 轴对称 2.从函数 y=cosx,x∈[0,2π)的图象来看,对应于 1 cosx= 的 x 有( 2 ) A.y=|sinx| B.y=

sin|x| C.y=-sin|x| D.y=-|sinx| 8.下列函数的图象与图中曲线一致的是(

7.如图,曲线对应的函数是(

)

A.1 个值 B.2 个值 C.3 个值 D.4 个值 3.函数 y=1-sinx,x∈[0,2π]的大致图象是( )

)

A.y=|sinx| C.y=|sin2x| π 5π 4.下列选项中是函数 y=-cosx,x∈[ , ]的图 2 2 象上最高点的坐标的是( π A.( ,0) 2 B.(π,1) ) C.(2π,1) 5π D.( ,1) 2

B.y=|sinx|+

1 2 1 2

D.y=|sin2x|+

9.在(0,2π)内,使 sinx≥|cosx|成立的 x 的取值范围 为( ) π 3π A.[ , ] 4 4 π 5π B .[ , ] 4 4 5π 7π C.[ , ] 4 4 ) D.5 ππ D.[ , ] 42

5. 函数 y=cosx+|cosx|,x∈[0,2π]的大致图象为( )

x 10.方程 sinx= 的根的个数是( 10 A.7 B.8 二、填空题 C .6

π 11.已知函数 f(x)=3+2cosx 的图象经过点( ,b), 3 则 b=________. 12.方程 sinx=lgx 的解有________个. 13.sinx>0,x∈[0,2π]的解集是________.
? ?sinx,x≥0, 1 14. 函数 f(x)=? 则不等式 f(x)> 的解 2 ?x+2,x<0, ?

3π π 6.如图所示,函数 y=cosx|tanx|(0≤x< 且 x≠ ) 2 2 的图象是( )

集是______. 三、解答题 15.用“五点法”作出函数 y=2-sinx,x∈[0,2π] 的图象. π π 5π 16.利用“五点法”作出 y=sin(x- ),x∈[ , ] 2 2 2 的图象. 17.根据函数图象解不等式 sinx>cosx,x∈[0,2π]. 18.画出正弦函数 y=sinx,(x∈R)的简图,并根

1 3 据图象写出- ≤y≤ 时 x 的集合. 2 2

f(x)=sinx,则 f ? 1 A.- 2

1-4-2-1 周期函数
一、选择题 1.定义在 R 上的函数 f(x),存在无数个实数 x 满 足 f(x+2)=f(x),则 f(x)( ) A.是周期为 1 的周期函数 B.是周期为 2 的周期函数 C.是周期为 4 的周期函数 D.不一定是周期函数 2.函数 y=sin ? ? A.π

? 5? ? 3

? ? 等于( ?

) 3 2 3 2

B.1

C.-

D.

二、填空题 11.若函数 y=4sinωx(ω>0)的最小正周期是 π,则 ω=________. 12. 已知函数 f(x)是定义在 R 上周期为 6 的奇函数, 且 f(-1)=-1,则 f(5)=________. π 13.若函数 f(x)=2cos(ωx+ )(ω>0)的最小正周期 3 为 T , 且 T ∈ (1,3) , 则 正 整 数 ω 的 最 大 值 是 ________. π 14.设函数 f(x)=3sin(ωx+ ),ω>0,x∈(-∞, 6 π ?? ? ? 9 +∞),且以 为最小正周期.若 f ? ? ? = , 2 ? 4 12 ? 5 则 sinα 的值为________. 三、解答题 15.求下列函数的周期.

? x ?? ? ? 的最小正周期为( ? 2 4?
C.4π ) π D. 2

)

B.2π

π 3.下列函数中,周期为 的是( 2 x A.y=sin 2 x C.y=cos 4 B.y=sin2x

D.y=cos4x )

4.下列函数中,不是周期函数的是( A.y=|cosx| B.y=cos|x| C.y=|sinx| D.y=sin|x| 5. 函数 y=2cos ? ω 等于( A.2 ) 1 B. 2 C.± 2

(1)f(x)=sin ?

?x ?? ? ? (x∈R); ?4 3?

?? ? 则 ? ? x ? 的最小正周期是 4π, ?3 ?
1 D.± 2 ) π D. 6

(2)y=|sinx|(x∈R). 1 16.函数 f(x)满足 f(x+2)=- ,求证:f(x)是周 f?x? 期函数,并求出它的一个周期. 1 1 17.已知函数 y= sinx+ |sinx|. 2 2 (1)画出函数的简图. (2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它 的最小正周期. 18.已知函数 y=5cos ?

6.函数 y= 7sin ? 3x ? A.2π B.π

? ?

??
5?

? 的周期是(
π C. 3

k π 7. 函数 y=cos( x+ )(k>0)的最小正周期不大于 2, 4 3 则正整数 k 的最小值应是( ) A.10 B.11 C.12 D.13 8.定义在 R 上的周期函数 f(x)的一个周期为 5, 则 f(2011)=( ) A.f(1) B.f(2) C .f(3) D.f(4) 9.定义在 R 上周期为 4 的函数,则 f(2)=( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 10.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数,又是周期

? ? 2k ? 1? ? ?? x ? ? (其中 k 3 6? ?

∈N),对任意实数 a,在区间[a,a+3]上要使函数 5 值 出现的次数不少于 4 次且不多于 8 次, 求 k 值. 4

? 函数, 若 f(x)的最小正周期为 π, 且当 x∈ ?0, ? 时, ? ? 2? ?

1-4-2-2 正、余弦函数的性质
一、选择题 1.有下列三个函数:①y=x3+1;②y=sin3x;③ 2 y=x+ ,其中奇函数的个数是( x )

A.0 B.1 C.2 D.3 2. 使 cosx=1-m 有意义的 m 的取值范围为( ) A.m≥0 B.0≤m≤2 C.-1<m<1 D.m<-1 或 m>1 3.函数 y=cos2x 在下列哪个区间上是减函数( ) π π A.[- , ] 4 4 π C.[0, ] 2 4.y=2sinx2 的值域是( A.[-2,2] C.[-2,0] sinx 5.函数 y= 是( 2+cosx ) B.[0,2] D.R ) π 3π B.[ , ] 4 4 π D.[ ,π] 2

10.若函数 y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形, 则这个封闭图形的面积 为( ) A.4 B.8 C.2π D.4π 二、填空题 3π π 11.比较大小:sin ______cos . 5 5 π 12. 函数 y=sin(x- ), x∈[0, π]的值域为________. 6 13.函数 y=cosx 在区间[-π,a]上为增函数,则 a 的范围是________. 14 . 函数 y = 3sin ? 2 x ? _____. 三、解答题 15. 求函数 y=sinx,x∈ ?

A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 6.已知 a∈R,函数 f(x)=sinx-|a|,x∈R 为奇函 数,则 a 等于( ) A.0 B.1 C.-1 D.± 1 π π 7.下列函数中,周期为 π,且在[ , ]上为减函数 4 2 的是( ) π B.y=cos (2x+ ) 2 π D.y=cos(x+ ) 2 π A.y=sin(2x+ ) 2 π C.y=sin(x+ ) 2

? ?

??

? 的单调递减区间是 6?

?? ? , ? 的最大值和最小值. ?4 ? ?

?? 1 ? 16.求函数 y= cos ? 2 x ? ? +1 的最大值,及此 3 4
? ?
时自变量 x 的取值集合. 1 17.已知函数 f(x)=log |sinx|. 2 (1)求其定义域和值域; (2)判断其奇偶性; (3)求其周期; (4)写出单调区间. 18.已知 ω 是正数,函数 f(x )=2sin ωx 在区间 π π [- , ]上是增函数,求 ω 的取值范围. 3 4

8.已知 A={x|y=sinx},B={y|y=sinx},则 A∩B 等于( ) A.{y=sinx} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|x=2π} D.R 9.函数 y(x)=-cos xln x2 的部分图象大致是图中 的( )

3π 3π 7.在区间(- , )范围内,函数 y=tanx 与函数 2 2 y=sinx 的图象交点的个数为( ) A.2 B.3 C.4 8.函数 y=tan(sinx)的值域是( ) π π A.[- , ] 4 4 C.[-tan1,tan1] B.[- D.5 2 2 , ] 2 2

D.[-1,1]

1-4-3 正切函数的性质与图象
一、选择题 1.下列叙述正确的是( ) A.函数 y=cosx 在(0,π)上是增函数 B.函数 y=tanx 在(0,π)上是减函数 C.函数 y=cosx 在(0,π)上是减函数 D.函数 y=sinx 在(0,π)上是增函数 2.函数 y=3tan ? 2 x ? A. {x | x ? k? ?

9.已知函数 y=tanωx 在 ? ? 则( ) A.0<ω≤1 C.ω≥1

? ? ?? , ? 内是减函数, ? 2 2?
B.-1≤ω<0 D.ω≤-1

10. 函数 f(x)=tan ? )

? ?

??

?x ?? ? ? 在一个周期内的图象是 ?2 3?

? 的定义域是( 4?

,k ??} 2 k? 3? ? ,k ??} B. {x | x ? 2 8 k? ? ? ,k ??} C. {x | x ? 2 8 k? ,k ??} D. {x | x ?? 2
3.函数 y=tanx+ 1 是( tanx ) 二、填空题 11.函数 y= tanx- 3的定义域是________. 12. 函数 y=-2tan ? 3x ?

?

A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 4.下列直线中,与函数 y=tan (2 x ? 相交的是( π A.x= 2 ) π B.y= 2 C.x= ) π 8 π D.y= 8

?
4

) 的图象不

? ?

?? ? 的单调递减区间是 . 4?

13.三个数 cos10° ,tan58° ,sin168° 的大小关系是 . 14.若 tan ? 2 x ?

5.下列不等式中,正确的是( 4π 3π A.tan >tan 7 7 C.tan (?

2π 3π B.tan <tan 5 5

? ?

??

? ≤1,则 x 的取值范围是____. 6?

13? 15? ) <tan (? ) 7 8 13? 12? ) >tan (? ) D.tan (? 4 5
π π 6.当- <x< 时,函数 y=tan|x|的图象( 2 2 A.关于原点对称 C.关于 y 轴对称 )

三、解答题 15.求下列函数的单调区间:
? ?; (1)y=tan ? ?x? ?
? 4?

1 (2)y= tan2x+1; 3

? x? (3)y=3tan ? ? ? ? ? 6 4?
16. 求函数 y ? ? tan x ? 10 tan x ? 1, x ? ?
2

B.关于 x 轴对称 D.不是对称图形

?? ? ? , ?4 3? ?

的值域. 17.已知函数 f(x)=tanωx(ω>0)的图象的相邻两支 π π π 截直线 y= 所得线段长为 ,求 f( )的值. 4 4 4 1 π 18.已知函数 f(x)=3tan( x- ). 2 3 (1)求 f(x)的定义域、值域; (2)讨论 f(x)的周期性,奇偶性和单调性.

的图象,

由图可知满足题意的解集是(0,π). 14.

1-4-1 正弦函数、余弦函数的图象
一、选择题 1.D 5 . 2.B D 3.B 4.B [ 析 ]

? 3 ? 5? ? ? x ? ? x ? 0, or ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? ? ? 6 6 ? 2 ?
[解析] 在同一平面直角坐标系中画出函数 f(x)和 1 函数 y= 的图象,如图所示, 2

? 3? ? 2cos x, x ? [0, ] ? [ ,2? ] ? ? 2 2 y ? cos x ? cos x ? ? , ? 3 ? ?0, x ? [ , ] ? ? 2 2

? 3? ? sin x, x ? [0, ) ? [? , ) ? ? 2 2 6.C [析] y ? ? ?0, x ? ( ? , ? ) ? ? 2
7.C 8.B 9 . A [析 ] 在同一坐标 系中画出函数 y ? sin x ,x∈(0,2π)与函数 y=|cosx|, x∈(0,2π)的图象,如图所示,则当 sinx≥|cosx|时, π 3π <x< . 4 4

1 1 当 f(x)> 时,函数 f(x)的图象位于函数 y= 的 2 2 3 π 5π 图象上方, 此时有- <x<0 或 + 2kπ<x< + 2kπ(k 2 6 6 ∈N). 三、解答题 15.略 16.略

17. [解析] 在同一坐标系中画出函数 y=sinx 和 y=cosx 在 x∈[0,2π]上的图象,如图所示,

π 5π 可知,当 <x< 时,sinx>cosx, 4 4 10.A [析] 画出函数 y=sinx,y= x 的图象如 10 π 5π 即不等式的解集是( , ). 4 4 18.[解]

x 图.两图象的交点个数为 7,故方程 sinx= 的根 10 有 7 个.

二、填空题 π π 11.4 [析] b=f( )=3+2cos =4. 3 3 12.3

1 3 过(0,- )、(0, )点分别作 x 轴的平行线, 2 2 7π 从图象可看出它们分别与正弦曲线交于( +2kπ, 6

13.(0,π) [析] 如图所示是 y=sinx,x∈[0,2π]

1 π 1 π - ),k∈Z,( +2kπ,- ),k∈Z 点和( +2kπ, 2 6 2 3 3 2π 3 ),k∈Z,( +2kπ, ),k∈Z 点,那么曲线 2 3 2 上夹在对应两点之间的点的横坐标的集合即为所 求, 1 3 即当- ≤y≤ 时 x 的集合为: 2 2 π π 2π {x| - + 2kπ≤x≤ + 2kπ , k ∈ Z} ∪ {x| + 6 3 3 7π 2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z}. 6 1-4-2-1 周期函数 一、选择题 1.D 2.C [解析] T= 2π =4π. ?-1? ? 2?

1 π? [解析] (1)∵f(x)=sin? ?4x+3?, 1 π? ∴f(x+8π)=sin? ?4?x+8π?+3? 1 π ? =sin? ?4x+3+2π? 1 π? =sin? ?4x+3?=f(x). 1 π? ∴f(x)=sin? ?4x+3?的周期为 8π. (2)函数 y=|sinx|的图象如图所示.

3.D 4.D

2π π [解析] T= = 4 2 5.D [解析] 4π= 2π 1 ,∴ω=± . |ω| 2

1 2π π 6.C [解析] T= · = . 2 3 3 2π 8π 7.D [解析] T= = ≤2 ∴k≥4π 又 k∈N* k k 4 ∴k 最小为 13,故选 D 8.A [解析] f(2011)=f(402×5+1)=f(1). 9.C [解析] ∵f(x)是奇函数,∴f(-2)=-f(2) 又 f(x)是 4 为周期的函数,∴f(-2)=f(-2+4)= f(2).∴f(2)=-f(2)∴f(2)=0,故选 C. 5π? ?5π ? ?2π? 10.D[解析] f? ? 3 ?=f? 3 -π?=f? 3 ? 2 π 3 ? ? π? ?π? =f? ?3π-π?=f?-3?=f?3?=sin3= 2 . 二、填空题 2π 11.2 12.-1 13.6 [解析] T= , ω 2π 1 1 3 2π 又 1<T<3,∴1< <3. ∴ < < .∴ <ω<2π. ω 2π ω 2π 3 则正整数 ω 的最大值为 6. 4 π 14.± [解析] ∵f(x)的最小正周期为 ,ω>0, 5 2 π? α π 2π ? ? ∴ ω = = 4. ∴ f(x) = 3sin ?4x+6? . 由 f ?4+12? ?= π 2 π π 9 3 α+ + ? = 3cosα = , ∴ cosα = . ∴ sinα = 3sin ? ? 3 6? 5 5 4 2 ± 1-cos α=± . 5 三、解答题 15. [分析] 解答本题(1)可结合周期函数的定义求 解;(2)可通过画函数图象求周期.

由图象知 T=π. [ 点评 ] 求三角函数的周期,通常有三种方 法. (1)定义法.根据函数周期的定义求函数的周 期.如本例(1). (2)公式法.一般地,对于 y=Asin(ωx+φ)或 y =Acos(ωx+φ)(其中 A, ω, φ 是常数且 A≠0, ω≠0) 2π 形式的函数,其周期为 T,则 T= .本例(1)可用 |ω| 2π 公式求解如下:T= =8π. 1 4 (3)图象法,即大致画出函数的图象观察.如 本例(2).其中公式法是最常用而且简单的方法. 16.[解析] ∵f(x+4)=f((x+2)+2) 1 =- =f(x), f?x+2? ∴f(x)是周期函数,且 4 是它的一个周期. 1 1 17.[解析] (1)y= sinx+ |sinx| 2 2 ? ?sinx,x∈[2kπ,2kπ+π]?k∈Z?, =? ?0,x∈[2kπ-π,2kπ]?k∈Z?. ? 函数图象如图所示.

(2)由图象知该函数是周期函数,其图象每隔 2π 重复一次,则函数的周期是 2π. 2k+1 π 5 18 . [ 解析 ] 由 5cos( πx - ) = ,得 3 6 4 2k+1 π 1 cos( πx- )= . 3 6 4 1 ∵函数 y=cosx 在每个周期内出现函数值为 4 的有两次,而区间[a,a+3]长度为 3,为了使长度 1 为 3 的区间内出现函数值 不少于 4 次且不多于 8 4 次, 必须使 3 不小于 2 个周期长度且不大于 4 个周

期长度. 2π 2π 即 2× ≤3,且 4× ≥3. 2k+1 2k+1 π π 3 3 3 7 ∴ ≤k≤ .又 k∈N,故 k=2,3. 2 2

π π π + )=-sin2x,周期为 π,在[ , ]上为增函数; 2 4 2 π 选项 C:y=sin(x+ )=cosx,周期为 2π;选项 D: 2 π y=cos(x+ )=-sinx,周期为 2π.故选 A. 2 8.B [解析] A=R,B={y|-1≤y≤1}, 则 A∩B={y|-1≤y≤1}. 9. A [解析] 函数的定义域是(-∞, 0)∪(0, +∞),f(-x)=-cos(-x)ln(-x)2=-cos xln x2= f(x), 则函数 f(x)是偶函数,其图象关于 y 轴对称, 排除选项 C 和 D;当 x∈(0,1)时,cosx>0,0<x2<1, 则 ln x2<0,此时 f(x)>0,此时函数 f(x)的图象位于 x 轴的上方,排除选项 B. 10.D [解析] 如图所示.

1-4-2-2 正、余弦函数的性质 一、选择题 1. C [解析] 函数 y=x3+1 不是奇函数也不是偶 2 函数;函数 y=sin3x 和 y=x+ 是奇函数. x 2 . B [ 解析 ] ∵- 1≤cosx≤ - 1 ,∴- 1≤1 - m≤1. ∴0≤m≤2. 3.C [解析] ∵y=cos2x,∴2kπ≤2x≤2kπ+π(k π π ∈Z),即 kπ≤x≤kπ+ (k∈Z),亦即[kπ,kπ+ ](k 2 2 π ∈Z)为 y=cos2x 的单调递减区间.而 C,[0, ] 2 显然满足上述区间,故选 C. [点评] 求形如 y=Asin(ωx+φ)(其中 A≠0, ω>0)的函数的单调区间, 可以通过解不等式的方法 来解答, 列不等式的原则是: ①把“ωx+φ(ω>0)” 视为一个“整体”(若 ω<0,可利用三角函数的诱 导公式化 x 系数为正).②A>0(A<0)时,所列不等 式的方向与 y=sinx(x∈R),y=cosx(x∈R)的单调 区间对应的不等式的方向相同(反). 4.A [解析] ∵x2≥0,∴sinx2∈[-1,1],∴y= 2sinx2∈[-2,2]. sin?-x? 5. A [解析] 定义域为 R, f(-x)= = 2+cos?-x? -sinx =-f(x),则 f(x)是奇函数. 2+cosx 6.A [解析] 解法一:易知 y=sinx 在 R 上为奇 函数,∴f(0)=0,∴a=0. 解法二:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), 即 sin(-x)-|a|=-sinx+|a|,-sinx-|a|=-sinx +|a|. ∴|a|=0,即 a=0. π 7.A [解析] 选项 A:y=sin(2x+ )=cos2x,周 2 π π 期为 π,在[ , ]上为减函数;选项 B:y=cos(2x 4 2

由图可知, S1 = S2 , S3 = S4 ,因此函数 y = 2cosx(0≤x≤2π)的图象与直线 y=2 所围成的图形 面积即为矩形 OABC 的面积. ∵|OA|=2,|OC|=2π,∴S 矩形=2×2π=4π. 二、填空题 1 11.> 12.[- ,1] 13.(-π,0] [解析] 2 由 y=cosx 在[-π,a]上是增函数,则-π<a≤0. π 2π? π 14 . ? [ 解析 ] 令 + ?kπ+6,kπ+ 3 ? (k ∈ Z) 2 π 3π π 2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 则 kπ+ ≤x≤kπ 6 2 6 2π + ,k∈Z. 3 三、解答题 π π? 15.[解析] 函数 y=sinx 在区间? ?4,2?上是增函 π ? 数,在区间? ?2,π?上是减函数,所以函数 y=sinx π π? π π 在区间? 最小值是 sin ?4,2?上的最大值是 sin2=1, 4 π ? 2 = ;函数 y=sinx 在区间? ?2,π? 上的最大值是 2 π sin =1,最小值是 sinπ=0. 2 π ? 所以函数 y=sinx,x∈? ?4,π?的最大值是 1, 最小值是 0. π? 16.[解析] ∵x∈R,∴-1≤cos? ?2x-4?≤1. π 2 1 4 2x- ?+1≤ . ∴ ≤ cos? 4 ? 3 3 ? 3 π? 1 ? 4 ∴函数 y= cos?2x-4?+1 的最大值是 . 3 3

π π 此时 2x- =2kπ(k∈Z),∴x=kπ+ . 4 8 即此时自变量 x 的取值集合是 ? ? ? π ?x x=kπ+ ,k∈Z ?. 8 ? ? ? 17.[解析] (1)由|sinx|>0 得 sinx≠0,∴x≠kπ(k∈ Z). 即函数定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. 1 又 0<|sinx|≤1,∴log |sinx|≥0. 2 ∴函数的值域为[0,+∞). (2)∵f(x)的定义域关于原点对称, 1 1 且 f(-x)=log |sin(-x)|=log |-sinx| 2 2 1 =log |sinx|=f(x). 2 ∴f(x)为偶函数. (3)函数 f(x)是周期函数, 1 1 ∵f(x+π)=log |sin(x+π)|=log |-sinx| 2 2 1 =log |sinx|=f(x), 2 ∴f(x)的周期 T=π. 1 (4)∵y=log u 在(0,+∞)上是减函数, 2 π? u=|sinx|在? ?kπ,kπ+2?(k∈Z)上是增函数, π kπ- ,kπ?(k∈Z)上是减函数. 在? 2 ? ? π ? ∴f(x)在? ?kπ-2,kπ?(k∈Z)上是增函数, π? 在? ?kπ,kπ+2?(k∈Z)上是减函数. π ? 即 f(x)的单调增区间是? ?kπ-2,kπ?(k∈Z), π? 单调减区间是? ?kπ,kπ+2?(k∈Z). π π 18.[解析] 由 2kπ- ≤ωx≤2kπ+ (k∈Z)得 2 2 π 2kπ π 2kπ - + ≤x≤ + (k∈Z). 2ω ω 2ω ω ∴f(x)的单调递增区间是 ?- π +2kπ, π +2kπ?(k∈Z). ? 2ω ω 2ω ω ? ?-π,π???- π +2kπ, π +2kπ?(k 据题意, ? 3 4? ? 2ω ω 2ω ω ? ∈Z). π π - ≤- 2ω 3 3 从而有 π π ,解得 0<ω≤ . 2 ≥ 2ω 4

1-4-3 正切函数的性质与图象 一、选择题 1. C 2.C [解析] 要使函数有意义,则 2x π π k π + ≠kπ+ (k∈Z),则 x≠ π+ (k∈Z). 4 2 2 8 3.A [解析]定义域是 {x | x ? k? ?

?

k? , k ? ? } .又 f(-x) 2 1 1 ) =-f(x), =tan(-x)+ =- (tan x ? 即 tan?-x? tan x

2

, k ? ? }?

{x | x ? k? , k ? ? } = {x | x ?

1 函数 y=tanx+ 是奇函数. tanx π π kπ π 4.C [解析] 由 2x+ =kπ+ 得,x= + (k 4 2 2 8 π ∈Z),令 k=0 得,x= . 8 5.D [解析]

? ? ? ? ?ω>0

4? 3? 3? ? tan( ? ) ? tan ; 7 7 7 3? 2? 2? tan ? ta? n( ?) t a ,n 5 5 5 13 ? ? 15 ? ? t a n? ( ? ) tan , t ?a n ( ? ) t a n 7 7 8 8 tan

,

3 故 ω 的取值范围是(0, ]. 2

? ? 1 3? 1 5? ?t a n ? t a n ? t a ?n ( ? ) t ?a n ( ), 7 8 7 8 13? ? ? ? tan(? ) ? tan(?3? ? ) ? tan(? ) ? ? tan 4 4 4 4

π 3π 12? 2? 2? 2? kπ- <x<kπ+ (k∈Z), ) ? tan(?2? ? ) ? tan(? ) ? ? tan 4 4 5 5 5 5 所 以 函 数 的 单 调 递 增 区 间 是 2? ? tan ? tan 又 , 所 以 ?kπ-π,kπ+3π?,k∈Z. 5 4 4 4? ? π π kπ π kπ π 1 ? 2 ? 1 3 kπ- <2x<kπ) + 得 - <x< + (k ∈ t ? a ?n ? ( , ) t a n(2) 由 ( 2 2 2 4 2 4 5 4

tan(?

6.C

7.B

8.C

ω 使函数 y ? tan ? x 在 ( ?

? ?

9.B

[解析]



Z),

? π π 有 ω<0 ,并且周期 T = ≥ - (? ) = π. 则- |ω| 2 2
1≤ω<0. 10 . A [

, ) 内是减函数,则 2 2

kπ π kπ π? 所以函数的单调递增区间是? ? 2 -4, 2 +4?(k ∈Z). π x? π x ?x π? (3)y=3tan? ?6-4?=-3tan?4-6?,由 kπ-2<4 π π 4π 8π - <kπ+ 得 4kπ- <x<4kπ+ ,所以函数的单 6 2 3 3 4π 8π? 调递减区间是? ?4kπ- 3 ,4kπ+ 3 ?(k∈Z). π π? 16. [解析] 由 x∈? 得 tanx∈[1, 3], ?4,3?, 2 ∴y=-tan x+10tanx-1=-(tanx-5)2+24. 由于 1≤tanx≤ 3,∴8≤y≤10 3-4, ∴函数的值域是[8,10 3-4]. 17.[解析] ∵ω>0,∴函数 f(x)=tanωx 的周 π 期为 , ω 且在每个独立区间内都是单调函数, π π ∴两交点之间的距离为 = , ω 4 ∴ω=4,f(x)=tan4x, π ∴f( )=tanπ=0. 4 1 π 18.已知函数 f(x)=3tan( x- ). 2 3 (1)求 f(x)的定义域、值域; (2)讨论 f(x)的周期性,奇偶性和单调性. 1 π π [解析] (1)由 x- ≠ +kπ,k∈Z, 2 3 2 5π 解得 x≠ +2kπ,k∈Z. 3 5π ∴定义域为{x|x≠ +2kπ,k∈Z},值域为 R. 3 π (2)f(x)为周期函数,周期 T= =2π. 1 2 f(x)为非奇非偶函数. π 1 π π 由- +kπ< x- < +kπ,k∈Z, 2 2 3 2 π 5π 解得- +2kπ<x< +2kπ,k∈Z. 3 3 π 5π ∴函数的单调递增区间为 ( - + 2kπ , + 3 3 2kπ)(k∈Z).



? 3 , 6 3 ? 3 则 f ( x ) 的图象过点 ( , ? ) ,排除选项 C,D; 3 3 2? ? ?
析] f ( ) ? tan( ? ) ? tan(? ) ? ?

? 3

? ? 6 3

) ? tan( ? ) ? tan 0 ? 0 ,则 f ( x) 的图 3 3 2? , 0) ,排除选项 B.故选 A. 象过点 ( 3 f( 3

二、填空题 ? π ? π +kπ≤x< +kπ,k∈Z ? 11.?x? 2 ? ?3 ? [解析] 要使函数有意义,自变量 x 的取值应 π π 满足 tanx- 3≥0, 即 tanx≥ 3.解得 +kπ≤x< + 3 2 kπ,k∈Z. kπ π kπ π ? 12.? ? 3 -4, 3 +12?(k∈Z) [解析] 求此函数的递减区间,也就是求 y= π? π π π 2tan? ?3x+4?的递增区间,由 kπ-2<3x+4<kπ+2, kπ π kπ π k∈Z 得: - <x< + , 3 4 3 12 k π π kπ π ? ∴减区间是? ? 3 -4, 3 +12?,k∈Z. 13.sin168° <cos10° <tan58° [ 解析 ] ∵ sin168° = sin12° <sin80° = cos10° <1 =tan45° <tan58° ,∴sin168° <cos10° <tan58° . π kπ 5π kπ - + , + ?(k∈Z) 14.? ? 6 2 24 2 ? π π? π [ 解 析 ] 令 z = 2x - , 在 ? ?-2,2? 上 满 足 6 π π tanz≤1 的 z 的值是- <z≤ ,在整个定义域上有 2 4 π π π π π - +kπ<z≤ +kπ, 解不等式- +kπ<2x- ≤ + 2 4 2 6 4 π kπ 5π kπ kπ,得- + <x≤ + ,k∈Z. 6 2 24 2 三、解答题 π π π 15.(1)由 kπ- <x- <kπ+ 得 2 4 2


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