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高中数学 极坐标方程总结课件 新人教A版选修4-4


极坐标方程

1、极坐标方程的定义:
一般地,在极坐标系中 ,如果平面曲线 C上任意 一点的极坐标中至少有 一个满足方程 f ( ? ,? ) ? 0 并且坐标适合方程 f ( ? , ? ) ? 0的点都在曲线 C上, 那么方程 f ( ? , ? ) ? 0叫做曲线 C的极坐标方程。

2、圆的极坐标方 程 所以, ? ?

2a cos?就是圆心在 C (a,0)(a ? 0), 半径
为a的圆的极坐标方程。

圆心为 (a, ? )(a ? 0)半径为 a 圆的极坐标方程为 ?=2a cos(? ? ? ) 此圆过极点 O

下列极坐标方程表示的曲线

()极坐标方程 ?= 表示 1 1
(2)极坐标方程 ? ? sin ? ? cos?表示
(3)极坐标方程 =cos( ? )表示 ? ? 4

?

2、已知一个圆的方程是 ?=5 3 cos ? ? 5 sin ? 求圆心坐标和半径。

3 1 解: 3 cos ? ? 5 sin ? ? 10( 5 cos ? ? sin ? ) 2 2 ? 10 cos(? ? ) 6 ?以(5,? )为圆心,以 5为半径的圆 6

?

?

解: ?=5 3 cos? ? 5 sin?两边同乘以 ?得

? =5 3? cos?-5? sin?即化为直角坐标为
2

x ? y ? 5 3x ? 5 y
2 2

5 3 2 5 2 化为标准方程是 ( x ? ) ? ( y ? ) ? 25 2 2 5 3 5 所以圆心为 ( ,? ), 半径是 5 2 2

3、直线的极坐标方程

? ? ? ( ? ? 0)表示极角为 ?的一条射线。 ?=? ( ? ? R )表示极角为 ?的一条直线。

3、求过点 2, ),并且和极轴垂直的直线 ( 。 3

?

解:将(2, )化为平面直角坐标为 , 3 ) (1 3 则和极轴垂直的直线为 ? 1 x

?

2 4、已知直线的极坐标方 ? sin( ? ) ? 程为 ? 4 2 7? 求点A(2, )到这条直线的距离。 4 ? 2 解:将直线 ? sin( ? ? ) ? 化为直角坐标方 4 2 7? 程为 x ? y ? 1 ? 0, 点A(2, )化为直角坐标为 4

?

( 2,- 2) ?点到直线的距离为 2- 2-1 2 2 = 2

6、确定极坐标方程 ? ? 4 sin( ? ?

?

3 3? cos ? ? ? sin ? ? 8 ? 0所表示的曲线
?
) ? 4 co s [ ? (? ? )] 3 2 3

)与

及位置关系。
?

解:由 ? ? 4 s i n ( ? ?

?

?

? ? ? 4 co s ( ? ? ) ? 4 co s ( ? ) ? 6 6 即表示以 A( 2,

?

?

6 将极坐标 A化为直角坐标 A( 3 ,1)

)为圆心,以 2为半径的圆

整理得:x ? (

3 ) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4,表示圆

由 3? cos ? ? ? sin ? ? 8 ? 0 化直角坐标方程: 3 x ? y ? 8 ? 0, 表示直线 3 ?1 ? 所给极坐标方程分别表 示圆与直线, 它们的位置关系是相切 。 圆心到直线距离: d ? 3 ?1? 8 ?2

0 ? e ? 1表示椭圆 eP e ? 1 表示抛物线 ?? 1 ? e cos? e ? 1 表示双曲线右支

(允许? ? 0 表示整个双曲线)
y

F

x

7、极坐标方程 ? sin 3

2

?

2 A、圆,B、椭圆, 、双曲线, 、抛物线 C D

? 1所表示的曲线是

解:将 3? sin

2

?
2

? 1化为直角坐标方程

1- cos ? 2 得3? ? 1即9 y ? 12 x ? 4 2 表示抛物线

小结:

1、极坐标方程的概念
2、圆的极坐标方程、直线的极坐标 方程 3、将极坐标方程化为直角坐标方程 的方法


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